2022年《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座第27讲正余弦定理及应用 .pdf

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1、普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座27）正、余弦定理及应用一课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也

2、可能是中、难度的解答题。三要点精讲1直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC 中， C90， ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinAcosBca，cosAsinBcb，tanAba。2斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29，在 ABC 中， A、B、C 为其内角， a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。RCcBbAa2sinsinsin。（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角

3、形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）21aha21bhb21chc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高）；（2）21absinC21bcsinA21acsinB；（3）)sin(2sinsin2CBCBa)sin(2sinsin2ACACb)sin(2sinsin2BABAc；（4） 2R2sinAsinBsinC。 （R 为外接圆半径）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

4、 - - - - - - - -第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - - （5）Rabc4；（6）)()(csbsass；)(21cbas；（7） rs。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。解斜三角形的主要依据是：设 ABC 的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、

5、C。（1）角与角关系：A+B+C = ；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理RCcBbAa2si ns i nsi n（R 为外接圆半径） ；余弦定理c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在 ABC 中，A+B+C= ，所以 sin(A+B)=

6、sinC ；cos(A+B)= cosC；tan(A+B)=tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3）在 ABC 中，熟记并会证明：A， B， C 成等差数列的充分必要条件是B=60； ABC 是正三角形的充分必要条件是A， B， C 成等差数列且a，b，c成等比数列。四典例解析题型 1：正、余弦定理例 1 （1）在ABC 中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形；（2）在ABC 中，已知20acm，28bcm ，040A，解三角形（角度精确到01 ，边长

7、精确到1cm ） 。解析：（1）根据三角形内角和定理，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 0180()CA B000180(32.081.8 )066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA（2）根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00B0180，所

8、以064B，或0116 .B当064B时，00000180() 180(4064 )76CAB，00sin20sin7630().sinsin40aCccmA当0116B时，00000180() 180(40116 )24CA B，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2 （1）在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A；（2）在ABC中，已知134.6acm ，87.8bcm ，161.7ccm ，解三角形解析：（1）2

9、222cosbacacB=22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 3 1)=82 2.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cos222222(2 2)( 62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A解法二： sin02 3sinsin45 ,22aABb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 又62 2.41.43.8,2 3 2 1.83.6

10、, ac，即00A090 ,060 .A（2）由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,056 20A；cos2222cabBca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53B；0000180() 180(56 2032 53)CAB090 47.点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型 2：三角形面积例 3 在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3， 求At a n的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。.21)45cos(,22)45c

11、os(2cossinAAAA又0180A, 4560 ,105.AA13tantan(4560 )2313A, .46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - - .0cos,0sin,180021cossin221)cos

12、(sin2AAAAAAA23cossin21)cos(sin2AAAA, sincosAA62+ 得s i n A264。得c o s A264。从而sin264tan23cos426AAA。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力， 是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例4 （06年湖南）已知 ABC 的三个内角 A、BC成等差数列，其外接圆半径为1，且有22)cos(22sinsinCACA。 （1）求 A、BC的大小；（2）求 ABC 的的面积。解析： A+B+C=180 且2B=A+C ， B=60，

13、A+C=120 ，C=120 A。22)cos(22sinsinCACA，)60(sin21 22cos23sin2102AAA=22，.22)60sin(0)60sin(, 0)60sin(21)60sin(0000AAAA或又 0A180 ， A=60或 A=105 ，当A=60 时， B=60， C=60，;43360sin421sin21032RBacS此时当A=105 时， B=60， C=15，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - - - - - -

14、 - - .4360sin15sin105sin421sin210002RBacS此时点评：要善于借助三角形内的部分变形条件，同时兼顾三角形的面积公式求得结果。题型 3：与三角形边角相关的问题例 5 （1） （2005 江苏 5）ABC 中，,3,3ABC则 ABC 的周长为（）A4 3sin()33BB4 3 sin()36BC6sin()33BD6sin()36B（2） （06 年全国 2 文， 17）在2 545 ,10,cos5ABCBACC中，求（1）?BC（2）若点DAB是的中点，求中线CD 的长度。解析：（1）答案： D 解析：在ABC中，由正弦定理得：,233sin BAC化简

15、得 AC=,sin32B233)3(sinBAB，化简得 AB=)32sin(32B，所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+Bsin32+)32sin(32B=3+.3)6sin(6cos3sin33BBB。故选 D。（2）解：（1）由2 55cossin55CC得，23 10sinsin(18045)(cossin)210ACCC，由正弦定理知103 10sin3 2sin1022ACBCAB，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - -

16、 （2）105sin2sin522ACABCB，112BDAB。由余弦定理知：222cos21182 1 3 2132CDBDBCBD BCB点评：本题考查了在三角形正弦定理的的运用，以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用。例 6 在锐角ABC中， 角ABC， ，所对的边分别为abc， ， 已知22sin3A，（1）求22tansin22BCA的值； （2）若2a，2ABCS，求b的值。解析：（1）因为锐角 ABC 中，ABC ，2 2sin3A，所以 cosA13，则22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cos BC11cosA171cosA1cosBC21co

17、sA33（） （ ）（）（2）ABCABC112 2S2Sbcsin Abc223因为，又，则 bc3。将 a2，cosA13，c3b代入余弦定理：222abc2bccosA中，得42b6b90 解得 b3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。题型 4：三角形中求值问题例 7ABC的三个内角为ABC、 、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - -

18、- - - - - 解析：由A+B+C= ，得B+C2=2A2，所以有 cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+ 2sinA2=2(sinA212)2+ 32；当 sinA2= 12，即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为32。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例 8 （06 四川文， 18）已知 A、B 、C是ABC 三内角，向量)3, 1(m)sin,(cosAAn，且1.nm， （）求角A； （）若221sin 23,cossinBBB求tanC 。解

19、析：（）1m n1,3cos,sin1AA，即3sincos1AA，312 sincos122AA，1sin62A；50,666AA，66A，3A。（）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBB，c o s0B2tantan20BB；tan2B或tan1B，而tan1B使22cossin0BB，舍去；tan2B。点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。题型 5：三角形中的三角恒等变换问题例 9在 ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、 C 的对边长，已知a、b

20、、c 成等比数列，且a2c2=acbc，求 A 的大小及cBbsin的值。分析：因给出的是a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找 A 与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac 可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。解法一： a、b、c 成等比数列，b2=ac。又 a2 c2=acbc， b2+c2a2=bc。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 在 ABC 中，由余弦定理得：cosA=bcacb2222=bcbc2

21、=21， A=60。在 ABC 中，由正弦定理得sinB=aAbsin， b2=ac，A=60，acbcBb60sinsin2=sin60=23。解法二：在 ABC 中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB。b2=ac， A=60， bcsinA=b2sinB。cBbsin=sinA=23。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例10 （ 2002 京皖春， 17 ）在 ABC 中， 已知A、 B、 C 成等 差数列，求2tan2tan32tan2tanCACA的值。解析：因为A、B、C 成等差数列，又ABC180，所以 AC120，从

22、而2CA60，故 tan32CA.由两角和的正切公式，得32tan2tan12tan2tanCACA。所以,2tan2tan332tan2tanCACA32tan2tan32tan2tanCACA。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型 6：正、余弦定理判断三角形形状例 11 （2002 上海春， 14）在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

23、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 答案： C 解析： 2sinAcosBsin（AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC，sin（ AB） 0， AB点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径。例 12 （06 安徽理， 11）如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则（）A111ABC和222A B C都是锐角三角形B111ABC和222A B C都是钝角三角形C111ABC是钝角三角形，222A B C是

24、锐角三角形D111ABC是锐角三角形，222A B C是钝角三角形解析：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222A B C是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222A B C是钝角三角形。故选D。点评：解决此类问题时要结合三角形内角和的取值问题，同时注意实施关于三角形内角的一些变形公式。题型 7：正余弦定理的实际应用例 13 （06 上海理， 18）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B

25、 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102北20 10 A B ?C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 2 20 10COS120 =700. 于是 ,BC=107。 710120sin20sin ACB， sinACB=73， ACB90， A

26、CB=41。乙船应朝北偏东71 方向沿直线前往B 处救援。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。例 14 （06 江西理， 19）如图，已知 ABC是边长为 1 的正三角形，M 、 N分别是边 AB 、AC上的点，线段MN经过 ABC的中心 G ，设MGA （233）（1）试将 AGM 、 AGN的面积（分别记为S1与S2） ；（2）表示为的函数，求y221211SS的最大值与最小值。解析： （ 1） 因为 G 是边长为 1 的正三角

27、形ABC 的中心，所以AG 233323，MAG 6，由正弦定理GMGAsinsin66（ ）得3GM6sin6（），则S112GM GA sin sin12sin6（ ）。同理可求得S2sin12sin6（ ）。（2）y221211yy222144sinsinsin66（）（）72（3cot2）因为233，所以当3或23时，y 取得最大值ymax240，当 2时，y 取得最小值ymin216。点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图DABCMN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

28、 - - - -第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数4( )f ttt，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？五思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c） ，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A） ，应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求

