2017-2018学年高中数学北师大必修2教学案：第一章2直观图Word版含解析.pdf

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1、直观图预习课本P710，思考并完成以下问题(1)斜二测画法的规则是什么？(2)画立体图形直观图的步骤是什么？新知初探 1水平放置的平面图形直观图的画法斜二侧画法规则：(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时， 它们分别对应x轴和 y轴，两轴相交于点O，使 xO y 45，它们确定的平面表示水平平面(2)已知图形中平行于x 轴或 y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x轴或 y轴的线段(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12. 2立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴， 其直观图中对应于z轴的是 z轴， 平面

2、 x Oy表示水平平面，平面yOz和 xOz表示直立平面平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”) (1)相等的角在直观图中还相等() (2)空间几何体的直观图是唯一的() (3)在斜二侧画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度保持不变() 答案 ：(1)(2)(3)2水平放置长方形的直观图可能为下图中的哪一个() AB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - CD答案：

3、 C3水平放置梯形的直观图是() A梯形B矩形C三角形D任意四边形答案： A4用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是() A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点答案： B5在用斜二测画法画水平放置的ABC 时，若 A 的两边平行于x 轴、 y 轴，则在直观图中， A _. 答案： 45水平放置的平面图形的画法典例 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示解(1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边 OB 所在直线为x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使 xOy45，如图所示(2)在 x

4、轴上截取OB OB，在 y轴上截取OD12OD，过点 D作 x轴的平行线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点C使得 DC DC.连接 BC，如图 . (3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD 的直观图如图. 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段活学活用 用斜二测画法画出图中水平放置的图形的直观图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共

5、10 页 - - - - - - - - - - 解：如图所示： 在已知图中， 取 O 点为原点， OB 与垂直 OB 方向分别为x 轴与 y 轴，过 A 作 AMx 轴于点 M.任取一点O，画相应 x轴、 y轴，使 xOy 45 . 在 x轴上取 OB OB，OM OM. 过 M作 MA y轴，且MA12MA. 连接 OA， AB并擦去辅助线(图中辅助线未略)，则 OAB即是水平放置图形OAB 的直观图 . 空间几何体直观图的画法典例 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图解(1)画轴画 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz轴， xOy45(或 135)， xOz 90，如图 . (2)画底面

6、以O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形直观图ABCD. (3)画顶点在Oz 轴上截取 OP 使 OP 的长度是原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图. 简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面(3)确定顶点：利用与z 轴平行或在z 轴上的线段确定有关顶点(4)连线成图活学活用 用斜二测画法画棱长为2 cm 的正方体ABCD-ABCD的直观图解： 画法： (1)画轴如图，画x 轴、 y轴、 z 轴，三轴相交于点O，使 xOy45，xOz90. 精品资料

7、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (2)画底面 以点 O 为中心， 在 x 轴上取线段MN ，使 MN 2 cm；在 y 轴上取线段PQ，使 PQ1 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线， 过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线， 设它们的交点分别为 A，B，C，D，四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱过 A， B，C，D 各点分别作z 轴的平行线， 并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段 AA， BB， C

8、C， DD. (4)成图顺次连接A，B， C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线 )，就得到正方体的直观图(如图 )平面图形与其直观图的关系典例 已知等边 ABC 的平面直观图ABC的面积为616，求等边 ABC 的面积解按照斜二测画法的规则，把如图(1)等边 ABC 的平面直观图ABC还原为如图 (2)等边 ABC，设 ABx，则 BC x，等边 ABC 的高为32x，所以 ABC的高为2432x68x，所以 ABC的面积为1268xx616x2616，解得 x1，所以 ABC 的面积为12x32x34x234. 一题多变 1变条件，变设问本例若改为“已知ABC 是边长为a

9、的正三角形，求其直观图ABC 的面积”解： 由斜二测画法规则可知，直观图ABC一底边上的高为32a1222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 68a，SABC12a68a616a2. 2变条件， 变设问 本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，ABC45，ABAD1，DCBC，则原图形的面积为_解析： 如图，在直观图中，过点A 作 AEBC，垂足为E，则在RtABE 中， AB1，ABE 45，所以 BE22. 而四边形AECD 为

10、矩形， AD1，所以 ECAD1. 所以 BCBEEC221. 由此可还原原图形如图，是一个直角梯形在原图形中， AD 1，AB 2，BC22 1，且 A D B C，AB BC，所以原图形的面积为S12(AD BC) A B1211222222. 答案： 222平面多边形与其直观图面积间关系一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直24S原层级一学业水平达标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 1下列关

