高等数学教案.docx

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1、高等数学教案 - xn-1 , xn， A=DA1+DA2+L+DAn， Dxi=xi-xi-1 (i=1 , 2 , L , n).在每个小区间xi-1 , xi上任取一点xi， DAif(xi)Dxi， Af(xi)Dxi. i=1nl=maxDx1 , Dx2 , L , Dxn.A=limf(xi)Dxi. l0i= 1-高等数学教案 - n2.变速直线运动的路程: 设速度v=v(t)是时间间隔T1 , T2上t的连续函数， 路程记为s.把区间T1 , T2分成n个小区间: ， t0 , t1 tn-1 , tn，t1 , t2，s=Ds1+Ds2+L+Dsn， Dti=ti-ti-1

2、 (i=1 , 2 , L , n).在每个小区间ti-1 , ti上任取一点ti， Dsiv(ti)Dti， -高等数学教案 - sv(ti)Dti.i=1nl=maxDt1 , Dt2 , L , Dtn.s=limv(ti)Dti.l0i=1n3.定积分定义: 设y=f(x)在a , b上有界.把区间a , b分成n个小区间: ，x1 , x2，x0 , x1 xn-1 , xn， -高等数学教案 - Dxi=xi-xi-1 (i=1 , 2 , L , n).在每个小区间xi-1 , xi上任取一点xi， f(xi)Dxi.i=1nl=maxDx1 , Dx2 , L , Dxn. 假

3、如 limf(xi)Dxi l0i=1n存在，且此极限不依靠于对区间a , b的分法和在xi-1 , xi上 -高等数学教案 - 则称此极限为f(x)xi点的取法，在a , b上的定积分，记为 f(xi)Dxi.af(x)dx=liml0bi=1n留意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)积分区间a , b有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即 b af(x)dx= af(t)dt= af(u)du b b b.4.(必要条件).假如f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上 -高等数学教案 - 有界. 5.(充分条件): 假如f(x)在a , b上连续，则f(x)在a ,

4、b上可积.假如f(x)在a , b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a , b上可积.6.定积分的几何意义： 假如f(x)在a , b上连续，且f(x)0，则 b af(x)dx=s (S是曲边梯 -高等数学教案 - 形的面积).假如f(x)在a , b上连续，且f(x)0，则 b af(x)dx=-s (S是曲边梯形的面积). 假如f(x)在a , b上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积. 7.规定: -高等数学教案 - 当a=b时， af(x)dx=0. ab 当时， ba af(x)dx=-bf(x)dx.7.定

5、积分的性质： f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx. b b akf(x)dx=k af(x)dx. b c b af(x)dx= af(x)dx+ cf(x)dx.假如在a , b上f(x)1，则 b b a1dx= adx=b-a. b b b b a a a -高等数学教案 - 假如在a , b上f(x)0，则 b af(x)dx0.假如在a , b上f(x)g(x)，则 b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx. b b设mf(x)M，则 bm(b-a) af(x)dxM(b-.(积分中值定理) 假如f(x) -高等数学教案 - 在a , b上

6、连续，则在a , b上至少存在一点x，使得 b af(x)dx=f(x)(b-a).证:由于f(x)在a , b上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得 mf(x)M， bm(b-a) af(x)dxM(b-a)， f(x)dx amM， b-a -高等数学教案 - b故在a , b上至少存在一点x，使得 b af(x)dx=f(x) b-a即 b af(x)dx=f(x)(b-a). b1称为在f(x)dxf(x) ab-aa , b上的平均值.P23511.证: 对随意实数l，有 12 0l-f(x)dx0， 1 122l-2l 0f(x)dx+ 0f(x)dx0 -高等数学教案 - ，

7、所以 12 12D=4 0f(x)dx-4 0f(x)dx0， 即 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在a , b上连续， 且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(b-a) b b.5.2微积分基本公式 1.积分上限的函数(变上限 -高等数学教案 - 积分): f(x)在a , b上连续，称 xF(x)= af(t)dt xa , b 为积分上限的函数. 2.假如f(x)在a , b上连续， x则F(x)= af(t)dt可导，且 xdF(x)=f(t)dt=f(x) adx. x例1.求F(x)= 0tsintdt的导数. 解: F(x)=xsin

8、x . -高等数学教案 - sintdtsinx 0例2.lim =lim2x0x02xx1=.2 x例3.tedt=lim xx+xe2x+ x2 0t2elim-x2tedtx x2 0t2x=limx+(1+2 x=limx+1+ 2-高等数学教案 - 3. f(x)f(t)dt =fy(x)y(x)-ff(x)f(x) y (x)1=.2. x+bd 例4. x+af(t)dt dx=f(x+b)-f(x+a). 例 15.( xedt)=e-e2x xx=1-2xe. lnx2tlnxx22 -高等数学教案 - 例6.设f(x)在a , b上连续，且单调增加，证明: x1 F(x)=

9、f(t)dt ax-a在(a , b内单调增加.证: 当x(a , b)时， f(x)(x-a)- af(t)dtF(x)= 2(x-a)f(x)(x-a)-f(x)(x-a)=2(x-a) x f(x)-f(x)=(x-a) -高等数学教案 - (axx).由于f(x)在a , b上单调增加，而ax0， (x-a)故F(x)在(a , b内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿莱布尼茨公式): 假如f(x)在a , b上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则 b af(x)dx=F(b)-F(a)=F(. -高等数学教案 - 为F(x)、xF(x)= af(t)dt都是f(x)的原函数，所以

10、F(x)=F(x)+C.由于 F(a)=F(a)+C， aF(a)= af(t)dt=0， 得 C=-F(a)， F(x)=F(x)-F(a)， F(b)=F(b)-F(a)， b即 F(b)= af(x)dx =F(b)-F(a) =F(x). ba -高等数学教案 - 证: 因 -1 1例7. -2dx=lnx-2 x=ln1-ln2 =-ln2. -1 例 2 1 28. 01-xdx= 0(1-x)dx+ 1(x-1)dx 221xx=(x-)0+(-x)22 =1.例9.设 x , x0 , 1) , f(x)=x , x1 , 2 , -高等数学教案 - 2求F(x)= 0f(t)

11、dt在0 , 2上的表达式. x解(x)= x2 0tdt , x0 , 1) 12dt+ x 0t 1tdt , x1 ,x3 , =313+12(x2-1) , x3 =, 31 2 -高等数学教案 6 , - : 2 x0 ,x1 , 2x0 , x1 , 2F 例10.求 x f(x)=0tdt 在(- , +)上的表达式. 0-tdt , x0解: f(x)=x tdt , x002-x , xa，假如tlim a+则称反常义积分 af(x)dx收敛，且 +t af(x)dx=tlim.f(x)dx a+ +t否则称反常积分 af(x)dx发散. + -高等数学教案 - 设f(x)在

12、(- , b上连续，tb，假如limtf(x)dx存在， t-b则称反常义积分-f(x)dx收敛，且 b -f(x)dx=tlim.f(x)dx-tb b否则称反常积分-f(x)dx发散.设f(x)在(- , +)上连 0 +续，假如 -f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分 + -f(x)dx收敛，且 b -高等数学教案 - -f(x)dx += -f(x)dx+ 0f(x)dx. 0 +否则称反常积分 -f(x)dx发散. 2.引入记号: +F(+)=limF(x)， x+F(-)=limF(x). x-若在a , +)上F(x)=f(x)，则当F(+)存在时， + af(x)

13、dx=F(+)-F(a) =F(x). +a -高等数学教案 - 若在(- , b上F(x)=f(x)，则当F(-)存在时， b-f(x)dx=F(b)-F(-) =F(x). b-若在上(- , +)F(x)=f(x)，则当F(+)与F(-)都存在时， +-f(x)dx=F(+)-F(-) =F(x). +-例1.推断反常积分 +-x 0xedx 2-高等数学教案 - 是否收敛，若收敛求其值. -x+1解: 原式=(-e)0 2-x11 =xlim(-e)+ +221 =.2 例2.推断反常积分 -1 -cosxdx 22的敛散性.解: 原式=(sinx) -1-=sin(-1)-limsi

14、nx. x-sinx不存在，由于xlim所以反- -高等数学教案 - 常积分 -cosxdx发散.例3.探讨反常积分 -1 +1 1xadx .解: +1 1xadx (lnx)+=1 , (11-a+1-ax)1 -高等数学教案 - a=1 a1的敛散性 , + , a=1=+ , a1 +1 1xadx，当aa1时发散. 例4.推断反常积分 +1 -1+x2dx .解: +1 -1+x2dx -高等数学教案 - 1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 =(arctanx)0-+(arctanx)+0 pp=+ 22=p. 1 + 例5.推断反常积分 1dx 2x+x +的敛散性. 1dx解:

15、1 2x+x +11= 1(-)dx x1+x+=lnx-ln(1+x)1 -高等数学教案 - +x=ln1 1+xx1=limln-ln x+1+x2=ln2 . 3.假如f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点. 4.无界函数的反常积分(瑕积分): 设f(x)在(a , b上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.假如limtf(x)dx存在，则称反常积ta+ -高等数学教案 - b分 af(x)dx收敛，且 b af(x)dx=limtf(x)dx. b bt a+否则称反常积分 af(x)dx发散.设f(x)在a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.假如 blim

16、af(x)dx存在，则称反常积tb-t分 af(x)dx收敛，且 b af(x)dx=limaf(x)dx. btt b-否则称反常积分 af(x)dx发散.设f(x)在a , b上除点c (acb)外连续，点c为f(x)的 b -高等数学教案 - 瑕点.假如两个反常积分 b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则 b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx= af(x)dx+ cf(x)dx. b否则称反常积分 af(x)dx发散. 5.引入记号: 设F(x)为f(x)在(a , b上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则 b af(x)dx=F(b)-limF(

17、x) xa+=F(x). ba -高等数学教案 - 设F(x)为f(x)在a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则 b af(x)dx=limF(x)-F(a) xb-=F(x). ba 例6.推断反常积分 0lnxdx的敛散性. 1解: 0lnxdx=(xlnx)-0dx 1101=0-lim(xlnx)-x x 0+10=-1. -高等数学教案 - 1例7.探讨反常积分 0adxx 1的敛散性.解: 11 0xadx (lnx)10 , a=1=(1-11-a1 ax)0 , a1 0-limx 0+lnx , =1-lim 0+(1-1ax1-a1-ax) -高等数学教案 -

18、a=1 a1 , 1 , a1 11所以反常积分 0adx，当a1x时收敛，当a1时发散. 11 例8.推断反常积分 -12dxx的敛散性.1解: -12dx x 01 11= -12dx+ 02dx xx 1 -高等数学教案 - 高等数学教案 高等数学教案12 高等数学教案ch 8.48.8 高等数学教案ch 9 重积分 高等数学教案ch 11 无穷级数 高等数学教案ch 8.2 偏导数 高等数学上教案 高等数学 高等数学 高等数学 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第23页 共23页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页