2022年高中数学重点《不等关系与不等式》教案.docx

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1、2022年高中数学重点不等关系与不等式教案中学数学重点不等关系与不等式教案主要关注学生思维实力的训练.训练学生的思维实力，提升思维的品质，是数学老师直面的重要课题，也是中学数学教化的主线.采纳一题多解有助于思维的发散性及敏捷性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升。下面就和课件网小编一起来看看有关中学数学重点不等关系与不等式教案。中学数学必修5不等关系与不等式教案1教学打算教学目标娴熟驾驭不等式的证明问题教学重难点娴熟驾驭不等式的证明问题教学过程不等式的證明二【基礎訓練】1.若，則下列不等始終正確的是（ ）2.設a，b為實數，

2、且，則的最小值是（ ）4.求證：對任何式數x，y，z，下述三個不等式不行能同時成立中学数学必修5不等关系与不等式教案2整体设计教学分析本节课的探讨是对初中不等式学习的持续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习， 让学生从一系列的详细问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分相识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行视察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还支配了一些简洁的、学生易

3、于处理的问题，其用意在于让学生留意对数学学问和方法的应用，同时也能激发学生的学习爱好，并由衷地产生用数学工具探讨不等关系的愿望.依据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，老师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简洁的数形结合工具，干脆用实数与数轴上 点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的依次关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的相识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法推断实数与代数式的大小，会用配方

4、法推断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的相识，激发学生的学习爱好，体会数学的奇妙与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，推断二次式的大小和范围.教学难点：精确比较两个代数式的大小.课时支配1课时教学过程导入新课思路1.（章头图导入）通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮丽画面，它将学生带入横看成岭侧成峰，远近凹凸各不同的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在详细情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学探讨不等关系的剧烈愿望，自然地引入新课.思路2.（情境导入）列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、一百零一

5、米赛跑的时间、数学成果的多少等现实生活中学生身边熟识的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地绽开联想，老师组织不等关系的相关素材，让学 生用数学的观点进行视察、归纳，使学生在详细情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具探讨不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推动新课新知探究提出问题（1）回忆初中学过的不等式，让学生说出不等关系与不等式的异同.怎样利用不等式探讨及表示不等关系?（2）在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际

6、例子吗?（3）数轴上的随意两 点与对应的两实数具有怎样的关系?（4）随意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：老师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确不等关系与不等式的异同.不等关系强调的是关系，可用符号><≠≥≤表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用a>ba老师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作探讨，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ，最低气温26 .实例2：对于数轴上随意不

7、同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.老师进一步点拨：能够发觉身 边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们探讨数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行视察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个探讨数学的人必需要做的，那么，我们可

8、以用我们所探讨过的什么学问来表示这些不等关系呢?学生很简单想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4，2x≤6，a+2≥0，3≠4，0≤5等.老师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ≤t≤32 .实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|&l

9、t;|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，老师应点拨学生留意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满意，避开写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，老师让学生轮番回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.探讨结果：（1）（2）略；（3）数轴上随意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.（4）对于随意两个实数a和b，在a=b，a>b

10、，a0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a应用示例例1（教材本节例1和例2）活动：通过两例让学生熟识两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时常常运用的方法，应让学生娴熟驾驭.变式训练1.若f（x）=3x2-x+1，g（x）=2x2+x-1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）A.f（x）>g（x） B.f（x）=g（x）C.f（x）答案：A解析：f（x）-g（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1≥1>0，∴f（x）>g（x）.2.已知x≠0，比较（x

11、2+1）2与x4+x2+1的大小.解：由（x2+1）2-（x4+x2+1）=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.x≠0，得x2>0.从而（x2+1）2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小（a≠b）.（1）a+b2与21a+1b（a>0，b>0）；（2）a4-b4与4a3（a-b）.活动：比较两个实数的大小，常依据实数的运算性质与大小依次的关系，归结为推断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最终的符号推断说理中，要理由充分，不行忽视这点.解：（1）a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=（a+b）2-4ab2（a+b）=

12、（a-b）22（a+b）.a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，（a-b）2>0.∴（a-b）22（a+b）>0，即a+b2>21a+1b.（2）a4-b4-4a3（a-b）=（a-b）（a+b）（a2+b2）-4a3（a-b）=（a-b）（a3+a2b+ab2+b3-4a3）=（a-b）（a2b-a3）+（ab2-a3）+（b3-a3）=-（a-b）2（3a2+2ab+b2）=-（a-b）22a2+（a+b）2.2a2+（a+b）2≥0（当且仅当a=b=0时取等号），又a≠b，∴（a-b）2>

13、;0，2a2+（a+b）2>0.∴-（a-b）22a2+（a+b）2<0.∴a4-b4<4a3（a-b）.点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差变形推断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将差变为积，后者将差化为一个或几个完全平方式的和，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较随意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<

14、1；当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负状况不同，所以需对y分类探讨.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必需小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积， 住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文 字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采纳作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，依据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m（b

15、-a）b（b+m）>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则（）A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：（a1+a8）-（a4+a5）=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1（1-q3）-q4（1-q3）=a1（1-q）2（1+q+q2）（1+q

16、）（1+q2）.an各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又q≠1，∴（a1+a8）-（a4+a5）>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：a2+3>2a；a2+b2>2（a-b-1）；x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：a2+b2-2（a-b-1）=（a-1）2+（b+1）2≥0，x2+y2-2xy=（x-y）2≥0.∴只有恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-（x2

17、+5x+6）=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.老师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的学问体系中.2.老师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.激励学有余力的学生对节末的思索与探讨在课后作进一步的探究.作业习题31A组3；习题31B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法 的优化.阅历告知我们：课堂上应依据详细状况，选择、设计最能体现教学规律的教学 过程，不宜长期运用一种固定的教学方法，或原封不

18、动地照搬一种试验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对特性，敏捷改变，因材施教才是胜利的施教灵药.2.本节设计注意了难度限制.不等式内容应用面广，可以说与其他全部内容都有交汇，历 来是高考的重点与热点.作为本章起先，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.备课资料备用习题1.比较（x-3）2与（x-2）（x-4）的大小.2.试推断下列各对整式的大小：（1）m2-2m+5和-2m+5；（2）a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x .4.

19、若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：（x-3）2-（x-2）（x-4）=（x2-6x+9）-（x2-6x+8）=1>0，∴（x-3）2>（x-2）（x-4）.2.解：（1）（m2-2m+5）-（-2m+5）=m2-2m+5+2m-5=m2.m2≥0，∴（m2-2m+5）-（-2m+5）≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.（2）（a2-4a+3）-（-4a+1）=a2-4a+3+4a-1=a2+2.a2≥0，∴a2+2≥2>0

20、.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：（1+x2）2-（1+x）2=1+x+x24-（x+1）=x24，又x>0，∴x24>0.∴（1+x2）2>（1+x）2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：（x2+y2）（x-y）-（x2-y2）（x+y）=（x-y）（x2+y2）-（x+y）2=-2xy（x-y）.x0，x-y<0.∴-2xy（x-y）>0.∴（x2+y2）（x-y）>（x2-y2）（x+y）.5.解：aabbabba=aa-bbb-a=（ab）a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则（ab）a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则（ab）a-b>1.于是aabb>abb a.综上所述，对于不 相等的正数a、b，都有aabb>abba.第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页