2022年六年级奥数比和比例 .pdf

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1、学习必备欢迎下载六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了 “ 比” 这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“ 除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处” 有所理解 . 这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题. 一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比. 例 1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是32，乙的长与宽之比是75.求甲与乙的面积之比 . 解： 设甲的周长是2.

2、 甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864875. 作为答数，求出的比最好都写成整数. 例 2 如右图， ABCD 是一个梯形， E 是 AD 的中点，直线CE 把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是 107. 求上底 AB 与下底 CD 的长度之比 . 解： 因为 E 是中点，三角形CDE 与三角形 CEA 面积相等 . 三角形 ADC 与三角形 ABC 高相等，它们的底边的比ABCD= 三角形 ABC 的面积三角形ADC 的面积=（10-7）（ 72）= 314. 答： AB CD=3 14. 两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这

3、一节讲述的重点 . 例 3 大、中、小三种杯子，2 大杯相当于5 中杯， 3 中杯相当于4 小杯 .如果记号表示2 大杯、 3 中杯、 4小杯容量之和，求与之比. 解： 大杯与中杯容量之比是52=104，中杯与小杯容量之比是43，大杯、中杯与小杯容量之比是1043. =（102+43+34）（ 105+44+33）=4475. 答：两者容量之比是4475. 把 52 与 43 这两个比合在一起，成为三样东西之比104 3，称为连比 .例 3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子. 甲乙 =3 5，乙丙 =74，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

4、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载35=3757=2135，74=7545=3520，甲乙丙 =213520. 花了多少钱？解： 根据比例与乘法的关系，连比后是甲乙丙 =21631632 =324863. 答：甲、乙、丙三人共花了429 元. 例 5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解： 设甲的长度是6 份. x=54. 乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是65=3025. 甲乙丙 =302526. 答：甲、乙、丙的长度之

5、比是3025 26. 于利用已知条件65，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段. 例 6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22 元、30 元、 33 元 .某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解一 ：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5 元. 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人

6、感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33 的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路. 解二： 先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲乙丙=151110. 平均数是（ 15+11+10） 3=12. 单价 33 元的可买 10 份，要买 12 份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量. 例 7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解： 新的分数，分子与分母之和是（10+23+32 ） ，而分子

7、与分母之比23.因此例 8 加工一个零件， 甲需 3 分钟，乙需 3.5 分钟，丙需 4 分钟，现有 1825 个零件要加工， 为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解： 三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量 . 三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是7003=2100 分钟） =35 小时 . 答：甲、乙、丙分别完成700 个， 600 个， 525 个零件，需要35 小时 . 这是三个数量按比例分配的典型例题. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

8、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 9 某团体有 100 名会员，男会员与女会员的人数之比是1411，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲： 1213，乙： 53，丙： 21，那么丙有多少名男会员？解： 甲组的人数是1002=50（人） . 乙、丙两组男会员人数是56-24=32 （人） . 答：丙组有12 名男会员 . 上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例 10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次

9、是123.小龙走各段路程所用时间之比依次是 456.已知他上坡时速度为每小时3 千米，路程全长50 千米 .问小龙走完全程用了多少时间？解一： 通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比. 上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10 小时 25 分. 上面是通常思路下解题.123 计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法 . 解二： 全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍） .如果上坡用的时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

10、- - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设小龙走完全程用x 小时 .可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容. 例 11 甲、乙两同学的分数比是54.如果甲少得22.5 分，乙多得22.5 分，则他们的分数比是57.甲、乙原来各得多少分？解一： 甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9 份，变化后要分成5+7=12 份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9 与 12 的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36

11、份来算 . 54=（5 4）（ 44）=2016. 57=（5 3）（ 73）=1521. 甲少得 22.5 分，乙多得22.5 分，相当于20-15=5 份.因此原来甲得 22.5520=90（分），乙得22.5516=72（分） . 答：原来甲得90 分，乙得 72 分. 我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程. 解二： 设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式. （5x-22.5）（ 4x+22.5）=57 即 5（4x+22.5 ）=7（5x-22.5）15x=1222.5 x=18. 甲原先得分185=90（分），乙得 184=72