29、c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直；3三角学中的射影定理：在ABC 中，AcCabcoscos，4两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座29）等比数列一课标要求：1通过实例，理解等比数列的概念；2探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数

30、列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。二命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。预测 07 年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的12 道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力

31、。三要点精讲1等比数列定义精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q数列对于数列（1） （2） （3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，5，21。 （注意：“从第二项起” 、 “常数”q、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：)0(111qa

32、qaann。说明： （1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若na为等比数列，则m nmnaqa。3等比中项如果在ba与中间插入一个数G，使bGa,成等比数列，那么G叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,na aaa的前 n 项和是nS123naaaa，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaa qSq；当 q=1 时，1naSn（错位相减法） 。说明：（1）nSnqa,1和nnSqaa,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公

33、式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。四典例解析题型 1：等比数列的概念例 1 “公差为 0 的等差数列是等比数列”； “公比为21的等比数列一定是递减数列”；“ a,b,c 三数成等比数列的充要条件是b2=ac” ； “a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c” ，以上四个命题中，正确的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题 1中未考虑各项都为0 的等差数列不是等比数列；命题 2中可知 an+1=an21，an+1an未必成立，当首项a10 时，anan，即an+1an，此时该数列为递增数列；命题 3 中，

34、若 a=b=0，cR，此时有acb2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 例 2命题 1：若数列 an 的前 n 项和 Sn=an+b(a1)，则数列 an是等比数列；命题 2：若数列 an 的前 n 项和 Sn

35、=an2+bn+c(a0)，则数列 an是等差数列；命题 3：若数列 an的前 n 项和 Sn=nan，则数列 an既是等差数列， 又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（）A0 个B1 个C2 个D3 个解析：由命题 1 得， a1=a+b，当 n2 时， an=SnSn1=(a1)an1。若 an是等比数列，则12aa=a，即baaa)1(=a，所以只有当b=1 且 a0 时，此数列才是等比数列。由命题 2 得， a1=a+b+c，当 n2 时，an=SnSn1=2na+ba，若 an是等差数列，则a2a1=2a，即 2ac=2a，所以只有当c=0 时，数列 an才是等差数列。由命题3 得

36、， a1=a1，当 n2 时， an=SnSn1=a1，显然 an是一个常数列，即公差为 0 的等差数列，因此只有当a10；即 a1 时数列 an 才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与 an的关系，它们是an=,11nnSSa时当时当21nn，正确判断数列an是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择 A。题型 2：等比数列的判定例 3 （ 2000 全国理， 20） （） 已知数列 cn ，其中 cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p； （）设 an 、 bn是公比不

37、相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列 cn不是等比数列。解析：（）解：因为cn1pcn是等比数列，故有：（cn1pcn）2（cn2pcn1） （cnpcn1） ，将 cn2n 3n代入上式，得：2n13n1p（2n3n） 2 2n23n2p（2n13n1） 2n3np（2n13n1） ，即 （2 p）2n（ 3p）3n2 （2 p）2n1（ 3p）3n1 （2p）2n1（ 3p）3n1 ，整理得61（2 p） （3p） 2n3n0，解得 p=2 或 p=3。（）证明：设an 、 bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn。为证 cn不是等比数列只需证c22c1c3。事实上， c2

38、2（ a1pb1q）2a12p2b12q22a1b1pq，c1c3（ a1b1） （a1p2b1q2）a12p2b12q2a1b1（p2q2） ，由于 pq，p2q22pq，又 a1、b1不为零，因此 c22c1c3，故 cn不是等比数列。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例 4 （2003 京春，21）如图 31，在边长为 l 的等边 ABC中，圆 O1为 ABC 的

39、内切圆，圆O2与圆 O1外切，且与AB，BC 相切，圆On+1与圆 On外切，且与AB、BC 相切，如此无限继续下去.记圆 On的面积为 an（nN*） ，证明 an 是等比数列；证明：记rn为圆On的半径，则r1=2ltan30=l63。nnnnrrrr11=sin30=21， 所以 rn=31rn1（n2） ， 于是 a1=r12=91)(,122112nnnnrraal，故an 成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。题型 3：等比数列的通项公式及应用例 5一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列

40、，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且 (aq+4)2=a(aq2+32)；解得 a=2，q=3 或 a=92，q=5；故所求的等比数列为2，6,18 或92，910，950。点评：第一种解法利用等比数列的基本量qa ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。例 6（2006 年陕西卷）已知正项数列na， 其前n项和nS满足21056,nnnSaa且1215,a a a成等比数列，求数列na的通项.na解

