菱形难题组卷答案(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上答案四填空题（共29小题）1（2012沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，A=60，DEAB于点E，DFBC于点F，则四边形BEDF的面积为16cm2考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：连接BD，可得ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解解答：解：如图，连接BD，A=60，AB=AD（菱形的边长），ABD是等边三角形，DE=AD=8=4cm，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于ABD

2、的面积，84=16cm2故答案为：16点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键2（2012湖州）如图，将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则ABC的边长是12考点：菱形的性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：设正ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解解答：解

3、：设正ABC的边长为x，则高为x，SABC=xx=x2，所分成的都是正三角形，结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x，较短的对角线为（x）=x1，黑色菱形的面积=（x）（x1）=（x2）2，=，整理得，11x2144x+144=0，解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，所以，ABC的边长是12故答案为：12点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程3（2012西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明

4、同学写出了两个使POE为等腰三角形的P点坐标（5，0）和（5，0）请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标（8，0）或（，0）考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定菁优网版权所有专题：压轴题分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从当OP=OE时，当OE=PE时，当OP=EP时去分析求解即可求得答案解答：解：四边形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC=12=6，OD=BD=16=8，在RtAOD中，AD=10，E为AD中点，OE=AD=10=5，当OP=OE时，P点坐标（5，0）和（5，0）；当OE=P

5、E时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；如图，当OP=EP时，过点E作EKBD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，EKOA，EK：OA=ED：AD=1：2，EK=OA=3，OK=4，PFO=EKO=90，POF=EOK，POFEOK，OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=，P点坐标为（，0）其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0）或（，0）故答案为：（8，0）或（，0）点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用4（2012鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1

6、的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是考点：菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为x，表示出AB，然后利用勾股定理列式进行计算求出x，再根据菱形的四条边都相等解答解答：解：如图，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x，则AB=4x，在RtABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=（4x）2+12，解得x=，所以，菱形的最大周长=4=故答案为：点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形

7、更形象直观5（2012杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为15cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为1或9cm考点：菱形的性质；认识立体图形；几何体的展开图菁优网版权所有专题：压轴题分析：由底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，由体积=底面积高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，即可求得底面菱形的周长与BC边上的高AE的长，由勾股定理求得BE的长，继而求得CE的长解答：解：底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积

8、为150cm3，这个棱柱的下底面积为：15010=15（cm2）；该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，底面菱形的周长为：20010=20（cm），AB=BC=CD=AD=204=5（cm），AE=S菱形ABCDBC=155=3（cm），BE=4（cm），如图1：EC=BCBE=54=1（cm），如图2：EC=BC+BE=5+4=9（cm），故答案为：15；1或9点评：此题考查了菱形的性质、直棱柱的性质以及勾股定理此题难度不大，注意审题，掌握直棱柱体积与侧面积的求解方法11（2009黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB=60度连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1

9、D1，使D1AC=60；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使D2AC1=60；，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n1考点：菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长解答：解：连接DB，四边形ABCD是菱形，AD=ABACDB，DAB=60，ADB是等边三角形，DB=AD=1，BM=，AM=，AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n1故答案为（）n1点评：此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力1

10、2（2009安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在B点考点：菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走2009米走了几个循环，即可得到其停在哪点解答：解：根据“由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，20098=251余1，行走2009米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停到了B点故答案为B点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论1

11、6（2008大兴安岭）如图，菱形AB1C1D1的边长为1，B1=60；作AD2B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使B2=60；作AD3B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使B3=60依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是考点：菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：本题要找出规律方能解答第一个菱形边长为1，B1=60，可求出AD2，即第二个菱形的边长按照此规律解答即可解答：解：第1个菱形的边长是1，易得第2个菱形的边长是；第3个菱形的边长是（）2；每作一次，其边长为上一次边长的；故第n个菱形的边长是（）n1故答案

12、为：（）n1点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题21（2007德州）如图，在菱形ABCD中，B=60，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动给出以下四个结论：AE=AF；CEF=CFE；当点E，F分别为边BC，DC的中点时，AEF是等边三角形；当点E，F分别为边BC，DC的中点时，AEF的面积最大上述结论中正确的序号有（把你认为正确的序号都填上）考点：菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号解答：解：点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、D

13、C向点C运动，BE=DF，AB=AD，B=D，ABEADF，AE=AF，正确；CE=CF，CEF=CFE，正确；在菱形ABCD中，B=60，AB=BC，ABC是等边三角形，当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE=AB，DF=AD，ABE和ADF是直角三角形，且BAE=DAF=30，EAF=1203030=60，AEF是等边三角形，正确；AEF的面积=菱形ABCD的面积ABE的面积ADF的面积CEF的面积=AB2BEAB2（ABBE）2=BE2+AB2，AEF的面积是BE的二次函数，当BE=0时，AEF的面积最大，错误故正确的序号有点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判

14、定23（2005黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，A=60，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或考点：菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论分析：根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论解答：解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，AD=AB，DP=BP，APBD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角ABM中，BAM=30，AM=ABcos30=3，BM=ABsin30=3，PM=，AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AMPM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，

15、舍去AP的长为4或2故答案为4或2点评：本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系APBD，这是解决本题的关键24（2003温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，B=120，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：过点E作PEAB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值过点E作PEAB，交AC于P，则PA=PBB=120CAB=30PA=2EPAB=2

16、，E是AB的中点AE=1在RtAPE中，PA2PE2=1PE=，PA=PE+PB=PE+PA=故答案为点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补勾股定理和最值本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值29（2012凉山州）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=36考点：菱形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是ABD，ABC，B

17、CD，ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EGHF，且EG=2OE，FH=2OH，在RtOEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值解答：解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，E、H分别是AB、DA的中点，EH是ABD的中位线，EH=BD=3，同理可得EF，FG

18、，GH分别是ABC，BCD，ACD的中位线，EF=GH=AC=3，FG=BD=3，EH=EF=GH=FG=3，四边形EFGH为菱形，EGHF，且垂足为O，EG=2OE，FH=2OH，在RtOEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=94=36，（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36故答案为：36点评：此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的基本性质，本题的关键是连接EF，FG，GH，EH，得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质得到EGHF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题一解答题（共1小题）

19、考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的判定菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）连接AD、BC，利用SAS可判定APDCPB，从而得到AD=BC，因为EF、FG、GH、EH分别是ABC、ABD、BCD、ACD的中位线，则可以得到EF=FG=GH=EH，根据四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形EFGH是菱形；（2）成立，可以根据四边都相等的四边形是菱形判定；（3）先将图形补充完整，再通过角之间的关系得到EHG=90，已证四边形EFGH是菱形，则四边形EFGH是正方形解答：解：（1）四边形EFGH是菱形（2分）（2）成立（3分）理由：连接AD，BC

20、（4分）APC=BPD，APC+CPD=BPD+CPD即APD=CPB又PA=PC，PD=PB，APDCPB（SAS）AD=CB（6分）E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，EF、FG、GH、EH分别是ABC、ABD、BCD、ACD的中位线EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=ADEF=FG=GH=EH四边形EFGH是菱形（7分）（3）补全图形，如答图（8分）判断四边形EFGH是正方形（9分）理由：连接AD，BC（2）中已证APDCPBPAD=PCBAPC=90，PAD+1=90又1=2PCB+2=903=90（11分）（2）中已证GH，EH分别是BCD，ACD的中位线，GHB

21、C，EHADEHG=90又（2）中已证四边形EFGH是菱形，菱形EFGH是正方形（12分）点评：此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知识点的综合运用及推理论证能力二解答题（共15小题）4（2013昭通）如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN（1）求证：四边形AMDN是平行四边形（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据菱形的性质可得

22、NDAM，再根据两直线平行，内错角相等可得NDE=MAE，DNE=AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明NDE和MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据矩形的性质得到DMAB，再求出ADM=30，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半解答解答：（1）证明：四边形ABCD是菱形，NDAM，NDE=MAE，DNE=AME，点E是AD中点，DE=AE，在NDE和MAE中，NDEMAE（AAS），ND=MA，四边形AMDN是平行四边形；（2）AM=1理由如下：四边形ABCD是菱形，AD=AB=2

23、，平行四边形AMDN是矩形，DMAB，即DMA=90，DAB=60，ADM=30，AM=AD=1点评：本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口6（2012南通）菱形ABCD中，B=60，点E在边BC上，点F在边CD上（1）如图1，若E是BC的中点，AEF=60，求证：BE=DF；（2）如图2，若EAF=60，求证：AEF是等边三角形考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，B=60，根据菱形的性质，易得ABC是

24、等边三角形，又由三线合一，可证得AEBC，继而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；（2）首先由ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得ACF=B=60，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得AEB=AFC，证得AEBAFC，即可得AE=AF，证得：AEF是等边三角形解答：证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，B=60，AB=BC=CD，C=180B=120，ABC是等边三角形，E是BC的中点，AEBC，AEF=60，FEC=90AEF=30，CFE=180FECECF=18030120=30，FEC=CFE，EC=CF，BE=DF；（2）ABC是等边三角形，AB=

25、AC，ACB=60，B=ACF=60，ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD，AFC=D+FAD=60+FAD，AEB=AFC，在ABE和ACF中，ABEACF（AAS），AE=AF，EAF=60，AEF是等边三角形点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用10（2009龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC向终点C运动，连接DM交AC于点N（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：求证：ABNADN；若ABC=60，AM=4，ABN=，求点

26、M到AD的距离及tan的值（2）如图2，若ABC=90，记点M运动所经过的路程为x（6x12）试问：x为何值时，ADN为等腰三角形考点：菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：（1）三角形ABN和ADN中，不难得出AB=AD，DAC=CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等通过构建直角三角形来求解作MHDA交DA的延长线于点H由（1）可得MDA=ABN，那么M到AD的距离和就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论解答：解：（1）证明

27、：四边形ABCD是菱形，AB=AD，1=2又AN=AN，ABNADN（SAS）作MHDA交DA的延长线于点H由ADBC，得MAH=ABC=60在RtAMH中，MH=AMsin60=4sin60=2点M到AD的距离为2AH=2DH=6+2=8在RtDMH中，tanMDH=，由知，MDH=ABN=，tan=；（2）ABC=90，菱形ABCD是正方形CAD=45下面分三种情形：（）若ND=NA，则ADN=NAD=45此时，点M恰好与点B重合，得x=6；（）若DN=DA，则DNA=DAN=45此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（）若AN=AD=6，则1=2ADBC，1=4，又2=3，3=4CM=C

28、NAC=6CM=CN=ACAN=66故x=12CM=12（66）=186综上所述：当x=6或12或186时，ADN是等腰三角形点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质，正方形的性质等知识点，注意本题（2）中要分三种情况进行讨论，不要丢掉任何一种情况15（2005嘉兴）有一种汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D两点的距离变小，从而顶起汽车若AB=30，螺旋装置每顺时针旋转1圈，BD的长就减少1设BD=a，AC=h，（1）当a=40时，求h值；（2）从a=40开始，设螺旋装置顺时针方向旋转x圈，求h关于x的函数解析式；（3）从a=40

29、开始，螺旋装置顺时针方向连续旋转2圈，设第1圈使“千斤顶”增高s1，第2圈使“千斤顶”增高s2，试判定s1与s2的大小，并说明理由；若将条件“从a=40开始”改为“从某一时刻开始”，则结果如何，为什么？考点：菱形的性质；勾股定理菁优网版权所有专题：应用题；压轴题分析：（1）根据菱形的两条对角线垂直且平分的性质，然后根据勾股定理，即可求出h值（2）首先知道螺旋装置顺时针方向旋转的圈数与BD之间的关系，然后用勾股定理，就可求出h与x之间的函数关系（3）此问首先要搞清楚增高的s是指AC增高了s，根据第2问的函数关系进行推算，就可知道s1与s2的大小关系解答：解：（1）连AC交BD于O，ABCD为菱形

30、，AOB=90，OA=，OB=20，（3分）在RtAOB中，AO2+BO2=AB2，即（）2+202=302，h=20；（2分）（2）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向旋转x圈，则BD=40x，（2分）（）2+（）2=302，h=；（2分）（3）结论：s1s2在中，令x=0得，h0=44.721；令x=1得，h1=45.596；令x=2得，h2=46.435；s1=h1h00.88，s2=h2h10.84，s1s2；（3分）也可以如下比较s1、s2的大小：=而7977，s1s2；（3分）若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”，则结论s1s2仍成立，而2a12a3，s1s2（2分）点评

31、：菱形的性质是中考常见的一个考点，将其与勾股定理综合使用，是解决相似题型的常用方法16（2002常州）已知：在菱形ABCD中，BAD=60，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为（）（1）画出符合题目条件的菱形与直角坐标系（2）写出A，B两点的坐标（3）设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由考点：菱形的性质；坐标与图形性质菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论分析：（1）本题可分两种情况，如图；（2）过C作CFy轴于F，CDF=60，CF=2，因此DF=2，

32、CD=4因此OA=OFAF=8（4+2）=2，因此A点坐标为（0，2）由于菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（2，4）；（3）在（2）中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由：根据菱形的性质可知：FAC=30，因此在直角三角形FAC中，FC=AC=PC，而DCF=DCP=30，因此CFECPE，因此CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称解答：解：本题有两种情况：第一种情况：（1）画图，如图所示（2）过C作CFy轴于F，CDF=60，CF=2，tan60=，=，DF=2，CD=4因此OA=OFAF=8（4+2）=2，因此A点坐标为（0，2）由于菱形的边长为4

33、，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（2，4）；则A（0，2），B（2，4）（3）F（0，8）；第二种情况：（1）画图，如图所示（2）A（0，14），B（2，12）（3）F（0，8）点评：本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形的性质、轴对称图形等知识点17（2001河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60度点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0t10）（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向

34、点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MPAB，交BC于点P当MPNABC时，设MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积（3）易得MNP的面积为菱形

35、面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可解答：解：（1）设：BN=a，CN=10a（0a10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0t10）所以，AM=1t=t（0t10），MD=10t（0t10）所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN）菱形高2=（t+a）菱形高2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）菱形高2=（10t）+（10a）菱形高2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，即t+a=10，（0t10），（0a10）所以，当t+a=10，（0t10），（0a10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分（2）

36、点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0t5，因为AB=10，BAD=60，所以菱形高=5，AM=1t=t，BN=2t=2t所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）菱形高2=3t5=t（0t5）所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为（3）当MPNABC时，则ABC的面积=MPN的面积，则MPN的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MNAC，N在C点外，所以不重合处面积为（at10）2重合处为S=25，当S=0时，即PM在CD上，a=2点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件三解答题（共14小题）1

37、0（2010河源）如图，ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：PE=PF；（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？说明理由；（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且求此时BAC的大小考点：菱形的判定；平行线的性质；正方形的判定菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）可证明PE=PC，PF=PC，从而得到PE=PF；（2）由一对邻补角的平分线互相垂直，得出ECF=90，故要使四边形AECF是矩形，只需四边形AECF是平行四边形即可由（1）知PE=PF，则点P运动到AC

38、边中点时，四边形AECF是矩形（3）由正方形的对角线相等且互相垂直，可知ACEF，AC=2AP又EFBC，得出ACBC，在直角ABC中，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出A的大小解答：（1）证明：CE平分BCA，BCE=ECP，又MNBC，BCE=CEP，ECP=CEP，PE=PC；同理PF=PC，PE=PF；（2）解：当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形理由如下：由（1）可知PE=PF，P是AC中点，AP=PC，四边形AECF是平行四边形CE、CF分别平分BCA、ACD，且BCA+ACD=180，ECF=ECP+PCF=（BCA+ACD）=180=90，平行四边形AEC

39、F是矩形；（3）解：若四边形AECF是正方形，则ACEF，AC=2APEFBC，ACBC，ABC是直角三角形，且ACB=90，tanBAC=，BAC=30点评：此题综合考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性质，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值等知识点，难度较大17（2007潍坊）已知等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFAB，分别交AC，BC于E，F点，作PMAC，交AB于M点，连接ME（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？考点：菱形的判定

40、；等腰三角形的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，在本题中，可证出四边形AEPM为平行四边形，关键是找一组邻边相等，AD平分BAC再者PEAM所以可证EAP=EPA即AE=EP，所以为菱形；（2）S菱形AEPM=EPh，S平行四边形EFBM=EFh，若菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半，则EP=EF，所以，P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM解答：（1）证明：EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，ADBC（三线合一的性质），BAD=EPA，CAD=EPA，EA=EP，四边形AEPM为菱形（2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM四边形AEPM为菱形，ADEM，ADBC，EMBC，又EFAB，四边形EFBM为平行四边形作ENAB于N，则S菱形AEPM=EPEN=EFEN=S四边形EFBM点评：此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，题型比较新颖专心-专注-专业