2022年初等几何研究试题答案 .pdf

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1、初等几何研究试题答案（I ）一、线段与角的相等1. O1、O2相交于 A、B,O1的弦 BC交O2于 E,O2的弦 BD交O1于 F, 求证: （1）若 DBA= CBA,则 DF=CE; (2) 若 DF=CE, 则DBA= CBA. 证明:(1) 连接 AC 、AE 、AF、AD 在O1中, 由CBA= DBA得 AC=AF 在O2中, 由CBA= DBA得 AE=AD 由 A、C、B、E四点共圆得 1=2 由 A、D、B、E四点共圆得 3=4 所以 ACE AFD DF=CE (2)由（1）得 1=2, 3=4 DF=CE ACE AFD 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

2、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - - AD=AE 在O2中, 由 AD=AE 可得 DBA= CBA 2. 在ABC中,AC=BC, ACB=90O,D 是 AC上的一点 ,AEBD的延长线于 E,又 AE=12BD, 求证:BD平分 ABC. 证明: 延长 AE,BC交于点 F AEDBCA90ADEBDC CBDCAFACFBCA90 ACBCACFBCDAFBD11AEBDAEAF22ABEEBEBEABFBDABC又又又平分即平分3. 已知在凸五边形ABCDE中, BAE=

3、3 ,BC=CD=DE, 且 BCD= CDE=180 o2, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 求证: BAC= CAD= DAE. 证明: 连接 BD,得CBD 是等腰三角形且底角是 CDB=180 o(180o2) 2=. BDE=(180 2)-=180o3A、B、D、E共圆同理 A、C、D、E共圆BAC= CAD= DAE 4. 设 H为锐角 ABC的垂心 , 若 AH等于外接圆的半径 . 求证: BAC=60 o证明:

4、 过点 B作 BD BC,交圆周于点 D,连结 CD 、AD DBC=90 o, CD是直径 , 则CAD=90 oC 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 由题, 可得 AH BC, BHAC BD AH, ADBH 四边形 ADBH 是AH=BD 又AH等于外接圆的半径 (R) BD=R, 而 CD=2R 在 RtBCD 中,CD=2BD, 即BCD=30 oBDC=60 o又 BAC= BDC BAC= BDC=60 o5. 在

5、ABC中, C=90o,BE 是B的平分线 ,CD是斜边上的高 , 过 BE 、CD之交点 O且平行于 AB的直线分别交 AC 、BC于 F、G,求证 AF=CE. 证明: 如图 13, 1=2. 2=3, GB = GO, 5=4=6, CO =CE, FGAB,AF CF=BG CG=GOCG, 又 FCO COG, CO CF=GO CG=AF CF, CO=AF, CO=CE, AF=CE. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -

6、- 6. 在ABC中, 先作角 A、B的平分线 , 再从点 C作上二角的平分线值平行线 , 并连结它们的交点D、E,若 DE BA,求证: ABC等腰. 证: 如图所示设 AC 、ED的交点为 F AD是A的平分线1=2 DE AB 1=3 CE AD 3=5, 4=2 1=2=3=4=5 则FAD和FCE是等腰三角形AF=DF,EF=CF AC=DE 同理可证BC=DE AC=BC ABC是等腰三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -

7、 - 7. 三条中线把 ABC 分成 6 个三角形 , 若这六个三角形的内切圆中有4 个相等 . 求证: ABC是正三角形rrOFEDBCAHIGLKJ证明: AOF 、AOE 、COD 、COE 、BOF 、BOD 面积都相等SOFB=SOEC即:21BFr+21FO r+21BO r=21CE r+21OE r+21OC r 21 (BF+FO+BO) r=21 (CE+OE+OC) r BF+FO+BO=CCE+OE+OC CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ 2DH+2BH=2FK+2CK 2BF=2CE 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

8、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 又 F、E分别为 AB 、AC之中点AB=AC 同理:AB=BC 故ABC是正三角形 . 8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形 . ABDCEFIHGO证明:又 AOB、BOC 、COD 、DOA 四个三角形的面积相等1122ODDCOCrOBBCOCrCDOCODBCOBOCODOCDCOEOGOBOCBCOIOG2222DFCFBHCH22DCBCDCBC四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4 个三角形

9、 ,皆有相等的内切圆 ,求证:该四精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 边形是菱形. 证明:连结 O1 、O2,分别作 O1 、O2到 AC 的垂线 ,垂足分别为 P 、M 在 ABC中,BO是O1 、O2的公切线BO O1 O2又 O1 、O2半径相同 , 且都与 AC相切O1 O2AC BO AC BDAC 两个相等的内切圆 O1 、O3在对顶三角形AOB 与COD 中周长 CAOB=CCOD AO+BO+AB=CO+DO+CD

10、又OP=OQ=OM=ON （AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) 2AB=2CD AB=CD 同理 AD=BC 四边形 ABCD 是平行四边形A B D C P N O1O2O O3O4M Q 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 又AC BD 四边形 ABCD 是菱形10. 在锐角 ABC 中,BD,CE 是两高 ,并自 B 作 BFDE 于 F,自 C 作CGDE 于 G,证明:EF=DG. 证

11、明:设 O,M 分别是 BC,FG 的中点, 所以 OMBF, 因为 BFFG, 所以 OMFG, 又因为 BEC=BDC=90所以 BCDE 四点在以 BC 为直径的圆上 , 因为 OMDE, 所以 OM 平分 ED, 所以 FM-EM=MG-MD 即 EF=DG. 11. ABC 中,M 是 BC 的中点 ,I 是内心,BC 与内切圆相切与 K. M G O F E D C B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 求证:直线

12、 IM 平分线段 AK. IOMLKHGFEDCBA证明:作出A 的旁切圆 O,设它与 BC 边和 AB,BC 的延长线分别切于 D,E,F,（如图）连接 AD 交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A 为中点成位似 ,则: IL BC,即 K,I,L 共线于是原题借中位线可如下转化MI 平分 AK, M 平分 DK BD=KC 后者利用圆 I 与圆 O 两条外公切线相等EG=FH BD+BK=CD+CK 则反推过去 ,得到 IM 平分线段 AK. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共

13、 27 页 - - - - - - - - - - 12在ABC 中,M 是 BC 的中点,I 是内心 ,AH BC 于 H,AH 交 MI于 E,求证:AE 与内切圆半径相等 . ELKMHGFIBCA证明:如图所示作ABC 的内切圆 , 切点分别交于BC 于点 K、AB 于点 F、AC 于点 G,连接KL 与 AC KL 是直径 , 又M 为 BC 的中点 ,I 为内心,则 AL又AHBC AHLK 又点 E 点 I 分别都在 AH、LK 上AELI 四边形 AEIL 为平行四边形AELI 命题得证 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

14、名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 13. 在矩形 ABCD 中,M 是 AD 的中点,N 是 BC 的中点,在 CD 的延长线取 P点,记 Q 为 PM 与 AC 的交点 ,求证:QNMMNP 证明:利用矩形的中心设 O 是矩形 ABCD 的中心 ,则 O 也是 MN 的中点 , 延长 QN 交 OC 的延长线于 R,如图,则 O 又是 PR的中点,故 NC 平分PNR.,而 NMNG. NM 平分 PNQ 14. 给定以 O 为顶点的角 ,以及与此角两边相切于A、B 的圆周,过 A作 OB 的平行线交圆于C,连

15、结 OC 交圆于 E,直线 AE 交 OB 于 K,求证:OK=KB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 证明:如图所示 ,过 C 作圆的切线交 OB 延长线于 D.OD,OA,CD 都是圆的切线 ,且 ACCD 四边形 ACDO 是等腰梯形 , DOA= D BOC= ACO, ACO= OAK BOC= OAK DOA= D AOK ODC 21ODCD21AOKO OA=OB OB=OA=2KO,即 OK=KB 15. 在

16、等腰直角 ?ABC 的两直角边CA,CB 上取点 D、E 使 CD=CE,从 C、D 引 AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于 K、L,求证:KL=KB. LKEHEDCB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 证明:延长 AC 至 E使 CE=CE,再连 BE交 AE 的延长线于 H. ?ABC 是等腰直角三角形AC=BC ,ACB=BCE=90又CE=CE ?BCE?ACECAE=CBE AEC=BEH ?BHE?ACEBHE=

17、ACB=90 DLCKEB 及 DC=CE KL=LB. 16. 点 M 在四边形 ABCD 内,使得 ABMD 为平行四边形 ,试证:若CBM=CDM,则ACD=BCM. 证:作 ANBC 且 AN=BC, 连接 DN、NC ABMD 为平行四边形 ,ANBC 且 AN=BC ABCN、DMCN 为平行四边形 ,AD=BM DN=CM 、AN=BC ADNBMC 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 1=3,2=4,6=7 1=2

18、 3=4 A、C、N、D 共圆（视角相等）5=7（同弧 AD）5=6 即ACD=BCM 17. 已知ABC= ACD=60 , 且ADB=90 -21BDC, 求证: ABC是等腰的. 证明: 延长 CD使得 BD DE,并连结 AE ADB 9021BDC 2ADB BDC 180又BDC ADB ADE 180ADB ADE 又BD DE,AD AD ADB ADE ABD AED 60,ABAE 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 27 页 - - - - - - - -

19、- - 又ACD 60ACE为正三角形AC AE AB AC ABC为等腰三角形18. O1、O2半径皆为 r, O1平行四边形 过的二顶 A、B,O 2过顶点 B、C,M是O1、O2的另一交点 , 求证 AMD 的外接圆半径也是r. 21OEMDBOOCA证明: 设 O为 MB的终点连接 CO并延长 O1于 E 则由对称知 O为 CE的中点O平分 MB O平分 CE MEBC 是平行四边形ME BC AD 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 27 页 - - - - - - -