41、析： 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3。又 10Sn1=an12+5an1+6(n 2)，由得10an=(an2an12)+6(anan1)，即 (an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n 2)。当 a1=3 时， a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比数列a13 ；当 a1=2 时,，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。题型 4：等比数列的求和公式及应用图 31 精

42、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 例 7（1）（2006 年辽宁卷） 在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列，则nS等于（）A122nB3nC2nD31n（2） （2006 年北京卷）设4710310( )22222()nf nnN，则( )f n等于（）A2(81)7nB12(81)7nC32(81)7nD42(81)7n（3） （1996 全国文， 21）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S

43、3S62S9，求数列的公比q；解析：（1）因数列na为等比，则12nnaq，因数列1na也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12 )01nnnnnnnnnnnnnaaaaaa aaaaaaaqqq即2na，所以2nSn，故选择答案C。（2）D；（3）解：若q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因 a1 0，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故q1。由 S3+S6=2S9，得qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，整理得 q3（2q6q31）=0，由 q0，得 2q6q31=0，从而（ 2q31） （q31）=0，因 q

44、31，故 q3=21，所以 q=243。点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可。例 8 （1） （2002 江苏， 18）设 an为等差数列， bn为等比数列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分别求出 an及 bn的前 10 项的和 S10及 T10；（2） （2001 全国春季北京、安徽，20）在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a1，a2，a3，an，使这 n2 个数成等比数列；又在1 与 2 之间插入 n 个正数 b1，b2，b3， bn，使这 n2 个数成等差数列.记 Ana1a2a3 an，Bnb1b2b3 bn. （）求数列An和

45、 Bn的通项；（）当n 7时，比较 An与 Bn的大小，并证明你的结论。（3） （2002 天津理， 22）已知 an是由非负整数组成的数列，满足a10，a23，an1an（ an12） （an22） ， n3，4，5，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - - （）求a3；（）证明anan22，n3，4，5，；（）求 an的通项公式及其前n 项和 Sn。解析：（1） an为等差数列， bn为等比数列，a2a42a3，b2b4b32已知

46、a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b321，a341由 a1 1，a341知 an的公差为d83，S10 10a18552910d由 b1 1，b321知 bn的公比为q22或 q22当 q22时，)22(32311)1(10110qqbT，当 q22时，)22(32311)1(10110qqbT。（2） （）设公比为q，公差为 d，等比数列1，a1，a2， an，2，等差数列1，b1，b2， bn，2。则 A1a11qA21q1q2A31q1q21q3又 an21qn12 得 qn12，Anqq2qnq222)1(nnn（n1，2，3）又 bn21（

47、n1）d2 （n1）d1 B1b11dB2b2b11d12dBn1d 1nd23n（） An Bn，当 n7 时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 证明：当n 7时， 23582AnBn237， AnBn设当 nk 时， AnBn，则当 nk1 时，21212kkA23231kBk又 Ak+1222k23231kBk且 AkBkAk1223kAk1Bk12323)12(2323232kkk又 k8， 9，10Ak1Bk10，综上所

48、述， AnBn成立 . （3） （）解：由题设得a3a410，且 a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10若 a3 1，则 a410，a523，与题设矛盾若 a3 5，则 a42，a5235，与题设矛盾若 a3 10，则 a41，a560，a653，与题设矛盾 . 所以 a32. （）用数学归纳法证明：当 n3，a3a12，等式成立；假设当n k（k3）时等式成立，即akak22,由题设 ak1ak（ ak12） （ak22） ，因为 akak220，所以 ak1ak12，也就是说，当nk1 时，等式 ak1ak12 成立；根据和，对于所有n3，有 an+1=an1+2。（

49、）解：由 a2k1a2（k1）12，a10，及 a2ka2（k1）2，a23 得 a2k12（k1） ，a2k2k1， k1，2，3，即 ann（ 1）n，n1，2，3，。所以 Sn.,1)1(21,),1(21为奇数当为偶数当nnnnnn点评：本小题主要考查数列与等差数列前n 项和等基础知识，以及准确表述，分析精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 和解决问题的能力。题型 5：等比数列的性质例 9 （1） （2005 江苏 3）在各

50、项都为正数的等比数列an中，首项 a13，前三项和为 21，则 a3a4a5（）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189 （2）（2000 上海，12） 在等差数列 an 中， 若 a100， 则有等式 a1+a2+ an=a1+a2+a19n（n19，nN)成立 .类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式成立。解析：（1）答案： C；解：设等比数列an的公比为q(q0) ，由题意得 :a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q-6=0， 求得 q=2(q=3 舍去 )， 所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4,8421故选 C。（2）