11、于直观图的说法不正确的是() A原图形中平行于y 轴的线段，对应线段平行于直观图中y轴，长度不变B原图形中平行于x 轴的线段，对应线段平行于直观图中x轴，长度不变C画与直角坐标系xOy 对应的 xOy时， xOy 可以画成45D在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同解析： 选 A平行于 y 轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A 错2 若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在xOy平面上，则圆柱的高应画成() A平行于 z轴且大小为10 cm B平行于 z轴且大小为5 cm C与 z轴成 45且大小为10 cm D与 z轴成 45且大小为5 cm 解析： 选 A平行于 z 轴(或在

12、z 轴上 )的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致3.水平放置的 ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 BC 4，AC 3，BCy轴，则 ABC 中 AB 边上的中线的长度为() A.732B. 73 C5 D.52解析： 选 A由斜二测画法规则知ACBC，即 ABC 为直角三角形，其中AC3，BC8，所以 AB73，AB 边上的中线长度为732.故选 A. 4一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m, 10 m，四棱锥的高为8 m，若按 1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四

13、棱锥的高应分别为() A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 解析： 选 C由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm, 1 cm, 2 cm 和 1.6 cm，再结合直观图特征，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 5 水平放置的ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形ABC，则 ABC 是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - -

14、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解析： 选 C如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故ABC 是钝角三角形6.水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点 B 的坐标为 (4,4)， 则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点 B到 x轴的距离为 _解析： 由斜二测画法画出的直观图如图所示，作BEx轴于点 E，在 RtBEC中， BC 2， BCE45 ，所以 BEBCsin 452222. 答案：2 7已知 ABC 的直观图如图所示，则原AB

15、C 的面积为 _解析： 由题意，易知在ABC 中，ACAB，且 AC6，AB3. SABC12639. 答案： 9 8在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO 的形状为 _，面积为 _cm2. 解析： 由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在 xOy 坐标系中，四边形ABCO 是个长为 4 cm，宽为 2 cm的矩形，所以四边形ABCO 的面积为8 cm2. 答案 ：矩形8 9画出水平放置的四边形OBCD(如图所示 )的直观图解：(1)过点 C 作 CEx 轴，垂足为 E，如图所示， 画出对应的x轴、 y轴，使 xOy 45，如

16、图所示(2)如图所示，在x轴上取点B，E，使得 OB OB，OE OE；在 y轴上取一点D， 使得 OD12OD； 过 E作 EC y轴，使 EC12EC. (3)连接 BC，CD，并擦去 x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 轴与 y轴及其他一些辅助线，如图所示，四边形OB C D就是所求的直观图10 如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，作出其原图形解：画法： (1)如图， 画直角坐标系xOy，在 x 轴上取 OAOA

17、，即 CACA；(2)在图中，过B作 BDy轴，交 x轴于 D，在图中，在x 轴上取 ODOD，过 D 作 DBy 轴，并使 DB2DB. (3)连接 AB，BC，则 ABC 即为 ABC原来的图形，如图. 层级二应试能力达标1如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的() 解析： 选 A由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直2如图所示，AOB表示水平放置的AOB 的直观图，B在 x轴上， AO和 x轴垂直，且AO 2，则 AOB 的边 OB 上的高为 () A2B4 C2 2 D4 2 解析： 选 D由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S原

18、图形22S直观图，得12OBh2 2122OB， OB OB， h 42. 3如图 ABC是水平放置的ABC 的直观图，则在ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是() AABBACCBCDAD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解析： 选 B由直观图可知ABC 是以 B 为直角的三角形，所以斜边AC 最长4已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两

19、个顶点之间的距离为() A2 cm B3 cm C2.5 cm D5 cm 解析： 选 D圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为235 cm，在直观图中与z 轴平行线段长度不变，仍为5 cm. 5有一个长为5，宽为 4 的矩形，则其直观图的面积为_解析： 由于该矩形的面积为S5420，所以由公式S24S，其直观图的面积为S24S52. 答案 ：5 2 6如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是_解析：由斜二测直观图画法的规则画出原图形，如图是等腰梯形ABCD的原平面图形，且AB2，BC12，AD1，所以S梯形ABCD 2

20、2. 答案 ：22 7如图所示，四边形ABCD 是一个梯形， CDAB，CDAO1，三角形 AOD 为等腰直角三角形，O 为 AB 的中点， 试求梯形 ABCD水平放置的直观图的面积解： 在梯形 ABCD 中，AB2，高 OD1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底 AB 的长度都不变，如图所示， 在直观图中， OD12OD，梯形的高DE24，于是梯形ABCD的面积为12(12)24328. 8.如图，正方形OAB C的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积解：如图， 建立直角坐标系xOy， 在 x 轴上取

21、OAOA 1 cm；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 在 y 轴上取 OB2OB 2 2 cm；在过点 B 的 x 轴的平行线上取BCBC 1 cm. 连接 O，A，B，C 各点，即得到了原图形由作法可知， OABC 为平行四边形，OCOB2BC2813 cm，平行四边形OABC 的周长为 (3 1)28 cm，面积为S12222 cm2.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -