高一数学知识点总结--必修5.docx

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1、高一数学知识点总结-必修5高一数学知识点总结-必修5高中数学必修5知识点第一章：解三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有asinbsina2RcsinC2R2、正弦定理的变形公式：a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）a:b:csin:sin:sinC；abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin222abc3、三角形面积公式：SC4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，cab2abcos

2、C2225、余弦定理的推论：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab2226、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若a2b2c2，则C90为直角三角形；若a2b2c2，则C90为锐角三角形；若a2b2c2，则C90为钝角三角形第二章：数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的

3、数列9、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差12、由三个数a，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项若bac2，则称b为a与c的等差中项13、若等差数列an的首项是a1，公差是d，则ana1n1d第1页共6页通项公式的变形：anamnmd；a1ann1d；ddanamnmana1n1；nana1d1；14、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q

4、*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前n项和的公式：Snna1an2；Snna1nn12d16、等差数列的前n项和的性质：若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇S偶nn1（其中S奇nan，S偶n1an）17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成

5、等比数列，则G称为a与b的等比中项若G2ab，则称G为a与b的等比中项n119、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qnm20、通项公式的变形：anamq；a1anqn1；qn1ana1；qnmanam*21、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数*列，且2npq（n、p、q），则anapaq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m2项和构成的数列成等比数列。na1q122、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaq1nq11q1qq1时，Sna11qa11qq，即常数项与q项系数互为相反数。nn23、等比数列的前n项和的性质：

6、若项数为2nn*，则SS偶奇qnSnmSnqSmSn，S2nSn，S3nS2n成等比数列第2页共6页24、an与Sn的关系：anSnSn1S1n2n1一些方法：一、求通项公式的方法：1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法若相邻两项相减后为同一个常数设为anknb，列两个方程求解；若相邻两项相减两次后为同一个常数设为anan2bnc，列三个方程求解；若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为anaq2、由递推公式求通项公式：若化简后为an1and形式，可用等差数列的通项公式代入求解；若化简后为an1anf(n),形式，可用叠加法求解；若化简后为an1anq形式，可用等比数列的通项公式代入求解；若化

7、简后为an1kanb形式，则可化为(an1x)k(anx)，从而新数列anx是等比数列，用等比数列求解anx的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式：a1S1anSnSn1检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。4、其他（1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加；例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q为相除后的常数，列两个方程求解；n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，构造倒数为等差数列；anan1anan121an1例如：ana

8、n12anan1，则1，即为以-2为公差的等差数列。anan1（3）anqan1m形式，q1，方法：构造：anxqan1x为等比数列；例如：an2an12，通过待定系数法求得：an22an12，即an2等比，公比为2。（4）anqan1pnr形式：构造：anxnyqan1xn1y为等比数列；nn（5）anqan1p形式，同除p，转化为上面的几种情况进行构造；第3页共6页因为anqan1pn，则anpnqan1ppn11，若qp1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若若ak0，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k

9、满足d0a0k1a10a10ak0，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足d0a0k1三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：an2n13；n分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；22n12n1一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：an2n1等；n四、综合性问题中等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为ad和ad类型，这样可以相加约掉，相乘

10、为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和aq类型，这样可以相乘约掉。第三章：不等式1、ab0ab；ab0ab；ab0ab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质：abba；ab,bcac；abacbc；ab,c0acbc，ab,c0acbc；ab,cdacbd；ab0,cd0acbd；ab0abab0nnnn,n1；anbn,n13、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式第4页共6页4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b4ac201*二次函数yaxbxc2a0的图象有两个相

11、异实数根一元二次方程axbxc02有两个相等实数根a0的根axbxc0一元二次不等式的解集2x1,2b2ax1x2b2a没有实数根x1x2a0axbxc02xxx1或xx2bxx2aRa0xx1xx25、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线

12、xyC0的下方9、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xyC0下方的区域若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上方的区域10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解x,y第5页共6页可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设a、b是两个正数，

13、则ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数212、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即ab2ab13、常用的基本不等式：a2b22aba,bR；22abab2a,bR；abab2a2b2ab22a0,b0；22a,bR14、极值定理：设x、y都为正数，则有s（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值s2若xy4若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p第6页共6页扩展阅读：高中数学必修5知识点总结(精品)必修5知识点总结1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有asinbsincsinC2R2、正弦定理的变形公式：

14、a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；sina2R，sinb2R，sinCabsinc2R；a:b:csin:sin:sinC；csinCabcsinsinsinCsin（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA

15、,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）12、递减数列：从第2项起，每一项都

16、不大于它的前一项的数列（即：an+1nana1d1；danamnm21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq22、等差数列的前n项和的公式：Snna1an2；Snna1nn12dsna1a2an23、等差数列的前n项和的性质：若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1S奇S偶nn1若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）（其中S奇nan，24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数

17、称为等比数列的公比符号表示：an1anq（注：等比数列中不会出现值为0的项；同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：2anan1q(n2,q为常数,且0)anan1an1(n2，anan1an10)ancqn(c,q为非零常数).正数列an成等比的充要条件是数列logxan（x1）成等比数列.25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项若Gab，22则称G为a与b的等比中项（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）2n126、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q27、通项公式的变形：anamqnm；a1anq

18、n1；qn1ana1；qnmanam*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数列，且2npq（n、p、q*），则anapaqna1q129、等比数列an的前n项和的公式：Sna1qnaaqsn1n1q11q1q2a1a2an30、对任意的数列an的前n项和Sn与通项an的关系：ans1a1(n1)snsn1(n2)注：ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为0，则是等差数列充分条件）.等差an前n项和Sndddd22AnBnna1n222可以为零也可不为零为等差的充要条件若为零，则是等差数列的

19、充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列前n项和公式通项公式(a1d2)n利用二次函数的性质求n的值.对应函数（时为一次函数）（指数型函数）对应函数（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的

20、函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列分析：因为中，则.是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列中，前n项和为，若，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，则因为欲求最大。最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，例题：3递增数列，对任意正整数n，递增得到：恒成立，设恒成立，求恒成

21、立，即，则只需求出。，因为是递的最大值即分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然有最大值对一切对于一切，所以看成函数的取值范围是：构造二次函数，它的定义域是增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧在也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，得如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：112,314,.(2n1)12n,.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个

22、数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证anan1(anan1)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证2an1anan2(an1anan2)nN都成立。2am03.在等差数列an中,有关Sn的最值问题：(1)当a10,d把式两边同乘2后得2sn=122232n2234n1用-，即：123nsn=122232n22sn=122232n2234n1得sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n122n2n1n1(1n)22sn(n1)2n124.倒序相加法:类似于

23、等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+.+n=n(n1)2212）1+3+5+.+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）1n(n1)1n1n11n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)31、ab0ab；ab0ab；ab0ab32、不等式的性质：abba；ab,bcac；abacbc；ab,c0acbc，ab,c0acbc；ab,cdacbd；nd0acabdb0a；ab0nnbn,n1；anbn,n133、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、含绝对值不等式

24、、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)解法：将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“由图可看出不等式x23x26x80的解集为：x|2x1,或x4(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。例题：求解不等式解：略一元二次不等式的求解：特例一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax+bx+c0(a0)解的讨论.二次函数yax22000bxc有两相异实根x1,x2(x1x2)（a0）的图象一元二次方程ax2有两相等实根x

25、1x2b2abxc0a0的根2无实根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2对于a0(或f(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)f(x)例题：求解不等式：解：略例题：求不等式xx111的解集。3.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a(a0)的不等式的解集为：x|axa型如：|x|a(a0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：x2x292x9(x2)(x3)

26、102x2由得原不等式的解集为：x|112x9（注：是把的解集并在一起）2y函数图像法：令f(x)|x2|x3|2x1(x3)则有：f(x)5(3x2)2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图11292由图像可知原不等式的解集为：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax2+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0若两根都大于0，即0,0，则有00o对称轴x=b2ax0b0若两根都小于0，即0,0，则有2af(0)0y11对称轴x=b2aox若两根有一根小于0一

27、根大于0，即0，则有f(0)0若两根在两实数m,n之间，即mn，0bnm则有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx若两个根在三个实数之间，即mtn，yf(m)0则有f(t)0f(n)0常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数例如：若方程x2(m1)xm2m30有两个正实数根，求m的取值范围。4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有两个正实数根时，m3。又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。55220m(1)4(m1)02解：因为有两个不同的根，所以由21m122f

28、(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0（一）由B确定：若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xyC0下方的区域若0，则xyC

29、0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上方的区域（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：若是“”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解x,y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设a、b是两个正数，则ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数ab2ab42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即43、常用的基本不等式：ab2aba,bR；ab222ab222a,bR；aba

30、b2a0,b0；2ab222ab2a,bR44、极值定理：设x、y都为正数，则有：若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值s42若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2例题：已知x解：x5454p14x5，求函数f(x)4x2的最大值。，4x50由原式可以化为：f(x)4x55214x5(54x)154x3(54x)154x3(54x)154x3132当54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）时取到“=”号也就是说当x1时有f(x)max2友情提示：本文中关于高一数学知识点总结-必修5给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高一数学知识点总结-必修5：该篇文章建议您自主创作。 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第25页 共25页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页