2022年《数学分析》第四章函数的连续性 .pdf

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1、第四章 函数的连续性(计划课时： 1 2 时) 1 函数的连续性( 2 时 )一函数在一点的连续性：1连续的直观图解：由图解引出解析定义. 2.函数在一点连续的定义: 设函数)(xf在点0 x某邻域有定义.定义(用).()(lim00 xfxfxx) 定义(“”定义 .) 定义(用0lim0yx) 先定义x和. y例 1 函数12)(xxf在点20 x连续 . 例 2 函数.0,0,0,1sin)(xxxxxf在点00 x连续 . 例 3 函数)()(xxDxf在点00 x连续 . 注 : 若 函 数)(xf在 点0 x连 续 , 则)()(lim00 xfxfxx, 又 因00l i mxx

2、xx, 从 而)lim()(lim00 xfxfxxxx,即在)(xf的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序. 3. 单侧连续 : 定义单侧连续 , 并图解 . Th1 (单、双侧连续的关系) 例 4.0,2,0,0,2)(xxxAxxxf讨论函数)(xf在点00 x的连续或单侧连续性. 二. 间断点及其分类 :图解介绍间断点的分类. 跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况即)0(0 xf或)0(0 xf中至少有一个不存在称为第二类间断点. 例 5 讨论函数xxfsgn)(的间断点类型 . 例 6 延拓函数,sin)(xxxf使在点00 x连续 . 例 7 讨论函数)(xx

3、f的间断点类型 . 例 8 讨论函数xxf1sin)(的间断点类型 . 例 9 讨论 Dirichlet 函数)(xD和 Riemann 函数)(xR的连续性 . 三区间上的连续函数：开区间上连续，闭区间上连续 , 按段连续 . Ex 1P73 1 5. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为 Th 14. 1.局部有界性：2.局部保号性：3.四则运算性质：4.复合函数连续性：Th 4 若

4、函数f在点0 x连续 ,函数g在点0u连续 ,且)(00 xfu,则复合函数fg在点0 x连续 . ( 证 ) 注:Th 4 可简写为.)()lim()(lim)(lim0000 xfgxfgxfgxfgxxxxxx例 1 求极限).1sin(lim21xx例 2 求极限 : ;sin2lim0 xxx.sin2limxxx例 3 求极限.)1ln(lim0 xxxxln的连续性见后. 二、闭区间上连续函数的基本性质:1.最值性 :先定义最值 . Th 5 ( 最值性) 系( 有界性) 2. 介值性 : 定义介值 . Th 6 ( 介值性) 连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系( 零点

5、定理) 例 4 证明 : 若,0rn为正整数 ,则存在唯一正数0 x,使得rxn0(0 x称为r的n次正根 (即算术根 ),记作nrx0). 例 5 设f在,ba上连续 ,满足,),(babaf,证明 :,0bax使得00)(xxf. 二.反函数的连续性 : Th 7 若函数f在,ba上严格递增 ( 或减)且连续 , 则其反函数1f在相应的定义域)(),(bfaf或)(),(afbf上连续 . ( 证 ) 关于函数xxxy,arcsin等的连续性Ex 1P80 81 110 四函数的整体连续性 一致连续：1连续定义中对0 x的依赖性：例 6 考查函数xxf1)(在区间1,0(上的连续性 . 精

6、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 对,1,0(0 x作限制, 120 xx就有.2211200000000 xxxxxxxxxxxxx对0, 取.2,2min020 xx这里与0 x有关 , 有时特记为),(0 x. 本例中不存在可在区间1,0(上通用的, 即不存在最小的( 正数). 例 6 考查函数xxf1)(在区间), c)0(c上的连续性 . 本例中可取得最小的, 也就是可通用的.2,2min2cc该却与0 x无关 , 可记为)

7、(. 2.一致连续性 : 定义( 一致连续) 顺便介绍一致连续与连续的关系. 用定义验证一致连续的方法: 对0, 确证)0(存在 . 为此 , 从不失真地放大式)()(xfxf入手 , 使在放大后的式子中, 除因子xx之外 , 其余部分中不含有x和x, 然后使所得式子, 从中解出.xx例 8 验证函数)0()(abaxxf在),(内一致连续 . 例 9 验证函xxf1sin)(在区间) 10()1,(cc内一致连续 . 证,co s2si n21si n1si n22121212121212121cxxxxxxxxxxxxxxxx例 10 若函数)(xf在有限区间),(ba内一致连续 , 则)

8、(xf在),(ba内有界 . 3.一致连续的否定: 否定定义 . 例 11 证明函数xxf1)(在区间)1,0(内非一致连续 . 证法一( 用一致连续的否定定义验证) 取),1(, 10取,21,minx与,2xx便有.22xxx但.12121110 xxxxx证法二( 用例 10 的结果). 4.Lipschitz 连续与一致连续: 定义 Lipschitz 连续 . 例 12 函数)(xf在区间 I 上L连续 , )(xf在 I 上一致连续 . ( 证 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

9、第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 但函数)(xf在区间 I 上一致连续时 , 未必有)(xf在 I 上L连续 . 例如 : 函数xxf)(在区间)1,0(内一致连续 . 为证明x在区间)1,0(内一致连续 , 先证明不等式 : ,0,21xx有不等式.2212121xxxxxx事实上 , 21xx时, ,222122212121xxxxxxxxxx同理 , 21xx时, 有.221211212121xxxxxxxxxx利用该不等式, 为使221)()(xfxf,222121xxxx只要.221xx却不是L连续 . 事实上 , 倘存在L0, 使对),1,0(,21x

10、x有,)()(212121xxLxxxfxf则当21xx时，应成立.121Lxx但若取,4,12221nxnx就有).(,3121nnxx矛盾 . 5.一致连续的判定: Th 8 ( Cantor ) 若函数)(xf在闭区间,ba上连续 , )(xf在,ba上一致连续 . 例 13 见1P80例 10. Ex 1P102 8，9，10. 3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 ) 一.初等函数的连续性 : Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2任何初等函数在其有定义的区间上是连续的. 註 : 初等函数的连续区间和

11、间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例 1 求函数2ln1)(xxxf的连续区间和间断点. 解).,3()3,2()2,1()1,1fD)(xf的连续区间为 : )1,1、)2,1(、)3,2(和),3(. 间断点为 : 2,1x和3. )(xf在点1x右连续. 二.利用函数的连续性求极限: 例 2.cos)1ln(lim20 xxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 3.1111lim0 x

12、xxxx作倒代换.1xt例 4.1limsec0 xctgxxtgx解I = .)1(lim)1(lim1seclim0sec00eetgxtgxxctgxxxctgxxx例 5.sin1sinlimxxx解xxsin1sin.21cos21sin2xxxx,021limsin21sinlim, 121cosxxxxxxxxI = .0Ex 1P84 1，2；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -