江苏2018高三数学一轮复习----三角函数与解三角形(共128页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第1讲弧度制与任意角的三角函数考试要求1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求知 识 梳 理1角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限(3)终边相同的角：与角的终边相同的角的集合为|

2、k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 续表各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然

3、()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)若，则tan sin .()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角(3)顺时针旋转得到的角是负角(5)终边相同的角不一定相等答案(1)(2)(3)(4)(5)2若角与角的终边相同，则在0,2内终边与角终边相同的角是_解析由题意知，2k，kZ，kZ，又0,2，k0，；k1，；k2，；k3，.答案，3(必修4P15习题6改编)若tan 0，sin 0，得在第一或第三象限，又sin 0)，所在圆的半径为R.(1)若90，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的

4、面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则90，R10，l105(cm)，S弓S扇S5101022550(cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇R22.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.考点三三角函数的概念【例3】 (1)(2017扬州一中月考)已知角的终边与单位圆x2y21交于点P，则cos 2_.(2)(2017泰州模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_(3)若sin tan 0，且0，即m.(3)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限

5、的角，由0，可知cos ，tan 异号，从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案(1)(2)(3)三规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围【训练3】 (1)(2017无锡期末)已知角的终边与单位圆的交点P，则sin tan _.(2)满足cos 的角的集合为_解析(1)由|OP|2y21，

6、得y2，y.当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.答案(1)(2)思想方法1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧易错防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是

7、象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况基础巩固题组(建议用时：30分钟)1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题的个数为_解析是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确40036040，从而正确31536045，从而正确答案32已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第_象限解析由题意知tan 0，cos 0，是第二象限角答案二3(2017苏州期末)已知角的终边经过点P

8、(4，m)，且sin ，则m_.解析sin ，解得m3.答案34.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_解析在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为(kZ)答案(kZ)5设P是角终边上一点，且|OP|1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是_解析由已知P(cos ，sin )，则Q(cos ，sin )答案(cos ，sin )6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得答案7点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)

9、满足xcos ，ysin .答案8设是第三象限角，且cos ，则是第_象限角解析由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角答案二9若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为_解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，.答案10已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.解析由题意知，tan 2，即sin 2cos ，将其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21.答案11给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用

10、角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则实数a的取值范围是_解析cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.答案(2,3能力提升题组(建议用时：15分钟)13已知圆O：x2y24与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为，则tan _.解析圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan 1.答案114(2017泰州模拟)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _.解析因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又co

11、s x，解得x3，所以tan .答案15函数y的定义域为_解析2sin x10，sin x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)答案(kZ)16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析如图，作CQx轴，PQCQ, Q为垂足根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ2，|CQ|cossin 2，|PQ|sincos 2，所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2，P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2，所以P点的坐标为(2sin 2,

12、1cos 2)，故(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)第2讲同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求1.同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan ，B级要求；2.，的正弦、余弦的诱导公式，B级要求.知 识 梳 理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_ cos_ cos_ sin_sin_ 正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限诊 断 自 测1

13、判断正误(在括号内打“”或“”)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()解析(1)对于R，sin()sin 都成立(4)当k为奇数时，sin ，当k为偶数时，sin .答案(1)(2)(3)(4)2sin 600的值为_解析sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60.答案3(2017苏北四市摸底)已知sin，那么cos _.解析sinsincos ，

14、cos .答案4(2017南通调研)已知sin cos ，则sin cos _.解析sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，sin cos 或.又，sin cos .答案5(必修4P23习题11改编)已知tan 2，则的值为_解析原式3.答案3考点一同角三角函数基本关系式及其应用【例1】 (1)(2015福建卷改编)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于_(2)(2017盐城模拟)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为_(3)(2016全国卷改编)若tan ，则cos22sin 2_.解析(1)sin ，且为第四象限角，cos ，t

15、an .(2)，cos 0，sin sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .(3)tan ，则cos22sin 2.答案(1)(2)(3)规律方法(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练1】 (1)已知sin cos ，(0，)，则

16、tan _.(2)(2017盐城调研)若3sin cos 0，则_.解析(1)由得：2cos22cos 10，即20，cos .又(0，)，tan tan 1.(2)3sin cos 0cos 0tan ，.答案(1)1(2)考点二诱导公式的应用【例2】 (1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)求值：设f()(12sin 0)，求f的值解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 2

17、10cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(2)f()，f.规律方法(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .【训练2】 (1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是_(2)化简：_.解析(1)当k为偶数时，A2；k为奇数时，A2.(2)原式1.答案(1)2，2(

18、2)1考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】 (1)已知tan，则tan_.(2)(2017南京、盐城模拟)已知cos，且，则cos_.解析(1)，tantantan.(2)因为，所以cossinsin.因为，所以0，所以，所以sin.答案(1)(2)规律方法(1)常见的互余的角：与；与；与等(2)常见的互补的角：与；与等【训练3】 (1)已知sin，则cos_.(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x，当0x时，f(x)0，则f_.解析(1)，coscossin.(2)由f(x)f(x)sin x，得f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf

19、(x)，所以fffffsin.因为当0x时，f(x)0.所以f0.答案(1)(2)思想方法1同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用2三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x进行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos

20、2(1tan2)sin2tan .易错防范1利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.基础巩固题组(建议用时：30分钟)1(2016四川卷)sin 750_.解析sin 750sin(72030)sin 30.答案2(2017镇江期末)已知是第四象限角，sin ，则tan _.解析因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan .答案3已知tan ，且，则sin _.解析tan 0，且，sin 0，si

21、n2，sin .答案4._.解析|sin 2cos 2|sin 2cos 2.答案sin 2cos 25(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析由题意，得cos，tan.tantan.答案6(2017扬州中学质检)向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos_.解析a，b(cos ，1)，且ab，1tan cos 0，sin ，cossin .答案7(2017广州二测改编)cos，则sin_.解析sinsincos.答案8(2017泰州模拟)已知tan 3，则的值是_解析原式2.答案29已知为钝角，sin，则sin_.解析因为为钝角，所以cos，所以sincoscos.答

22、案10已知sin ，则sin4cos4的值为_解析sin4cos4sin2cos22sin211.答案11化简：_.解析原式1.答案112(2017西安模拟)已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 017)的值为_解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)asin()bcos()asin bcos 3.答案3能力提升题组(建议用时：15分钟)13已知sin()cos(2)，|0时，ymaxk1；当k0，且.所以0，由正弦曲线得2kx2k(kZ)所以不等式组的解集为.答案(1)(2)(

23、3)规律方法(1)三角函数定义域的求法以正切函数为例，应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域(2)简单三角不等式的解法利用三角函数线求解利用三角函数的图象求解【训练1】 (1)函数ytan 2x的定义域为_(2)函数y的定义域为_解析(1)由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.(2)法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二利

24、用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)所以定义域为.法三sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)所以定义域为.答案(1)(2)考点二三角函数的值域【例2】 (1)函数y2sin x1，x的值域是_(2)(2016全国卷改编)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为_(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_解析(1)由正弦曲线知ysin x在上，1sin x，所以函数y2sin x1，x的值域是(2,1(2)由f(x)cos 2x6cos12sin2x6sin x22

25、，所以当sin x1时函数的最大值为5.(3)设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.答案(1)(2,1(2)5(3)规律方法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin

26、xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)【训练2】 (1)(2017泰州模拟)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为_(2)函数y2cos1的最大值是_，此时x的取值集合为_解析(1)因为0x9，所以x，所以sin.所以y，2，所以ymaxymin2.(2)ymax2(1)13，此时，x2k，即x4k(kZ)答案(1)2(2)3考点三三角函数的性质(多维探究)命题角度一三角函数的奇偶性与周期性【例31】 (1)(2017常州期末)函数y2cos21的最小正周期为_的_函数(填“奇”或“偶”)(2)(2017衡水中学金卷)设函数f(x)sincos的图象关于y轴对称，则_.解析(1)y2cos21cos2coscossin 2x，则函数为最小正周期为的奇函数(2)f(x)sincos2sin，由题意可得f(0)2sin2，即sin1