2022年八年级数学勾股定理经典例题解析.docx

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1、2022年八年级数学勾股定理经典例题解析 经典例题透析 类型一：勾股定理的干脆用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形运用。 解析：(1) 在ABC中，C=90，a=6，c=10,b= (2) 在ABC中，C=90，a=40，b=9,c= (3) 在ABC中，C=90，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少 【答案】ACD=90

2、AD=13, CD=12 AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 AC=5 又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 AB= 4 AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长. 思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有 ， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作 于D，则因 ， ( 的两个锐角互余) (在 中，假如一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 依据勾股定理，在 中， . 依据勾股定理，在 中， . . 举一反三

3、【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： . 解析：连结BM，依据勾股定理，在 中， . 而在 中，则依据勾股定理有 . 又 (已知)， . 在 中，依据勾股定理有 ， . 【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，依据本题给定的角应选后两种，进一步依据本题给定的边选第三种较为简洁。 解析：延长AD、BC交于E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= =

4、 。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE= = 。 S四边形ABCD=SABE-SCDE= ABBE- CDDE= 类型三：勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点动身，沿北偏东60方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 解析：(1)过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 (2)在RtA

5、BC中， BC=500m，AC=1010m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形态如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDAB， 与地面交于H. 解：OC=1米 (大门宽度一半)， OD=0.8米 (卡车宽度一半) 在RtOCD中，由勾股定理得： CD= = =0.6米， CH=0.6+2.3=2.9(米)2.5(米). 因此高度上有0.4米的

6、余量，所以卡车能通过厂门. (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现安排在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线. 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论. 解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为 AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3 图(3)中，在RtABC中 同理 图(3)中的路途长为 图(4)中，

7、延长EF交BC于H，则FHBC，BH=CH 由FBH= 及勾股定理得： EA=ED=FB=FC= EF=1-2FH=1- 此图中总线路的长为4EA+EF= 32.8282.732 图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线. 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. 解： 如图，在RtABC中，BC=底面周长的一半=10cm， 依据勾股定理得 (提问：勾股定理) AC= = = 10.77(cm)(勾股定理). 答：最短路程约为10.77cm. 类型四：利用勾股定理作

8、长为 的线段 5、作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。 作法：如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角ACB，使AB为斜边; (2)以AB为一条直角边，作另始终角边为1的直角 。斜边为 ; (3)顺次这样做下去，最终做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图

9、所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并推断是否正确 1.原命题：猫有四只脚.(正确) 2.原命题：对顶角相等(正确) 3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确) 4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确) 思路点拨：驾驭原命题与逆命题的关系。 解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫(不正确) 2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确) 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确) 4. 逆命题

10、：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确) 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做打算。 7、假如ABC的三边分别为a、b、c，且满意a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，推断ABC的形态。 思路点拨：要推断ABC的形态，须要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c

11、=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来探讨图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 【答案】：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90(勾股定理逆定理) 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),推断ABC是否为

12、直角三角形. 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 证明： 所以ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。 请问FE与DE是否垂直请说明。 【答案】答：DEEF。 证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2; DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF(如图) DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。 经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两

13、直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，依据题意得： (3x)2+(4x)2=202 化简得x2=16; 直角三角形的面积= 3x4x=6x2=96 总结升华：直角三角形边的有关计算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边ABC，作ADBC于D 则：BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合)

14、AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等) BD=1 在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3 AD= SABC= BCAD= 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，依据题意得： 由(1)得：x+y=7， (x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3) (3)-(2)，得：xy=12 直角三角形的面积是 xy= 12=6(cm2) 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

15、思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： (n+1)2+(n+2)2=(n+3)2 化简得：n2=4 n=2，但当n=-2时，n+1=-10，n=2 总结升华：留意直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的状况下，首先要先确定斜边，直角边。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( ) A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可干脆用勾股定理的逆定理来进行推断， 对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2

16、-a2=(c-a)(c+a)来推断。 例如：对于选择D， 82(40+39)(40-39)， 以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以推断其它选项。 【答案】：A 【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90(勾股定理逆定理) S四边形ABCD=SABC+SACD= ABBC+ ACCD=36 类型二：勾股定理的应用 2、如图，马路MN和马路PQ在点

17、P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，四周101m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒 思路点拨：(1)要推断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到马路的距离是否小于101m, 小于101m则受影响，大于101m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必需找到拖拉机行至哪一点起先影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。

18、 在 RtABP中，ABP=90，APB=30， AP=160， AB= AP=80。 (在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半) 点 A到直线MN的距离小于101m, 这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶到点C处学校起先受到影响，那么AC=101(m)， 由勾股定理得： BC2=1012-802=3600, BC=60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校起先脱离影响，那么，AD=101(m)，BD=60(m), CD=120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s t=120m5m/s=24s。 答：拖拉机在马路 MN上沿PN方向行驶时，

19、学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作协助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走捷径，在花园内走出了一条路。他们仅仅少走了_步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。 解析：他们原来走的路为3+4=7(m) 设走捷径的路长为xm，则 故少走的路长为7-5=2(m) 又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位

20、正三角形。 (1)干脆写出单位正三角形的高与面积。 (2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少 (3)求出图中线段AC的长(可作协助线)。 【答案】(1)单位正三角形的高为 ，面积是 。 (2)如图可干脆得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。 (3)过A作AKBC于点K(如图所示)，则在RtACK中， ， ，故 类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决. 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F

21、分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。 思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，依据直角三角形的特征，三角形的中线有特别的性质，不妨先连接AD. 解：连接AD. 因为BAC=90，AB=AC. 又因为AD为ABC的中线， 所以AD=DC=DB.ADBC. 且BAD=C=45. 因为EDA+ADF=90. 又因为CDF+ADF=90. 所以EDA=CDF. 所以AEDCFD(ASA). 所以AE=FC=5. 同理：AF=BE=12. 在RtAEF中，依据勾股定理得： ，所以EF=13。 总结升华：此题考查了

22、等腰直角三角形的性质及勾股定理等学问。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同始终角三角形中求解。 (二)方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60， ，求 、 、 的值。 思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。 解：在RtABC中，A=60，B=90-A=30， 则 ，由勾股定理，得 。 因为 ，所以 ， ， ， 。 总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解：因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以B=C=90， 在RtABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以 。 所以 。 设 ，则 。 在RtECF中， ，即 ，解得 。 即EF的长为5cm。 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页