初中数学二次函数中三角形面积问题解析(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合，就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习，以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想，让学生学会自主思考问题的过程。二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。求面积常用的方法：（1）直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并

2、且通过坐标能找到对应的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。（2）简单的组合，解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。（3）面积不变同底等高或等底等高的转换，利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。（4）如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”()，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高()”. 可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。三、试题讲解过程如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过（1，0），（4，0），（0，4）三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点是该

3、抛物线上一动点，且在第四象限，当的面积最大时，求点的坐标.解:（1）解法一: 由题意得，c=4, ,解得： , , 解法二: 由题意得，设y=a（x+1）（x-4）, -4a=-4, a=1, y=（x+1）（x-4）, , （2）解法一:由（1）可知，y=x23x4,设点D为（x, x23x4）,过点D作DEOC交BC于点E, 设直线BC的解析式为y=kxb,则，y=x4, E（x, x4）, DE=（x4）（x23x4）= x24x, a=10, 当x=2时, DE取最大值，SBCD取最大值，D（2,6）. 解法二：由（1）可知，y=x23x4,设点D为（x,y）,过点D作DFOB于点F,

4、 SBCD=S梯形OCDFSBDFSOBC =x（4-y）（-y）（4-x）8=2x2y8=2x2（x23x4）8=2x28x, a=20, 当x=2时, SBCD取最大值，D（2,6）. 解法三:由（1）可知，y=x23x4, 过点D作DEBC, 设直线BC的解析式为y=kxb,则，y=x4, 设直线DE的解析式为y=xd,则x23x4=xd, x24x4-d=0,当=（-4）2-4（-4-d）=0, d=-8, SBCD取最大值， x24x4=0, （x-2）2=0, x1=x2=2, D（2,6）. 四、试题的拓展延伸及变式分析如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过（1，0），（3，0），

5、（0，3）三点.（1）若点是抛物线的对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）在（1）的情况下，抛物线上是否存在除点以外的点，使得 的面积与的面积相等，若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线经过A（1，0），B（3，0），抛物线的对称轴l是x=2，ACD的周长=AD+AC+CD, AC是定值，当AD+CD最小时，ACD的周长最小，点A、点B关于对称轴对称，连接BC交于点D，即点D为所求的点,设直线BC的解析式为， ，, 直线BC的解析式为， 当x=2时，y=-x+3=-2+3=1，点D的坐标是（2，1）.（2）解：由（1）可知，抛物线经过A（1，0），B（3，0

6、），C（0，3）三点，c=3, ,解得： , 解法一：如图，过点A 作AP1CD交抛物线于点P1，设直线AP1的解析式为， -1+d=0,d=1,直线AP1的解析式为，解方程=，（x-1）（x-2）=0，x1=1, x2=2, 当x1=1时，=0（不合题意，舍去），当x2=2时，=-1，点P1的坐标是（2，-1）. 设直线AP1交y轴于点E（0，1），CE=2，把直线BC向上平移2个单位交抛物线于P2，P3，得直线P2P3的解析式为， 解方程= ， x23x2=0,x3=, x4=, 当x3=时，=，当x4=时，=， 点P2的坐标是（，）,点P3的坐标是（，）, 综上所述, 抛物线上存在点P1

7、（2，-1）,P2（，）,P3（，）, 使得PCD的面积与ACD的面积相等. 解法二：如图,过A点作AEy轴，交BC于点E则E点的纵坐标为 AE2 设点P为（，），过P点作PFy轴，交BC于点F，则点F为（，），PFAE若PFAE，则PCD与ACD的面积相等若P点在直线BC的下方，则PF（）-（）= =2 解得，当时，3-n-2-1P1点坐标为（2，-1） 同理 当时，P点坐标为（1，0），与A点重合，（不合题意，舍去） 若P点在直线BC的上方，则PF=（）-（）= 解得， 当时，P点的纵坐标为；当时，P点的纵坐标为 点P2的坐标是（，）,点P3的坐标是（，）, 综上所述, 抛物线上存在点P1

8、（2，-1）,P2（，）, P3（，）, 使得PCD的面积与ACD的面积相等. 在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因；（2）识别图形的形状；（3）找出图形的计算方法。注意：（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边；（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）。三角形的面积一般都是通过分割成几个三角形然后计算几个三角形的面积和，利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，求解二次函数的最值即可。五、试题的价值、反思及感悟通过对二次函数中三角形问题的探究学习，渗透数形结合的数学思

9、想，构建“数想形”“形思数”的数学思维方式和意识。要对二次函数面积问题能够形成良好的思考方法。要学会观察图形，通过观察、分析、比较、总结，掌握二次函数面积相关问题的计算方法。二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机结合的一个考点，是函数的综合应用能力的提升。二次函数这部分内容可渗透的数学思想多，解题方法多。在探究这些问题时，首先要让学生加深对函数知识的回顾，同时要注重数学思想的渗透，培养学生用数学的思想去思考问题、解决问题的习惯，发展学生的创新思维，使其形成自主学习、自主探索的意识。从构造平面直角坐标系中斜三角形面积的模型，引入多种不同的分割法，利用模型构造二次函数为背景的三角形面积问题，这里充分渗透了数学的“建模”思想。这里充分让学生体会了“函数”思想。通过观察、分析、概括、总结的方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算。专心-专注-专业