第四章-恒定电流的电场和磁场(共54页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四章 恒定电流的电场和磁场 4.1 恒定电流的电场4.2 恒定电场与静电场的比拟4.3 恒定磁场的基本方程4.4 恒定磁场的矢量磁位4.5 介质中的磁场4.6 恒定磁场的边界条件4.7 电感的计算4.8 恒定磁场的能量和力4.1 恒定电流的电场 图 4-1 导体中的恒定电流4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律 它的定义是: 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量, 数学表示式为 所以恒定电流的电流强度定义为上式中Q是在时间t内流过导体任一横截面的电荷, I是常量。电流强度的单位为(A=C/s)。 图 4-2 电流密度矢量式中J是体传导电流密度, 单位为A/m2。如

2、果所取的面积元的法线方向 与电流方向不平行, 而成任意角, 如图4-2(b)所示, 则通过该面积的电流是 所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是 1.欧姆定律的微分形式 由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律 式中R称为导体的电阻, 单位为, 表示式为 或上式中, l为导体长度; S为导体横截面; 称为导体的电导率, 它由导体的材料决定, 单位为1/m=S/m。 表 4-1 几种材料在常温下的电阻率和电导率图 4-3 推导欧姆定律微分形式所以J=E。在各向同性媒质中, 电流密度矢量J和电场强度E方向一致, 都是正电荷运

3、动方向, 故有 运流电流不服从欧姆定律, 所谓运流电流, 是指电荷在真空或气体中由于电场的作用而运动时形成的电流。其电流密度是 式中v(C/m3)为某点的电荷密度, v为该点电荷运动速度。 2. 焦耳定律的微分形式 一般通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是 图4-3中, 微小圆柱体的体积元为V=Sl, 它的热损耗功率是 当V0, 取P/V的极限就是导体中任一点的热功率密度, 它是单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量, 单位是W/m。表示式是 或上式就是焦耳定律的微分形式。它在恒定电流和时变电流的情况下都成立, 但对运流电流不适用,

4、因为运流电流中电场力对电荷所作的功不变成热量, 而变成电荷的功能。 4.1.2 恒定电场的基本方程 1.电流连续性方程, 恒定电场的散度 图 4-4 电流的连续性根据电荷守恒原理, 单位时间内由闭合面S流出的电荷应等于单位时间内S面内电荷的减少量。因而得 然而, 在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间变化,故dQ/dt=0所以得 恒定电流连续性方程的微分形式 如果导体的导电性能均匀, 是常数, 则得 根据高斯定理,上式说明导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的电荷产

5、生的。 在均匀导体内部 2. 恒定电场的旋度 因为在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定, 所以恒定电场与静电场相同也遵循守恒定理, 所以 由斯托克斯定理, 从式(4-16)可得 所以恒定电场也是位场。 恒定电场这个特性只在电源外的导体中满足。在电源内部, 不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定理。 在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为： 微分形式 积分形式 媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为 由于E=0, 故电场强度与电位的关系满足E=- 。在载有恒定电流的均匀导体内部(即为常数), 可得 所以电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。 4.1.3 恒定电

6、场的边界条件 1. 两种导电媒质的边界 图 4-5 恒定电场不同媒质分界面所以 (4-19)又由Jn=En和E=-, 式(4-19)可表示为 (4-20)根据式(4-16), 仿第二章节在交界面上取一扁矩形闭合路径, 即可得 所以此式说明分界面上电场强度的切向分量连续。 又因为Jt=Et, 并应用第三章推导电位边界条件的方法可得 上两式相除得 此式表明分界面上电流线和电力线发生曲折。 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为0)的分界面上, 根据D1n-D2n=s, 则得式中s是分界面上自由电荷面密

7、度。将式(4-20)代入上式得 (4-26)可见, 只要12, 分界面上必定有一层自由电荷密度。如果导电媒质不均匀, 即使在同一媒质中也会有体电荷的积聚。 2. 两种导电媒质的电导率1a, a2/r2可以略去, 所以 再根据二项式定理将上式右端展开, 并略去高阶小量, 得 将1/R代入A的表示式, 得 式中S=a2是细导线圆环的面积。 在球坐标中, 应用公式B=A, 计算得 上式与例3.8中一个中心位于坐标原点的电偶极子在远处产生电场强度的表示式 其矢量磁位可表示为 图 4-15 二种偶极子远区场分布图例 4.10 如图4-16所示, 设两根距离为d的无限长平行细直导线, 半径为a, ad,

8、通有大小相等, 方向相反的电流I。 试求: (1) 矢量磁位A的表示式; (2) 应用公式B=A得到磁通密度的表示式; #; (3) 穿过单位长度双直导线构成平面(即xoz平面)的磁通量。 图 4-16 计算平行双导线磁场解 由例4.7已知, 该题是平面场, 只需计算平面xoy平面上任一点P(x, y, 0)的场。 (1) 根据公式(4-43), 这里是对电流源所在点的坐标积分, R=|-|。 因为电流平行z轴, 所以A也平行z轴。 在点(d/2, 0, z)和点(-d/2, 0, z)取一对电流元(大小相等、 方向相反), 则P点的矢量磁位是 其中设双导线在无限远处闭合, 故 所以任意一点P

9、矢量磁位是(2) 在直角坐标中计算B=A即得 (3) 图 4-17 由A计算磁通量图 图 4-17 由A计算磁通量图4.5 介质中的磁场4.5.1 介质与磁场的相互影响 传导电流产生磁场的性质已由前论述, 现在讨论分子电流产生的磁场。通常用磁化强度来表示介质的磁化状态, 即磁化方向和程度: 为分子磁矩，排列是随机的，对外不显磁性。磁媒质的磁化,是媒质中出现了宏观的附加电流,称为磁化电流。M相当于一个体电流密度, 称为束缚体电流密度, 用J来表示: 而 对应一个面电流密度, 称为束缚面电流密度, 用 表示: 4.5.2 介质中的安培环路定律, 磁场强度 磁介质中的磁场应由传导电流和束缚电流共同产

10、生, 真空中安培环路定律的微分形式应改写为 或 矢量B/0-M的旋度只与传导电流有关, 记 (A/m) 称H为磁场强度, 并可得 式(4-57)就是磁介质中安培环路定律的微分形式: (4-60)将式(4-60)两端在一个面积S上积分, 再应用斯托克斯公式, 即得 故这就是介质中安培环路定律的积分形式,说明磁场强度H沿任意闭合路径的线积分等于闭合路径所包围的传导电流的代数和, 与l的环绕方向成右手螺旋关系的电流取正值, 反之取负值。 4.5.3 B和H的关系, 磁导率 实验证明, 除铁磁介质外, 在其它各向同性、线性介质中, M和H成正比, 表示式是 其中系数m称为介质的磁化率, 是一个无量纲的

11、常数, 它取决于物质的物理、化学性质。 顺磁介质中m0, 抗磁介质中m0, 真空中m=0。 令于是 表 4-3 几种材料在常温下的相对磁导率4.5.4 标量磁位m 恒定磁场和静电场不同, 它是有旋场, 因而不能用标量位函数来表示。但是在没有传导电流的区域中, H的旋度等于零, 在这种无传导电流的区域中, 可写为 上式m称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位, 式中负号是为了与静电场相对应而人为地引入的。 在均匀介质中, 根据B=0, B=H, 及H=- m, 可得 例 4.11 一半径为a(m)的圆形截面的无限长直铜线, 通过电流为I(A), 在铜线外套一个与之同轴的磁性材料制成的圆筒, 圆

12、筒内、 外半径分别为c(m)和b(m), 相对磁导率r=2000。试求: (1) 圆筒内的磁场强度和磁通密度; (2) 通过圆筒中每单位长度的总磁通量; (3) 圆筒中的磁化强度M; (4)圆筒中的束缚电流密度; (5) 圆筒壁外的磁场。 解 (1) 应用安培环路定律: 式中I仅为传导电流的代数和。在磁性圆筒横截面上取一半径为的圆作为闭合路径l, 则 于是(2) （3）(4) 由式(4-54), 则材料中束缚体电流密度是 由式(4-55)能分别求出内外表面的束缚面电流密度是: (5) 当a时, 则 则 解法1：则解法2: 磁性圆筒产生的磁场等效为在真空中束缚电流产生的磁场。 则 由上计算表明,

13、 b处的磁场和没有圆筒时的场相同, 这是由于磁性圆筒内、外表面束缚电流相互抵消的缘故。而磁性圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流, 所以 4.6 恒定磁场的边界条件 4.6.1 B和H的边界条件 仿第二章推导方法即可得 或 (4-68)上式表明在分界面上磁感应强度B的法向分量总是连续的。由于B=H, 当12时, 则在分界面上1H1n=2H2n, 故H1nH2n, 也就是分界面上磁场强度H的法向分量不连续。 仍按第二章推导方法可得 图 4-20 表面电流 (4-70)磁场经过介质分界面时要突变, 当然包含方向的改变, 根据式(4-68)和式(4-70), 可改写为 式中1、2分别为磁场强度H与

14、交界面法线方向的夹角, 将上两式相除则得 4.6.2 A和m的边界条件 矢量磁位A在边界上满足 在没有传导电流的分界面上, 由H1t=H2t及B1n=B2n可得标量磁位满足 例 4.12 设无限长同轴线内导体半径是a(m), 外导体内半径是b(m), 外导体厚度忽略不计, 内外导体间填充磁导率为的均匀磁介质(0), 内外导体分别通有大小相等、方向相反的电流I, 见图4-21, 试用矢量磁位计算各区域的磁场。 解 因为同轴线无限长, 故磁场分布沿长度方向没有变化。 又为圆截面、材料均匀, 故磁场是轴对称场。磁场分布仅是半径的函数。采用圆柱坐标, 取内导体电流为 方向, 外导体电流为 方向, 则矢

15、量磁位A只有 方向的分量, H和B只有方向的分量, 并是以轴心为圆心的同心圆。 内导体中(a), A满足泊松方程, 内外导体间A满足拉普拉斯方程。 图 4-21 同轴线及其磁场分布图 4-21 同轴线及其磁场分布根据式（4-48）得一维磁矢位方程 （4-75） （4-76）方程（4-75）的解是方程（4-76）的解是根据边界条件确定系数：因为 时，场量必须为有限值，故C1=0,因为有限，导体表面无传导电流，故根据式（4-70），在处得最终得到内导体内部（ 处）：内、外导体间根据式（4-74），在 处选择 处为参考点，得故4.7 电 感 的 计 算 4.7 电 感 的 计 算 4.7.1 自感

16、图 4-22 N匝密绕线圈该密绕线圈的全磁通为 又称磁通匝链数, 或简称为磁链。 图 4-23 圆柱导体内的磁链 (4-78)其中2/a2相当d所交链的匝数N, 故N=2/a2。 显然在=a处, 因为导体表面附近的磁感应线交链着全部电流I, 则N=1匝。 在各向同性、线性磁介质中, 设有一闭合导线回路, 在回路通有电流时, 定义穿过回路的磁通与该回路中的电流的比值为 图 4-24 外自感的计算或者等于A沿l的闭合线积分: 则穿过以l为边界的面积上的磁链是 根据外自感的定义可得 计算单匝线圈导线回路的内自感时, 通常回路尺寸比导线截面积尺寸大得多, 则导线内部的磁场可近似地认为与无限长直导线内部的磁场相同。设导线的半径为a, 磁导率为0, 则由例4.12应用安培环路定律算得导线内距轴线处的磁通密度是 导线内部磁力线是以轴线为中心的同心圆, 在导线长度为l范围内,穿过处厚度为d的矩形截面的磁通为(见图4-25)di=Bds=Bl d, 由公式(4-78)得 故总磁链为因而一段长度为l的圆柱形导体的内自感是 单位长度的内自感为 它与导体半径无关。 图 4-25 内自感的计算图 4-26 计算环形螺线管的外自感例 4.13 如图4