基于能量均匀化的高剪切强度周期性点阵结构拓扑优化-杜义贤.pdf

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1、第53卷第18期20 1 7年9月机械工程学报JOURNAL 0F MECHANICAL ENGINEERINGVbl53SepNO182 0 l 7DoI：103901JM哐201718152基于能量均匀化的高剪切强度周期拓扑优化水叫毕占 I_上，I、 阵结构杜义贤1，2 李涵钊1 田启华1,2尹艺峰1 罗 震3(1三峡大学机械与动力学院宜昌443002；2三峡大学水电机械设备设计与维护湖北省重点实验室宜昌443002；3悉尼科技大学电机、机械和机械电子系统工程学院悉尼NSW2007澳大利亚)摘要：传统多孔结构构型型式单一、缺乏科学设计方法的指导，为了从拓扑构型角度设计抗剪切性能更优的周期性

2、点阵结构，基于拓扑优化技术，以周期性单胞为研究对象，以其切变模量最大为目标，以结构的材料用量和力学控制方程为约束条件，利用能量均匀化方法建立基于宏观力学性能的细观点阵结构的优化模型，通过改进的优化算法求解模型，得到了一种宏观上的拓扑边界清晰的周期性点阵结构。然后根据优化结果，在考虑胞元非等壁厚和横向剪切变形影响条件下进行等效材料力学性能分析，得到剪切性能关于微结构胞元几何参数的表征，同时加工制造了优化得到的周期性点阵结构，并进行了剪切力学性能测试。从理论分析和性能试验两个方面与六边形蜂窝结构相应的切变模量进行对比，结果表明，经优化得到的周期性点阵结构切变模量有大幅提升、抗剪切性能更优越。验证了

3、所提出方法能有效地应用于周期性点阵结构抗剪切性能的优化设计。关键词：点阵结构：高剪切强度；能量均匀化方法：拓扑优化中图分类号：THllTopology Optimization of Periodic Lattice Structure with High ShearStrength Using Energybased HomogenizationDU Yixianl，2 LI Hanzha01 TIAN Qihual2 YIN Yifen91 LUO Zhen3f1College ofMechanical&Power Engineering，China Three Gorges Univer

4、sity,Yichang 443002；2Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design&MaintenanceChina Three Gorges University,Yichang 443002；3School of Electrical，Mechanical and Mechatronic Systems，University of Technology Sydney,Sydney NSW2007，Australia)Abstract：The topology configuration oftraditional poro

5、us structure is single，lack ofscientific design method for guidanceIn orderto design periodic lattice structure with high shear strengthThe optimization model of microcellular materials based on theproperties of macrostructures which focused on the periodic base eell for finding a microstructural to

6、pology with the maximumshear modulus under a prescribed volume and mechanic constraint iS built based on topology optimization techniqueBy solving themodel on modified optimal algorithmthe mechanical equivalent properties are deduced according to the optimized result，thecharacterization of shear per

7、formance with respect to microstructuraI geometrical parameters IS obtained by considering thetransverse shear deformation and the flexibility of tlle eell wallFinally,the obtained lattice structure iS manufactured，and then theshear properties are testedit can be concluded that the measured shear mo

8、dulus of the lattice structure iS higher than those ofhexagonal honeycomb structureswhich demonstrates the excellence shearing performance of the periodic lattice structureResultsshow that the proposed method can be effectively applied to the design of periodic lattice structure with great shear per

9、formanceKey words：1attice structure；high shear strength；energybased homogenization method；topology optimization0前言随着制造技术的高速发展，多孔材料因其质量+国家自然科学基金(51105229，51475265)、湖北省杰出青年基金(2013CFA022)、湖北省科技支撑计划对外科技合作(2015B髓026)和湖北省教育厅科学研究计划(D20161205)资助项目。20160924收到初稿，20170505收到修改稿轻、比强度高、密度小等优质力学特性以及诸多隔热、吸能、消音降噪等物理

10、特性而被广泛地应用于各行各业。点阵材料，作为其中的典型代表，可以理想化地认为是大量相同的点阵单元(细长梁或杆)通过某种有规律的方式以单胞形式周期性地排布堆叠而构成。通过对周期性点阵材料微结构进行优化设计从而获得体积模量最大、切变模量最大、负泊万方数据2017年9月 杜义贤等：基于能量均匀化的高剪切强度周期性点阵结构拓扑优化 153松比等特定性能的宏观材料是目前材料设计领域的研究热点之一【l J。材料的宏观性能取决于材料微结构的尺度、构型以及材料各组分的性能，通过对微结构的构型设计可以获得具有各组分所不具备的性能。而自BENDSOE等t2-31提出基于均匀化方法解决材料布局优化问题后，SIGMU

11、ND等一。1提出了复合材料微结构拓扑优化设计理论并采用逆均匀化技术实现了其微结构的设计、数值模拟和试验验证，促进了微结构设计理论和技术的发展。YIN掣叫采用优化准则法实现了具有特定拉胀性能的负泊松比材料微结构设计；张卫红等7-9提出应变能等效的能量法，并进行材料微结构等效弹性性能的预测，在给定材料组分比条件下进行具有极端热传导性能的复合材料设计；HUANG等【l u1提出BESO方法进行二维和三维的极端体积模量和切变模量的材料微结构设计，在收敛速度方面表现出明显的优势。目前已有的研究工作主要围绕经典逆均匀化方法以及在给定材料组分比和其他约束条件下进行微结构的极端特性设计方法两个方面展开，从设计

12、的角度提升材料综合性能。在此基础上，KELSEY等【l|2J从宏观上对所设计的六边形蜂窝结构的有效弹性模量进行了开创性的研究，有学者又对其他形式周期性点阵结构的有效弹性常数及其等效分析方法进行了大量研究【l孓16J。PAN等【l 7博1对不同蜂窝结构的横向剪切强度及其失效模式进行探讨，并以填充聚合物材料的方式增强其抗剪切能力。现有针对受到剪切或弯曲载荷等不同载荷情况下的点阵结构性能的研究主要围绕结构的扭转刚度性能推导、夹芯层切变模量的求值和试验验证等方面【l*删J。从现有研究成果分析发现，一方面，工程中常用的以六边形为胞元的周期性点阵结构抗剪切能力较差，从具体应用环境出发优化设计点阵结构的拓扑

13、构型以提升其抗剪切能力的研究比较欠缺；另一方面现有的研究大多采用数学推导严谨的均匀化方法，但是该方法设计变量繁杂，材料等效性能的灵敏度求解效率低，不便于程序实现及其应用推广。因此，本文利用拓扑优化技术，从复合材料等效性能的基本定义出发构建特定的边界条件，探讨等效性能的简洁的能量求解预测方法，同时以周期性单胞的切变模量最大为目标，以结构的材料用量和力学控制方程为约束条件，利用能量均匀化方法建立基于宏观抗剪切性能的细观点阵结构的优化模型，通过有限元技术和改进的优化算法求解模型，从而得到了一种宏观上的周期性点阵结构；然后对周期性点阵结构的力学等效模型进行分析与求解，并与六边形蜂窝结构抗剪切性能进行比

14、较；最后加工制造了优化得到的点阵结构，并进行剪切力学性能测试，从宏观角度对点阵结构的抗剪切性能进行了试验验证和分析。1 周期性点阵材料微结构的抗剪切性能优化设计11 基于能量均匀化理论的点阵材料微结构拓扑优化模型材料的细观结构设计方法不涉及材料组分和物理性能研究，只关注在细观尺度下，孔洞的结构以及若干孔洞所围成的周期性区域内基体材料分布(即材料细观构型)对结构宏观力学性能的影响。通过运用均匀化理论对细观的单个表征元(Representative elementary volume，RVE)I内材料布局及其组成进行优化来近似得到具有特定宏观力学性能的周期性点阵结构。在线弹性范围内，根据HillM

15、andel条件或宏细观能量等价定理口，宏观非均质材料的细观构型呈周期性分布的特点，从而选取适当的相对于宏观尺度很小并能反映材料组成性质的单胞，建立单胞模型，确定单胞的描述变量，存在如下关系u盯M：6sM=二JF盯”：8E”d (1)VJr朋 ” r，式中，盯M，6sM，圪，仃“，踮”分别表示宏观尺度应力张量、应变张量，RVE单胞体积，细观尺度应力张量和应变张量。满足上述条件，在平均场理论中，宏观应力和应变定义为细观表征元上应力和应变的体积平均，宏细观尺度之间通过给定的恰当的表征元边界条件如均匀应变、均匀应力、周期性边界条件而联系起来，材料宏观等效本构属性由细观本构关系通过均匀化过程得到【2。在

16、材料全局域Q上定义R3坐标系f(xl，X2，x3)，对于一个周期复合材料单胞】，Y=【o，y门o，少：【o，硝，其中y?，yO，Y；是单胞在三个方向的尺寸，将宏观尺度位移场5(工)按小参数，进行展开，并只考虑渐近展开的第一项，通过在整个单胞域内平均积分，均匀化刚度张量可表示为M纠啪=南y。(掣L搿)dr (2)ll占茅是以下问题的y-周期性解L。搿等d】，=L”O。(Id嫠d】，(3)万方数据154 机械工程学报 第53卷第18期式中，吲代表单胞的面积，是Y-周期性许可位移场，占掣对应于3个线性独立的单位测试应变场，占笋为周期性波动的应变场，为局部变化的刚度张量。通过应变能等效的方式，等效体满

17、足平均应力应变原理，存在胡克定律：万=C万，其具体矩阵表达形式为式中，匠，、五：分别为1方向、2方向的平均应力，互。、夏：分别为相应的平均应变，匠：、瓦：为1、2方向的平均切应力与应变。基于应变能的方法和均匀化方法对材料有效物理属性通过如下的推导联系起来一J，考虑在切应变状态下，即夏。=乏：=0、鬲2=1，微结构单位体1 1积应变能巨=去匠：虿：=匾：，在周期性边界条件二 二下，微结构的应变能为E=，I_FU=11UTKU=c品。占州 (5)式中，F、U和五分别是微结构的节点力矢量、位移矢量和刚度矩阵，占茹训对应于公式(2)07叠加的应变场占笋一占茅，根据最小势能原理和有限元分析，将单胞离散为

18、个有限单元，从而得到结构的切变模量等效表达式，：2罢啦=yC胛R川A(们Ady_(-J”)7 k。A (6)式中，H?例对应于对单位测试应变场求解所得到的单元位移，k，为单元刚度矩阵。如果对任一单元采用变量x表示该单元材料的有无，通过引入惩罚因子P，在材料的弹性模量和单元的相对密度之间建立起一种显式的非线性对应关系231。本文基于改进的固体各向同性惩罚微结构(Solid isotropic microstructures with penalization，SIMP)插值函数【24|，建立密度弹性关系，其数学表达式为疋(x)=Emi。+(pax)P(E0一E。i。) (7)式中，pax)为设计

19、域内任一点z处的相对密度，为实体材料的弹性模量，瓦i。为近似孔洞的伪材料的弹性模量，防止刚度矩阵出现奇异，P为弹性模量惩罚因子，一般取P=35。以材料微结构单胞的切变模量最大化为目标，所建立的优化问题的数学模型如下max：厂(H(p)=12P。st：KU(村)=F(，k，=1，2，dVePelitl19e=l0min(1，+m)(14)式中，IXenrO(k)”l为在优化求解之前极化算子未被一 一极化的初始解；lXtqO(k)4 l是在优化求解之前极化L J算子已极化的解，即更新解；S为控制极化速率的参数，在本文中取S=7；“为以。为初始解通过优化准则法更新后的解，即优化后的最优解。设实体材料

20、的相对弹性模量E=l，泊松比=O3；给定材料组分比为04和06两种，网格划分为5050和100100两种，不同过滤半径及惩罚因子下的优化结果及相应的等效弹性矩阵如表1所示。表l中优化拓扑构型图片中的黑色部分表示实体材料，白色部分表示无材料的孔洞。从优化结果和相应的等效弹性矩阵分析可知：在同一目标函数情况下，不同的材料组分比、网格粗细、过滤半径以及惩罚因子对优化结果都有一定的影响；但相同材料组分情况下，微结构的等效弹性矩阵数值上很接近。采用改进的OC算法避免了单元相对密度只向0极化产生中间密度单元的问题，也避免了在优化迭代过程中直接删除中间密度单元而导致搜索过程陷入局部最优解的问题。而敏度过滤技

21、术能进一步消除灰度单元和棋盘格式等数值不稳定问题，得到边界清晰的拓扑结构。所得到的优化结果的一个共同点是：微结构构型呈对称分布，材料聚集于45。方向布局以抵抗剪切载荷，充分发挥材料潜力，使最优微结构拓扑显示出高剪切刚度。表1 不同材料组分比、网格数、过滤半径及惩罚因子下微结构构型和相应等效弹性矩阵过网格数 霉径单胞忙s呲e o【ol o o 0085 3 Jr 00961 0 085 5 o 、卜85 5 0096l o ol 0 0 O 076 2 JrO 094 4 O084 9 0 、卜84 9 0094 4 o Ol 0 0 0075 5 J0106 9 0101 9 0 1o ol

22、0 0 o 088 6 JrO0969 O087 0 0 、卜87 o n096 9 oOl 0 0 o076 9f0112 3 0 098 6 0 1卜，s s o O33 等效弹性矩阵R溅强。；67陪嶙；蚓f O232 1 0 156 4 0 1l。1：6 4。茗21。0。，J两i可瞄磷篱。；10R渊点，；81冀戮霾爨麓瑟震爨一53薯万方数据机械工程学报 第53卷第18期图1所示为100x100网格划分单胞结构，材料组分比为05，过滤半径为5，惩罚因子为3的情况下周期性点阵结构优化过程的迭代曲线。O 11O 100 09i粤O 08私07驱006皿0 050 0400350 100 150

23、 200 250迭代步数图1切变模量最大为目标的迭代图从图1可以看出，采用了本文式(13)、(14)所示新的极化算子构成的迭代公式，在前27步迭代曲线快速收敛，到140步时曲线变化趋于平稳，优化结构只是一些细微拓扑构型的变化，经过230步迭代收敛终止。迭代收敛时，切变模量的相对值是0106。其单胞的设计变量分布图如图2所示。 隰密度雕110 604阶0图2切变模量优化的单胞密度分布根据图2所示单胞的优化结构，可得到由多个单胞周期性排布构成的点阵结构如图3所示。根据上述基于能量均匀化的拓扑优化设计理论，得到了本文优化计算所得的周期性点阵结构。通过结构拓扑特征提取及后处理，该点阵结构可视作六边形蜂

24、窝结构创新构型组合而成，下面将对所得到的周期性点阵结构的宏观力学等效模型进行分析与求解。图3整体周期性点阵结构2周期性点阵结构等效力学性能分析本文在GIBSON等瞄州所提出的经典胞元理论基础上，考虑切应力和胞元非等壁厚的影响，详细推导了上述优化得到的周期性点阵结构的面内等效切变模量的解析表达式，并与六边形蜂窝结构进行比较。21周期性点阵结构的等效弹性参数以力平衡关系为基础，建立周期性点阵结构的等效模型如图4所示。设最为周期性点阵结构基体材料的弹性模量，t和b分别为薄胞壁和周期性点阵结构的厚度，为斜边胞壁的长度，h为直边胞壁的长度。根据胞元理论及悬臂梁理论，使周期性点阵结构等效模型处于单向受力状

25、态(充分考虑弯曲变形的影响)，并对其进行等效研究。图4周期性点阵结构等效模型示意图22面内等效切变模量和等效密度的推导由于点阵结构的对称性，选取如图4所示单胞结构进行受力分析，在横向剪切变形情况下，胞壁所承受的载荷、位移、应力与应变如图4所示。周期性点阵结构的直边胞壁可视为悬臂梁模型，假设由弯曲变形产生的挠度为4，则直边胞壁万方数据2017年9月 杜义贤等：基于能量均匀化的高剪切强度周期性点阵结构拓扑优化 157的等效载荷只表示为 日=警(15)1 伯2)3 ”。式中，11为直边胞壁惯性矩，=htl312；tI为周期性点阵结构直边胞壁的厚度，f1=2t。斜边胞壁在横向剪切作用下的总变形由剪切变

26、形和弯曲变形两部分组成，分别用正、疋表示，则其等效载荷忍、只分别可表示为 昱=紫(16) 佑2r ”只=e8sltb (17)式中，12为斜边胞壁惯性矩，厶=It312；G为周期性点阵结构基体材料的切变模量。假设剪切变形在图4所示z方向的挠度为瓯，则直边胞壁的弯曲变形、斜边胞壁的剪切变形和弯曲变形分别为：奄：瓯，嗔=瓯cost9，嘎=瓯sin0。为了得到周期性点阵结构的切变模量的精确表达式，需要考虑直边胞壁和斜边胞壁的弯曲变形的影响。根据平衡条件有眉+2最sin0+2只cosO=2蠕(Jiz+lsinO)lcos0 (18)式中，碟为作用在一个代表单胞的等效面积上的等效切应力，可表示为eq=G

27、嚣埽。其中增为作用在一个代表单胞的等效面积上的等效切应变y嚣=6v 7b o因此，将式(15)(17)代入式(18)中计算可得，周期性点阵结构的等效切变模量为 四=篇+篙端等，周期性点阵结构的等效胞元及其等效实体模型的质量分别为ml=凡K=成4bt(h+，) (20)m。=PcVce=Pcb(h+2lsinO)(h+2cosO) (21)根据等效前后的质量守恒原理，=ml，得=面4面t(1蕊+h万)psPc 丽 (22)2面面蕊万丽 (22)综合上面的推导，可以得到适合工程应用的周期性点阵结构各等效弹性参数表达式为式中，晟、G分别为周期性点阵结构基体材料的弹性模量和切变模量；罐为点阵结构在xy

28、平面上的等效切变模量；以、破分别为点阵结构的等效密度和基体材料的密度。23 同种材料实例下两种结构切变模量对比分析选取某承载结构上采用的夹层板作为实例。该夹层板的夹芯选用的基体材料为各向同性的铝合金，假设正六边形蜂窝结构和周期性点阵结构所构成的夹芯层厚度b均匀一致。取矽：45。，h=，=1，式(23)可简化为 睁帮，成=斋南对于具有相同胞元厚度t的六边形蜂窝夹芯结构层，当取曰=30。，h=，=1时，根据其等效力学性能参数公式301，相应的公式可简化为为了在保证实在质量相同的情况下更加直观地比较两种结构剪切模量理论计算结果的大小，设点阵结构胞元与正六边形蜂窝结构胞元的等效密度相等，即成=如， 而

29、pcpo。=3-(3+2互)，令nG为周期性点阵结构与正六边形蜂窝结构对应的面内等效切变模量之比，则 一旦：螳，“瓯。 (2+1)b2t2对于该实例中同一材质，由于其弹性模量E、切变模量G与泊松比匕之间存在关系G=E2(1+螺)。根据该工程实例可知，2t21，从而可得甩G=9 r；t2矿+186 12一甩G 2 矿+1酌。1863+2F422091(271一一y一力，一口一“，一nO+一_；一圮3一，)一，z缸一+H一+4一一里的鲤口一一一一坐川而5Q上廊。，E鱼撕t舞叫=。艮万方数据158 机械工程学报 第53卷第18期(爵吒。 (28)由上述推导结果可以看出，在相同材料实例、考虑周期性点阵

30、结构胞元质量与正六边形蜂窝结构胞元质量相等的情况下，周期性点阵结构相比于正六边形蜂窝夹芯结构，其等效切变模量大幅提升。说明周期性点阵结构的抗剪切性能明显优于工程中常用的正六边形蜂窝结构，也从理论上证明了周期性点阵结构宏观等效力学性能的优越性。3 周期性点阵结构剪切力学性能试验及分析31周期性点阵结构试验试样的制作根据前述拓扑优化设计结果，为了方便加工制造，对拓扑结构细微之处进行了一定的简化处理。分别采用3D打印和线切割方式加工出了该周期性点阵结构，两种方式所制作的试样如图5所示。a)3D打印的试样【b)线切割的试样图5制作的周期性点阵结构试样考虑到加工便捷性，试验试样的加工分两个工序完成：利用

31、线切割技术加工出大量的板条；利用胶结技术将板条胶结成形。试样的具体尺寸如下：长和宽度B为l 12 mm和67 mm，厚度6=106 mm，胞壁厚度f为05 mm。32周期性点阵结构剪切力学性能测试根据相关国家标准，在室温下利用万能试验机进行剪切试验，剪切加载速度O1 mmmin。通过万能试验机收集在加载过程中结构抗力随位移(变形量)变化曲线如图6所示。a)剪切试验装置他移IllmbI点阵结构抗J-他移曲线图6 身【Jj。陀能_：Jl忆式装l、ll：及所得J一他C,-移线通过对图6b所示曲线进行分析可知，加载的初始阶段是周期性点阵结构抵抗变形的阶段，随后，载荷随着位移变化曲线出现曲折波动，节点破

32、坏使结构抗力急剧减小，最后点阵结构胶接层断裂、结构彻底破坏，破坏的结构如图6b所示。试验过程中周期性点阵结构主要承受的是剪切载荷，随着载荷的逐步增加，胞元结构会产生较大的剪切变形并将载荷传递给相邻单胞，从而承受面内横向剪切变形。从图6b中选取点阵结构失效时的应力作为整体结构抗剪强度，结构在弹性变形过程中压力一应变曲线的斜率酬万作为整体结构切变模量，通过代入剪切性能试验公式【ju计算得G：!：竺：!Q：!X!业：2U一3tM，PaU。=Z j r IZy)。 三-占拶 112X67 0016对比在相同试验条件下，式(29)所示周期性点阵结构切变模量试验测试值与文献19中剪切试验得到的常用正六边形

33、蜂窝结构面内等效切变模量值136 MPa，本文优化得到的周期性点阵结构等效切变模量是六边形蜂窝结构等效切变模量的149倍，从而证明了周期性点阵结构抗剪切性能的优越性。万方数据2017年9月 杜义贤等：基于能量均匀化的高剪切强度周期性点阵结构拓扑优化 1594 结论(1)从拓扑构型的角度对周期性点阵结构的抗剪切性能进行了设计和优化，运用拓扑优化技术，以周期性单胞的切变模量最大为目标，以结构的材料用量和力学控制方程为约束条件，利用能量均匀化方法建立了基于宏观抗剪切性能的细观点阵结构的优化模型。相比于传统均匀化方法，其灵敏度求解简单，较容易编程实现。(2)提出了一种新的极化算子与优化准则法结合进行优

34、化模型的求解，得到了一种宏观上的拓扑边界清晰的最优周期性点阵结构，方便于加工制造。经过拓扑构型特征提取和模型重构，分别采用3D打印和线切割技术制作了结构试样，并进行了剪切力学性能测试。(3)根据优化设计结果，在考虑胞元非等壁厚和横向剪切变形影响条件下推导出了周期性点阵结构宏观上的面内等效切变模量关于微结构胞元几何参数的解析表达式。通过宏观力学等效模型的求解和分析以及试验结果分析并与工程中常用的六边形蜂窝结构相应的理论分析和试验结果对比，发现本文所设计的周期性点阵结构的切变模量是六边形蜂窝结构切变模量的149倍，切变模量值有大幅提升，表明本文优化所得到的周期性点阵结构抗剪切性能的优越性，验证了本

35、文所提出方法在周期性点阵结构抗剪切性能优化设计中的可行性和有效性。参考文献1CADMAN J E，ZHOU S，CHEN Y，et a1On design ofmulti-functional microstructural materialsJJournal ofMaterials Science，2013，48(48)：51662】BENDSOE M P，KIKUCHI NGenerating optimaltopologies in optimal design using a homogenizationmethodJComputer Methods in Applied Mechan

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