20、 - - - MEAD 亦是平行四边形MAE AMD AMD 的外接圆半径也为r 19. 在凸五边形 ABCDE 中,有ABC=ADE, AEC=ADB, 求证:BAC=DAE.证明:连接 BD,CE,设它们相交于 F,如图, AEC= ADB. A,E,D,F 四点共圆 . DAE= DFE. 又ABC= ADE= AFE. A,B,C,F 四点共圆 . BAC= BFC. 又DFE= BFC. BAC= DAE.20. 在锐角 ABC 中,过各顶点作其外接圆的切线,A、 C 处的两切线分D C A F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名

21、师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 别交 B 处的切线于 M、N,设 BD 是ABC 的高（D 为垂足）,求证:BD平分 MDN. 证明:如上图 ,m、n 分别表示过 M、N 的切线长 ,再自 M 作 MM AC于 M , 作 NN AC 于 N ,则有NBNCNMAM NCNAM / CN =AM/CN=m/n 又MM BDNNM D/DN =MB/BN=m/n 由等比性质知m/n=(M DAM )/(DN -CN )=AD/DC ADM CDN DM/DN=m/n 即 DM/m=DN/n BD 平分 MDN 精品

22、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 21.已知:AD、BE、CF是 ABC 的三条高 .求证:DA、 EB、FC 是DEF的三条角平分线 . 证明:连结 DF、FE、DECFAB AD BC B、D、H 、F共圆13 AD BC BE AC B、D、E、A共圆2=3 2=1 AD平分EDF 同理,CF 平分 EFD BE 平分 FED 即证:DA、EB、FC 是DEF 的三条角平分线22.已知 AD 是ABC 的高,P 是 AD 上任

23、意一点 ,连结 BP-CP,延长交精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - - AC、AB 于 E、F,证 DA 平分 EDF. 证:过 E、F 两点分别作 EH、FG,使 EHBC,FGBC,且交 CF、BE 于I、JEHBC,ADBC,FGBC EHADFG EIEH=APAD=FJFGFJEIFGEH又GDHDPJEPEIPJFP PJEPFJEIEHDFGDDFJ=DEI FDB= EDC 即ADF= ADE 即 DA平分 EDF

24、23.圆内三条弦 PP1、QQ1、RR1、两两相交 ,PP1与 QQ1交于 B,QQ1与RR1交于C,RR1与 PP1交于 A,已知 :AP=BQ=CR,AR1=BP1=CQ1,求B C A D E F I J P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 证:ABC 是正三角形 . 解:设 AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1, 则由相交弦定理得 m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m

25、) 即 ma=nc mb=na mc=nb 三式相加得 m=n 所以 a=b=c 即ABC 是正三角形24.H 为ABC 的垂心 ,D、E、F 分别为 BC、CA、AB 的中点 ,一个以H 为心的圆交DE 于 P、Q,交 EF 于 R、S,交 FD 于 T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 证明:连结 AS、AR、RH 由相交弦定理知 : AHHA=BH HB=CHHC AS2=AR

26、2=AK2+KR2 设H 的半径为 r, 在KRH 中,KR2=r2-HK2 AS2=r2+（AK+KH ） （AK-HK ）=r2+AH(AK-HK) 在ABC 中,F、E 为 AB、AC 的中点 ,且 AABC AK=KA AS2=AR2=r2+AHHA 同理:BT2=BU2=r2+BHHB CP2=CQ2=r2+CHHC B C H D E F R S T Q K C A B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 25、在

27、锐角三角形 ABC 中,AD、BE、CF 是各边上的高 ,P、Q 分别在线段 DF、EF上,且PAQ 与DAC 同向相等 . 求证:AP 平分 FPQ RFDEABCPQ证明:作出 APQ 的外接圆 ,延长 PF交圆于 R,分别连结RA、RQ 由图可知 ,AQPR 内接于圆PRQ= PAQ= DAC=21DFE 由外角定理得 , PRQ+ FQR= DFE FC RQ AF RQ FR=FQ AF垂直平分 RQ ARQ= AQR 又 AQPR 内接于圆APQ= ARQ APR= AQR APQ= APR AP平分 FPQ精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

28、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 000090)2() 1(,45,30,15.26BACABACCQPBRPCPQBPRARQAQRPQRCBAPQR求证：之外，且在、是任意三角形，P C B Q R A S 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 000000000901530)2(4530604515601.BACARQBARAQRCA

29、QBACARQAQRBARCAQABRSPRCQAPQSACABSRSQARAQARABSRPSABRSPRAQACQSPSCQAPQSCQAPQSCQPAQPAQSAQPCQPAQSQPCQQSAQCQPAQSCQPBRPARSAQSASRASQQSRASRASQARSAQSARSARQARAQARQAQRPSASQRSPQR又同理，即又）（如图所示，连结，的另一侧作正为一边在证明：以27已知:凹四边形 ABCD 中,45DBA.求证:AC=BD. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25

30、页，共 27 页 - - - - - - - - - - 证明: 如图,延长 DC 交 AB 于点 E,延长 BC 交 AD 于点 F. 45DA,DEAE且90AED又45B45ECBDBACDEBSAECSEBEC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 27 页 - - - - - - - - - -