12、（分） . 解： 其他球的数量没有改变. 增加 8 个红球后，红球与其他球数量之比是5（ 14-5）=59. 在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1（ 3-1）=12=4.59. 因此 8 个红球是 5-4.5=0.5 （份） . 现在总球数是答：现在共有球224 个. 本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把 12 写成 4.59，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8） 2x=59. 例 13 张家与李家的收入钱数之比是85，开支的钱数之比是83，结果张家结余240 元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一： 我们采用“假设”方法求解. 精品资料 - - -

13、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载如果他们开支的钱数之比也是85，那么结余的钱数之比也应是85.张家结余240 元，李家应结余x 元.有240 x=8 5，x=150（元） . 实际上李家结余270 元，比 150 元多 120 元.这就是 85 中 5 份与 83 中 3 份的差，每份是120（ 5-3）=60.（元） .因此可求出答：张家收入720 元，李家收入450 元. 解二： 设张家收入是8 份，李家收入是5 份.张家开支的

14、3 倍与李家开支的8 倍的钱一样多. 我们画出一个示意图：张家开支的3 倍是（ 8 份-240） 3. 李家开支的8 倍是（ 5 份-270） 8. 从图上可以看出58-83=16 份，相当于2708-2403=1440（元） . 因此每份是144016=90（元） . 张家收入是908=720（元），李家收入是905=450（元） . 本题也可以列出比例式：（8x-240）（ 5x-270）=83. 然后求出 x.事实上，解方程求x 的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些 . 例 14 A 和 B 两个数的比是85，每一数都减少34 后， A 是 B 的

15、 2 倍，求这两个数. 解： 减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A 与 B 两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点. 85，就是 8 份与 5 份，两者相差3 份.减去 34 后， A 是 B 的 2 倍，就是 21，两者相差1.将前项与后项都乘以 3，即 21=63，使两者也相差3 份.现在就知道34 是 8-6=2（份）或5-3=2（份） .因此，每份是342=17. A 数是 178=136，B 数是 175=85. 答： A，B 两数分别是136 与 85. 本题也可以用例13 解一“假设”方法求解，不过要把减少后的21，改写成84. 例 15 小明和小强原有的图画纸之比是4

16、3，小明又买来15 张.小强用掉了8 张，现有的图画纸之比是52.问原来两人各有多少张图画纸？解一： 充分利用已知数据的特殊性. 4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7 份，变化后总数仍分成7 份，总数多了7 张，因此，新的 1 份=原来 1份 +1 原来 4 份，新的 5 份， 5-4=1，因此新的 1 份有 15-14=11（张） . 小明原有图画纸115-15=40（张），小强原有图画纸112+8=30 （张） . 答：原来小明有40 张，小强有30 张图画纸 . 解二： 我们也可采用例13 解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）43=201

17、5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载52=208. 但现在是 208，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法. 解三： 设原来小明有4“份”，小强有 3“份”图画纸 . 把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，35-42=7（份）相当于图画纸152+85=70（张） . 因此每份是10 张，原来小明有40 张，

18、小强有30 张. 例 11 至 15 这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法， 却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例 13 的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性 .因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维. 例 16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5 小时，细蜡烛可以点4 小时 .同时点燃这两支蜡烛，点了一段时

19、间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2 倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了3 小时 20 分. 把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2 倍”变成“相等” ，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子. 例 17 箱子里有红、 白两种玻璃球， 红球数是白球数的3 倍多 2 只.每次从箱子里取出7 只白球， 15 只红球，经过若干次后，箱子里剩下3 只白球， 53 只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解： 因为红球是白球的3 倍多 2 只，每次取 15 只，最后剩下53 只，所以对

