基于随机参照点的均值-风险分析-文平.pdf

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1、第26卷 第10期2017年10月运 筹 与 管 理0PERATl0NS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCEV0126No10Oct2017基于随机参照点的均值一风险分析文平1， 黄薏舟2(1常州工学院数理化工学院，江苏常州213022；2新疆财经大学金融学院，新疆乌鲁木齐830012)摘 要：本文依据参照依赖偏好模型提出了基于随机参照点的风险度量方法，进而构建了均值-风险模型，并讨论了该决策方法与随机占优之间的一致性。研究发现，该决策方法不仅与一级随机占优是一致的而且与二级随机占优也是一致的。由于二级随机占优与期望效用理论的一致性，因而所构建的均值-风险模型与期望

2、效用理论也是一致的。关键词：风险；风险度量；决策；均值一风险分析；随机占优中图分类号：F830文章标识码：A文章编号：10073221(2017)10-015304 doi：lO12005oms20170247Meanrisk AnaIysis Based On StOchaStiC Reference POintWEN Pin91，HUANG Yizhou2(1CoZ如ge o，Scie凡ce，C口，Ig拍ou觑5如ue矿7fecnoZog)，C而口哗而ou 213022，G九i凡口；2CoZ如ge矿Fino凡ce，xi彬口ng龙n秽e瑙i钞。厂F流口nce口nd Economi，肜“Zum

3、g 8300 1 2，劬讥o)AbStract：This paper proposes a risk measure method based on stochastic ref色rence point according to the reference dependent preference model and the model of meanrisk is constmcted It is fbund that the decision methodis consistent with the first order stochastic dominance and the seco

4、nd order stochastic dominance Because of theconsistencv between the second order stochastic dominance and the expected utility theory，the meanrisk modelis also consistent with the expeeted utility theoI了Key wordS：risk；risk measure；decision making；mean-risk analysis； stochastic dominance0 引言均值一方差分析1是

5、马克威茨提出的一种分析方法。均值方差分析被提出以后，由于其所富有的启发性以及容易在实践中应用等特点，被金融界广泛采用，许多金融模型就构建在均值一方差分析的基础之上。然而，均值一方差分析方法自被提出不久就受到了质疑，质疑主要来自以下两个方面：一是方差作为风险度量的合理性，许多学者认为用方差度量风险是不合适的，这才提出了一系列其他的风险度量方法；二是均值方差分析在通常情况下与期望效用理论是不一致的，现在的观点是只有当分布为正态分布时或效用函数为二次函数时，两者才是一致的。正因为这些原因，人们才又提出了均值一风险分析方法。均值-风险分析考虑的主要是收益与风险之间的权衡，但它并没有直接把它们与一般的决

6、策理论联系起来。基于公理体系之上的期望效用理论与客观世界密切相关的随机占优在不确定性决策理论中被广泛接受，并且，Hadaro证明了期望效用理论与二级随机占优是完全一致的。在这种情况下，研究均值-风险分析与随机占优之间的一致性就成为了必须要进行的工作。近几十年来，有许多学者开始探讨随机占优与除方差以外的其他风险度量之间的一致性，或用随机占优来论证这些风险度量方法的合理性。Portero证明了用半方差(semivariance)度量风险时，均值一风险分析与随机占优是一致的，这种方法被FishbumH o推广至更一般的情形。Yitzhaki证明了用Gini系数作为风险度量时，均值一风险分析在一般情况

7、下是一级、二级随机占优的一个必要条件。Knnon，Yamazakio分析了当收稿日期：2016-0319基金项目：国家自然科学基金资助项目(71261024)作者简介：文平(1967)，男，四川江油，硕士，教疑，研究方向：风险决策；黄薏舟(1974-)，女，四川成都，博士，副教授，研究方向：金融工程。万方数据154 运 筹 与 管 理 2017年第26卷把绝对离差(Absloute deviation)作为风险度量时，均值一风险分析与随机占优的一致性。Ogryczak6。等证明标准半离差(Standard semideviation)作为风险度量时均值一风险分析与二级随机占优是一致的。2002

8、年，他们。又将结果推广至更高阶的随机占优。类似的，其它的风险度量也在研究之列，例如在值风险(VaR)与Es(Expected shortfall)，后者与二阶随机占优是一致的，但在值风险只与一阶随机占优是一致的。2006年，Kosze百，Rabin坤。在参照依赖偏好模型中提出了一种效用函数，称之为参照依赖的效用。cillo，Delqu，。在该效用函数的基础上提出了行为驱动的均值一风险模型。本文在他们的工作基础上建立了一种基于随机参照点的风险度量方法，进而构建了均值一风险模型并讨论了该决策方法与随机占优之问的一致性。研究发现，该风险度量方法不仅涵盖了许多现有的风险度量方法而且基于该风险度量方法的

9、均值一风险模型与随机占优是一致的。由于随机占优与期望效用理论的一致性，因而所构建的均值风险模型与期望效用理论也是一致的。l 一种新的风险度量方法11 基于随机参照点的风险度量对于无风险收入戈与参照点r，Koszegi与Rabin给出的效用函数为：M(z)=m(戈)+肛(m(戈)一m(r)。他们称m(戈)为内在的消费效用函数，称弘(m(髫)一m(r)为参照依赖的获得损失效用。显然，如果收入低于参照点，获得一损失效用为负效用，收入高于参照点的获得。损失效用才为正效用。例如，一个期望年收入50000元的求职者将评估40000元的收人为损失，因而获得一损失效用为负效用；一个预期纳税30000元的纳税人

10、将视20000元的纳税额为获得，此时20000元纳税额的获得一损失效用为正效用。Koszegi与Rabin进一步将参照依赖的效用扩展至随机情形。设x表示随机收益，对于随机参照点l，Koszegi与Rabin给出的参照依赖的效用定义如下。定义1 设x的分布函数为F，(z)，参照点l，的分布函数为G，(y)，参照依赖的效用为：u(x l，)=JJ“(髫I)，)dG，(y)dF。(戈) (1)W这里，u(x ly)=m(石)+肛(m(戈)一m(y)，其中，m(石)为连续可导且单调递增的消费效用函数，肛(z)为获得一损失效用函数。肛(戈)满足下列特点。A0肛(石)为二阶可导的连续函数且肛(0)=0；A

11、1弘(戈)为严格单调递增的；A2若y并0，贝肛(y)+p(一y)0时，肛”(石)0；当石1，这里，p：(0)，肛：(0)分别为肛(z)在戈=0处的左右导数。仔细分析(1)式，可以发现收益x关于随机参照点l，的参照依赖的效用可以用下面式子表示。U(xl y)=Em(x)+驰(m(X)一m(y) (2)Koszegi与Rabin在分析中经常假设m(石)为线性函数，即m(z)=石，在这种情况下，上式变为：U(Xl y)=E(X)+瓯(Xl，) (3)此时，参照依赖的效用由两部分组成。第一部分是x的期望，第二部分为获得-损失效用。获得一损失效用又可分解成两部分，即获得效用瓯(xl，)+和跏(xy)一损

12、失效用，其中，(xy)一=max(xy，0)，(x一】，)=min(盖一y，0)。就人们正常的心理感受讲，低于参照点的收益才被视为风险，而高于参照点的收益一般不视为风险，正是基于这种看法，Markowitz才又于1959年提出了用半方差测度风险的思想方法。由于损失效用风(盖一l，)一为负值，而风险度量应该为正值，根据下侧风险的思想，在作者本人0。工作的基础上，构造x的风险度量为：p(x)=E(日(R一盖)+) (4)其中，日(石)为一单调递增的非负凸函数且满足日(0)=0，R为参照点，(Rx)+=max(Rx，0)，称该度量为基于随机参照点的风险度量。12与一些风险度量的关系(4)式中函数与参

13、照点取法的不同将导致p(x)的含义发生变化，下面看几种常见情形。如果取日(戈)=1，尺取常数r，则风险度量为p(x)=尸(X1)，R取常数f时，则p(盖)=E(一x)+“ (8)此时的风险度量即为Fishburn提出的(“，t)模型。如果令日(戈)=石，R取x的数学期望肛；时，则有：万方数据第10期 文平，等：基于随机参照点的均值风险分析 155JD(x)=E(肛，一x)+=f。(肛，一戈)八石)dz (9)J一此时的风险度量即为半绝对离差。如果取日(算)=戈，R取为与x独立同分布的随机变量，设x的概率密度函数为八戈)，则r+rrJD(x)=E(Rx)+=I J (r一髫)，()，(r)d戈d

14、r(10)J一J一此风险度量与Gini系数不同。Gini系数测度的是随机变量x与自身的距离，而该风险度量测度的却不是随机变量x与自身的距离，它明显要比Gini系数小。我们称之为下偏Gini系数。由此可见，p(x)=E(胃(Rx)+)涵盖了许多现有的风险度量方法，当然它也包含诸如下偏Gini系数等新的风险度量方法，它是现有的风险度量方法的推广和拓展。2均值一风险分析21 随机占优对不确定性现象的比较与选择的另一种常用的办法就是随机占优，该方法起源于Hardy等人提出的优化理论，后被Rothschild。，Stiglitz和Fishburn推广到一般分布随机占优已被广泛用于经济学和金融学的研究。设

15、x，y是两个随机变量，它们的分布函数分别为F(x)与G(石)。一级随机占优与二级随机占优的定义如下。定义2 如果对于任意z有F(省)茎G(石)，则称x一级随机占优于y，记为x脚l，。定义3如果对于任意戈有：。F(f)一G()d0，则称x二级随机占优于l，记为x。l，。一级、二级随机占优其实都是随机序，而且是偏序。随机序除了这两种偏序外，还有很多，下面再定义两种随机序。定义4设X，y是两个随机变量，若对于任意单调增加的凸函数妒(菇)有E妒(x)E妒(1，)，则称x按照单调增加的凸函数大于l，记为Xy。定义5设x，l，是两个随机变量，若对于任意单调增加的凹函数妒(戈)有E妒(x)E妒(y)，则称x

16、按照单调增加的凹函数大于y，记为xY。根据Hadar Russel定理，X。y与二级随机占优是完全一致的。x剧y与x脚y存在如下关系，不妨以引理形式给出。引理1 设x，l，是两个随机变量，x。l，的充分必要条件是一x脚一y，x川y的充分必要条件是一x。一y。随机占优具有以下几个性质。引理2 如果x一级随机占优于y，即x脚l，贝有E(x)E(1，)。引理3 如果x二级随机占优于】，即x。y，则有E(x)E(1，)。引理4 如果x一级随机占优于y，即x脚l，妒(戈)为单调增加的函数，则有妒(x)。妒(y)。引理5如果x二级随机占优于y，即x渤l，9(石)为单调增加的凹函数，则有妒(x)。sD妒(y

17、)。22均值一风险模型及其性质根据现有研究成果，影响人们风险决策的主要因素有三项，即收益、风险和风险规避系数。收益一般用均值来表示，其值越大，被选择的可能性就越大。实证研究表明：人们是风险规避的。因此，构建下列风险决策模型。y(x)=E(X)一Ap(x) (11)这里，E(x)为x的均值，主要来描述收益；p(x)为x的风险，其定义见(4)式；A为风险规避系数，它为一个正数，称y(x)为x的值函数。值函数由x的均值、风险和风险规避系数决定。一般来讲，均值越大，它的值函数就越大；风险和风险规避系数越大，值函数就越小，这完全符合决策者的心理感受。决策者决策时根据值函数的大小进行决策，在可选方案中，哪

18、个方案的值函数大就选择哪种方案。由此可见，值函数与期望效用函数在决策过程中所起的作用类似。那么，随机变量的值函数与期望效用之间有无关系呢?它们之间是什么样的关系呢?要回答这个问题，先看值函数与随机占优之间的关系，有如下性质。性质1如果x一级随机占优于l，则对于任意风险规避系数A，x的值函数大于y的值函数，即y(X)y(y)。证明 x一级随机占优于l，即x肿】，对于任意随机参照点R，有Rx。y，也就是x刖y，从而一x一l，。对于任意随机参照点R，总有R臌尺，故有Rx肼Ry。令妒(石)=戈+=max(戈，0)，p(戈)为单调增加的凸函数，可知：(尺一x)+(Ry)+，又因为日(石)为一定义在R+上

19、的单调递增的非负凸函数，故有E日(Rx)+)E日(足一y)+)，即p(x)曼p(y)。又因为x二级随机占优于l，故E(x)E(y)，从而有E(x)一Ap(x)E(y)一Ap(y)，即y(x)芝y(1，)。两个性质揭示出，我们所构建的决策模型不仅与一级随机占优是一致的而且与二级随机占优是一致的。说明只要x一级或二级随机占优于y，不论决策者的风险规避程度如何，决策者总是选择x。这一点非常重要，因为二级随机占优与期望效用理论是一致的，就可以得到另外一个重要结论。性质3如果对于任意单调增加的凹函数，x的期望效用大于l，的期望效用，则对于任意风险规避系数A，x的值函数大于y的值函数，即y(X)y(1，)

20、。性质3的证明非常简单。既然对于任意单调增加的凹函数，x的期望效用大于l，的期望效用，则x二级随机占优于y，根据性质2就可以知道x的值函数就大于y的值函数。说明该决策方法与期望效用理论也是一致的。3 结论风险度量方法以及风险度量方法与随机占优的一致性一直是人们感兴趣的课题，这主要因为该课题涉及经济、管理、决策等诸多领域而且非常重要，本文就试图在这方面做一些有意义的探索。首先，根据Koszegi与Rabin的思想，本文提出了基于随机参照点的风险度量方法。该风险度量方法不仅包括损失概率、下偏矩、半方差、半绝对离差等一些已有的风险度量方法而且包含下偏Gini系数等新风险度量方法。其次，本文利用该风险

21、度量方法构建了风险决策模型，提出了值函数的概念。我们将值函数定义为其均值减去其风险规避系数与其风险度量的乘积，这完全符合决策者面对风险决策时的心理感受和实际情况。最后，本文讨论了所构建决策模型与随机占优之间的关系。研究发现，该决策方法不仅与一级随机占优是一致的而且与二级随机占优也是一致的。由于二级随机占优与期望效用理论的一致性，故我们所构建的决策方法与期望效用理论也是一致的。需要说明的是，虽然该决策方法与随机占优是一致的，但并不表明半方差、下偏矩、半绝对离差等作为风险度量时该决策方法与随机占优是一致的。因为在决策时，半方差、下偏矩、半绝对离差的参照点用的是各自的均值而各不相同。我们所构建的决策

22、模型的参照点应该是相同的，损失概率、(d，)模型等作为风险度量时该决策方法与随机占优就是一致的，此时该决策方法与期望效用理论也是一致的。参考文献：1Markowitz HPonfolio selectionJJoumal of Finance，1951。7(1)：77-912 Hadar R Rules for ordering uncertain prospectsJAmerican Economic Review，1969，59(1)：25343 Porter R B Semivariance and stochastic dominance： acomparisonJThe Americ

23、an Economic Review，1974，64(64)：200_2044 Fishburn P C MeanRisk analvsis with risk associatedwith Below target retumsJAmerEconRev，1977，67(2)：1161265 Knnon。Yamazaki Meanabs01ute deviation ponfblio optimization model and its appiication to Tokyo stock marketJManagement science，199l，37(5)：5195316 09rycza

24、k w，Ruszczynski A From stochastic dominanceto meanrisk models： semideviations as risk measuresJ European Journal of Oper&ional Research， 1 999，116：33507 Ogryczak w，Ruszc2ynski A 0n consistency of stochastic dominance and meansemideviation modelsJ 1 Mathematical Programming Series B，2001，89：2172328K0

25、sze百B，Rabin MReferencedependent risk attitudesJAmericall EconoIIlic Review，20叩，97(4)：104710739 cillo A。 Delqui P Meanrisk analysis with enhancedbehavioral contentJ Eumpean Joumal of 0perationalResearch，20】4，23(9)：764-77510wen PingRisk measure based on convex functionJPractice and understanding of Mathematics，2013，43(4)：21522011Roy A Dsafbty first and the holding of assetsJEcuIlomeI_rica，1952，20(3)：43144912 Bawa V s 0ptimal rules for ordering uncenain prospectsJ Joumal of Financial Economics， 1975， 2(1)：163170万方数据