多元函数的极限与连续.docx

《多元函数的极限与连续.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数的极限与连续.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、多元函数的极限与连续 数学分析 第16章 多元函数的极限与连续 安排课时： 1 0 时 第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) 1 平面点集与多元函数 一.平面点集: 平面点集的表示: E=(x,y)|(x,y)满意的条件.余集Ec. 1.常见平面点集: 全平面和半平面 : (x,y)|x0, (x,y)|x0, (x,y)|xa, (x,y)|yax+b等. 矩形域: a,bc,d, (x,y)|x|+|y|1. 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特殊是 (r,q)|r2acosq和(r,q)|r2asinq. 角域: (r,q)|aqb. 简洁域: X

2、-型域和Y-型域. 2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 (x,y)|0|x-x0|d , 0|y-y0|d的区分.3 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）: （1）内点、外点和界点： 内点：存在U(A)使U(A)E 集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)IE=f 界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为E 集合的内点E, 外点E , 界点不定 .例1 确定集E= (x,y)|0(x-1)+(y+2)0,$N,nNPnU(P0,e)或r(P0,Pn) f(x,y)=3. 二元函数求

3、值: 例7 例8 9-x2-y2x2+y2-1; f(x,y)=lny.2ln(y-x+1)yf(x,y)=2x-3y2, 求 f( 1 , -1 ) , f( 1 , ). xf(x,y)=ln(1+x2+y2), 求f(rcosq , rsinq). 4. 三种特别函数: 变量对称函数: f(x,y)=f(y,x),例8中的函数变量对称. 变量分别型函数: f(x,y)=f(x)y(y).例如 z=xye2x+3y, z=xy+2x+y+2, f(x,y)=(xy+y)(xy-x)等 . (xy)2 4 但函数z=x+y不是变量分别型函数 . 具有奇、偶性的函数 四n元函数 二元函数 推广

4、维空间 记作R n 作业 P9 2 8 . 5 1 2 二元函数的极限 一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限 1.二重极限 定义1 设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是确定数 若 e0,$d0,或 2PU0(P0,d)D,f(P)-A (x,y)(0,0)limsinxyx2ylim; ; (x,y)(3,0)yx2+y2 3极限(x,y)(0,0)limxy+1-1ln(1+x2+y2); lim.22(x,y)(0,0)xyx+y(x,y)(x0,y0)limf(x,y)=+的定义: 2定义2设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点， 若 M0,$d0,或 PU

5、0(P0,d)D,f(P)M则limf(P)=+ PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)=+ 其他类型的非正常极限， (x,y)无穷远点的状况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1=+.222x+3y二. 累次极限 二次极限 1. 累次极限的定义: 定义3设Ex,EyR,x0,y0分别是Ex,Ey的聚点，二元函数f在集合ExEy上有定义。若对每一个yEyyy0存在极限limf(x,y) 记作f(y)=limf(x,y) xx0xExx0xE若L=limf(y)存在，则称此极限为二元函数f先对x后对y的累次极限 yy0yEy记作L=limlimf(y) 简记L=limlimf(y)

6、yy0xx0yEyxExyy0xx0例8 f(x,y)=xy, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 . x2+y2 7 例9 x2-y2, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .f(x,y)=22x+y11+ysin, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .yx例10 f(x,y)=xsin2.二重极限与累次极限的关系: 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数f(x,y)=xsin1在点( 0 , 0 )的状况 . y 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例10中的函数, 由 , y)(0,0). 可

7、见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. |f(x,y)| |x|+|y|0 , ( x 两个累次极限存在( 甚至相等 ) / 二重极限存在 .( 参阅例4和例8 ).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系.定理2 若二重极限 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在 . 但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 / 二重极限不存在 .参阅的例.(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一

8、次序)都存在 , 则必相等. xx0yy0 作业提示: P99 1、 2、4 3 二元函数的连续性 ( 4 时 ) 一 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 . 1.连续的定义: 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 . 函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点 . 例1 xy22 , x+y0 ,22x+y f(x,y)=m , x2+y2=0 .1+m2证明函数f(x,y)在点( 0 , 0 )沿方向y=mx连续 . 1 , 0yx2, -x+ , 例2 f(x,y)= ( 1P124 E4 ) 0 , 其他 .证明函数f(x,y)在点( 0 , 0 )沿任何方向都

9、连续 , 但并不全面连续. 函数的增量: 全增量、偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . 2.二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 参阅1P132 图169. 3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. 仅证复合函数连续性. 二. 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. 三.一样连续性: 定义. 四.有界闭区域上连续函数的性质: 9 1. 有界性与最值性. ( 证 ) 2. 一样连续性. ( 证 ) 3. 介值性与零点定理. ( 证 ) Ex 1P13613

10、7 1 ，2，4，5； P137138 1，4. 10 多元函数的极限与连续 多元函数的极限与连续 多元函数的极限与连续习题 一、多元函数、极限与连续解读 高数8多元函数的极限与连续 函数极限与连续 第5讲多元函数极限(续)与连续 第十四讲多元函数的极限与连续 7.1多元函数的概念、极限与连续性 第十六章多元函数的极限与连续 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页