20、3 倍的白球，每次取15 只，最后应剩 51 只. 因为白球每次取7 只，最后剩下3 只，所以对3 倍的白球，每次取7 321 只，最后应剩33 9 只.因此 .共取了（ 51- 33）（ 73-15）7（次） . 红球有157 53 158（只） . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载白球有77352（只） . 原来红球比白球多158-52106（只） . 答：箱子里原有红球数比白球数多106 只. 三、比例的其

21、他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲 -7）乙 = 23. 因此，有些分数问题，就是比例问题. 加 33 张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261 张. 解： 设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有8.4 千克水 . 例 18 和例 19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算 .这就是把比 （或除法） 写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

22、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 20 有两堆棋子，A 堆有黑子350 个和白子 500 个， B 堆有黑子堆中拿到A 堆黑子、白子各多少个？子 100 个，使余下黑子与白子之比是（40-100） 100 31.再要从B 堆拿出黑子与白子到A 堆，拿出的黑子与白子数目也要保持31 的比 . 现在 A 堆已有黑子350 100 450 个） ，与已有白子500 个，相差从 B 堆再拿出黑子与白子，要相差50 个，又要符合31 这个比，要拿出白子数是50（3-1

23、） 25（个） . 再要拿出黑子数是253 75（个） . 答：从 B 堆拿出黑子175 个，白子 25 个. 人，问高、初中毕业生共有多少人？解一： 先画出如下示意图：6-51，相当于图中相差17-125（份），初中总人数是5630 份，因此，每份人数是520（ 30-17）= 40（人） . 因此，高、初中毕业生共有40（1712） 1160（人） . 答：高、初中毕业生共1160 人. 计算出每份是例 21 与例 14 是完全一样的问题，解一与例14 的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便. 例 18，19，20，21 四个例题说明分数与比例各

24、有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用. 下的钱共有多少元？解： 设钢笔的价格是1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28 元. 题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算 .解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧. 作为这一

25、讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”. 用 100 个银币买了100 头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（17071783）提出的问题. 们设 1 头猪和 5 头绵羊为 A 组，3 头山羊和 2 头羊绵为 B 组.A 表示 A 组的数， B 表示 B 组的数，要使（1 5）A（ 3 2） B100，或简写成6A5B100. 就恰好符合均价是1. 类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显， A 必定是 5 的整数倍 .A5， B 4， 65 5450，50 是100 的约数，符合要求. A5，猪5 头，绵羊25 头，B=4，山羊 12 头，绵羊 8 头. 猪山

26、羊绵羊=512（ 258）. 现在已把 15 和 32 两种比，组合在一起通常称为混合比. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载要注意，这样的问题常常有多种解答. A= 5， B14 或 A15，B2 才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是54253 或 15679. 答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者 5，42，53；或者 15，6，79. 求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣

27、的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧 . 通常求混合比可列下表：下面例题与例23 是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化. 例 24 某商品 76 件，出售给33 位顾客，每位顾客最多买三件，买1 件按定价，买2 件降价10，买3件降价20.最后结算，平均每件恰好按原定价的85出售，那么买3 件的顾客有多少人？解： 题目已给出平均数85，可作比较的基准. 1 人买 3 件少5 3；1 人买 2 件多5 2；1 人买 1 件多15 1. 1 人买 3 件与 1人买 1 件成 A 组，即按11 比例， 2 人买 3 件与 3 人买 2 件成 B 组，即按23 的比例

28、. A 组是 2 人买 4 件，每人平均买2 件. B 组是 5 人买 12 件，每人平均买2.4 件. 现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数 33，兔脚数2.4，鸡脚数2. B 组人数是（76-233）（ 24-2）25（人），A 组人数是33-258（人），其中买3 件 4 人，买1 件 4 人. 10 4 14（人） . 答：买 3 件的顾客有14 位. 建立两种比的A 组和 B 组，与例 23 的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对 A 组和 B 组，不仅要从人数考虑满足2A+5B 33，还要从买的件数考虑满足4A12B76.这已完全确定了A 组和 B 组的数，不必再求混合比. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -