2022年《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题 .pdf

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1、普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新数学第一轮复习教案 （讲座 35）曲线方程及圆锥曲线的综合问题一课标要求：1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3了解圆锥曲线的简单应用。二命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007 年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。1求曲线（或轨迹） 的方程， 对于这类问题， 高考

2、常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测 07 年高考：1出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。三要点精讲1曲线方程（1）求曲线 (图形 )方程的方法及其具体步骤如下：步骤含义说明1、 “建”：建立坐标系； “设”：设动点坐标。建 立 适 当 的 直 角 坐 标系，用 (x,y)表

3、示曲线上任意一点M 的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现 (限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点 M的集合 P=M|P(M) 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、 “代”：代换用 坐 标 法 表 示 条 件P(M) ， 列出方程 f(x,y)=0 常常用到一些公式。4、 “化”：化简化方程f(x,y)=0 为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的化简的过程若是方程的同解变形，可以不精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

4、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 解为坐标的点都是曲线上的点。要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤 (不包括证明 )可浓缩为五字“口诀” ：建设现 (限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法” ，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的

5、几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线Cf( x，y)=0 与直线 l y=kx+b 相交于

6、A( x1，y1)、B( x2，y2) 两点，则弦长 | AB| 为：若弦 AB 过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星

7、运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 实际问题模型的解数学模型方程讨论方程的解翻译回去建立坐标系转化成数学问题（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。四典例解析题型 1：求轨迹方程例 1 （1）一动圆与圆22650

8、 xyx外切，同时与圆226910 xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点P，12,F F是曲线的两个焦点，求12PF F的重心M的轨迹方程。解析：（1） （法一）设动圆圆心为( , )Mx y，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100 xy，当M与1O相切时，有1|2O MR当M与2O相切时，有2| 10O MR将 两 式 的 两 边 分 别 相 加 ， 得21| 12OMO M，即2222(3)(3)12xyxy移项再两边分别平方得：222 (3)12xyx两边再平方得：223410

9、80 xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，由以上方程知，动圆圆心( ,)M x y到点1( 3,0)O和2(3,0)O的距离和是常数12，所xy1O2OP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 以点M的轨迹是焦点为1( 3,0)O、2(3,0)O，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，26c，212a，

10、3c，6a，236927b，圆心轨迹方程为2213627xy。（ 2）如图 ，设,P M点 坐标各为11(,),( , )P x yM x y，在已 知双 曲线方 程中3,1ab，9 110c已知双曲线两焦点为12(10,0),( 10,0)FF，12PF F存在，10y由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。10y，0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3 )(3 )1(0)9xyy即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyy。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例 2 （2001 上海， 3）设

11、P 为双曲线42xy21上一动点， O 为坐标原点， M 为线段 OP 的中点，则点M 的轨迹方程是。解析：（1）答案： x24y21 设 P（x0，y0）M（x，y）2,200yyxx2xx0，2yy0442x4y2 1x24y21 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题例 3 （1）设AB是过椭圆xaybab222210()中心的弦，椭圆的左焦点为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 42 页 - - - - - - - -

12、- - Fc10()，则 F1AB 的面积最大为（）A. bcB. abC. acD. b2（2）已知双曲线xaybab2222100()，的左右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PFPF124，则此双曲线的离心率的最大值是（）A. 43B. 53C. 2 D. 72（3）已知A（3，2） 、B（ 4，0） ，P 是椭圆xy222591上一点，则 |PA|PB|的最大值为（）A. 10 B. 105C. 105D. 102 5解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为 AB 的中点，则 F1OB 的面积为 F1AB面积的一半。 又|OFc1， F1OB 边 OF1上的高为yB，

13、 而yB的最大值是b， 所以 F1OB的面积最大值为12cb。所以 F1AB 的面积最大值为cb。点评：抓住F1AB 中|OFc1为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：| |PFPFa122，又|PFPF124，所以322|PFa，从而|PFa223精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 由双曲线的第二定义可得|PFxacca22，所以xac532。又xaaca，即532，从而eca53。故选 B。点评： “点

14、 P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532aca成立的条件。利用这个结论得出关于a、c 的不等式，从而得出e的取值范围。（3）解析：易知A（3，2）在椭圆内， B（4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为 F（4，0） 。连 PB，PF。由椭圆的定义知：| |PBPF10，所以| | |(| |)PBPFPAPBPAPFPAPF101010，所以。由平面几何知识，| | |PAPFAF，即(| |)|minPAPBAF10，而|()()AF3420522，所以(| |)minPAPB105。点评：由 PAF 成立的条件| | |PAPFAF，再延伸到特殊情形P、A、F 共

15、线，从而得出| | |PAPFAF这一关键结论。例 4 （ 1） （06 全国 1 文，21）设 P是椭圆22211xyaa短轴的一个端点，Q为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 椭圆上的一个动点，求PQ的最大值。（2） （06 上海文， 21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆， 它的中心在原点，左焦点为(3,0)F, 右顶点为(2,0)D, 设点11,2A. 求该椭圆的标准方程；若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程

16、；过原点O的直线交椭圆于点,B C，求ABC面积的最大值。（3） （06 山东文， 21）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。()求椭圆的方程；()直线l过点 P(0,2)且与椭圆相交于A、B 两点，当 AOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程。解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y), 则 |PQ|= x2+(y1)2，又因为 Q 在椭圆上，所以， x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1 a2)y22y+1+a2，=(1a2)(y11a2)211a2+1+a2。因为 |y|

17、1,a1, 若 a2, 则|11a2|1, 当 y=11a2时, |PQ|取最大值a2a21a21，若 1a2,则当 y=1 时, |PQ|取最大值 2。（2）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距 c=3,则半短轴 b=1，又椭圆的焦点在x 轴上, 椭圆的标准方程为1422yx。设线段PA 的中点为 M(x,y) , 点 P 的坐标是 (x0,y0)，由x=210 x得x0=2x1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 42 页 - - - - - - - - - - y=2210yy0

18、=2y21由,点 P 在椭圆上 ,得1)212(4)12(22yx，线段 PA 中点 M 的轨迹方程是1)41(4)21(22yx。当直线BC 垂直于 x 轴时 ,BC=2,因此 ABC 的面积 SABC=1。当直线 BC 不垂直于 x 轴时 ,说该直线方程为y=kx, 代入1422yx, 解得 B(1422k,1422kk),C( 1422k, 1422kk)，则224114kkBC,又点 A 到直线 BC 的距离 d=2121kk， ABC 的面积 SABC=2411221kkdAB。于是 SABC=144114144222kkkkk。由1442kk 1, 得 SABC2, 其中 , 当

19、k=21时, 等号成立。SABC的最大值是2。（3）解：设椭圆方程为22221()xyabcab（）由已知得222224bcacabc222211abc所求椭圆方程为2212xy。（ ） 解 法 一 ： 由 题 意 知 直 线l的 斜 率 存 在 ， 设 直 线l的 方 程 为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 11222, (,),(,)ykxA x yB xy由22212ykxxy，消去 y 得关于 x 的方程：22(1 2)8

20、60kxkx，由直线l与椭圆相交于A、B 两点，2206424(1 2)0kk，解得232k。又由韦达定理得122122812612kxxkxxk，222121212|1|1()4ABkxxkxxx x2221162412kkk。原点O到直线l的距离221dk。2222116242 2 23|21212AOBkkSABdkk. 解法 1：对22162412kSk两边平方整理得：2422244(4)240S kSkS（*） ，0S，2222222216(4)44(24)0,402404SSSSSSS，整理得：212S。又0S，202S，从而AOBS的最大值为22S，精品资料 - - - 欢迎下载

21、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 此时代入方程（*）得42428490kk，142k。所以，所求直线方程为：14240 xy。解法 2：令223(0)mkm，则2223km。22 22 22442mSmmm当且仅当4mm即2m时，max22S，此时142k。所以，所求直线方程为14240y解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零。设直线 l 的方程为11222, (,),(,)ykxA x yB xy，则直线 l 与 x 轴的交点2(,0)Dk，由解法一知2

22、32k且122122812612kxxkxxk，解法 1：121211 2| | |22 |22AOBSODyykxkxk=12|xx22212()4xxx x2216241 2kk222 22312kk. 下同解法一 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 解法 2：AOBPOBPOASSS2112 |2xx21|xx222 22312kk。下同解法一。点评：文科06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长

23、问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型 3：证明问题和对称问题例 5 （1） （06 浙江理， 19）如图，椭圆byax2221（ab0）与过点A（2，0）B(0,1) 的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率e=23. ()求椭圆方程；()设 F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF1的中点，求证：ATM= AF1T。（2） （06 湖北理， 20）设,A B分别为椭圆22221( ,0)xya bab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP分别与椭圆相交于异

24、于,A B的点MN、，证明点B在以MN为直径的圆内。（3） （06 上海理， 20）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y2x相交于A、B 两点。求证：“如果直线l过点 T（3，0） ，那么OA OB3”是真命题；写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解析：（1） （I）过点A、B的直线方程为1.2xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 因为由题意得12112222xybyax有惟一解，即22222

25、2221()04baxa xaa b有惟一解，所以2222(44)0a bab（0ab） ，故22440.ab又因为3,2e即2223,4aba所以224.ab从而得2212,2ab故所求的椭圆方程为2221.2xy（II）由（ I）得6,2c故1266(,0),(,0),22FF从而6(1,0).4M由12112222xyyx，解得121,xx所以1(1, ).2T因为16tan1,2AFT又1tan,2TAM22tan,6TMF得2126tan116ATM61,2因此1.ATMAFT点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（2）

26、 （）依题意得a2c，ca24，解得 a2，c1，从而 b3. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 故椭圆的方程为13422yx. （）解法1：由（）得A（2，0） ，B（2，0）.设 M（x0，y0）. M 点在椭圆上， y043（4x02） . 1又点 M 异于顶点A、 B， 2x00，BMBP0，则 MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 2：由（）得A（ 2，0） ，B（2，0）.设

27、M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 2x12， 2x2b0),其 半 焦 距c=6,2222122112126 5aPFPF3 5a,b2=a2-c2=9。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 所以所求椭圆的标准方程为221459xy点 P(5,2)、F1(-6,0) 、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)x

28、yabab。由题意知，半焦距c1=6，22221122112124 5aP FP F。12 5a,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为2212016xy。点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。题型 4：知识交汇题例 7（06 辽宁 ,20 ） 已知点11(,)A x y,22(,)B xy12(0)x x是抛物线22(0)ypx p上的两个动点,O是坐标原点 ,向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为221212()()0 xyxxxyyy(I) 证明线段AB是圆C的直径 ; (II) 当圆 C的圆心到

29、直线X-2Y=0 的距离的最小值为2 55时，求 p 的值。解析： (I)证明 1: 22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOA OBOBOAOA OBOB整理得 : 0OA OB12120 xxyy设 M(x,y) 是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB即1212()()()()0 xxxxyyyy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 整理得 :221212()()0 xyxxxyyy故线段A

30、B是圆C的直径证明 2: 22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOA OBOBOAOA OBOB整理得 : 0OA OB12120 xxyy .(1) 设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)yyyyxxxxxxxx去分母得 : 1212()()()()0 xxxxyyyy点11122122(,),(,),(,)(,)x yx yxyxy满足上方程 ,展开并将 (1)代入得 : 221212()()0 xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径证明 3: 22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOA OBOBOAOA OBOB整理

31、得 : 0OA OB12120 xxyy (1) 以线段 AB 为直径的圆的方程为2222121212121()()()() 224xxyyxyxxyy展开并将 (1)代入得 : 221212()()0 xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径(II) 解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y), 则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 121222xxxyyy2211222,2(0)ypx ypxp22121224y yx xp又因

32、12120 xxyy1212xxyy22121224y yyyp12120,0 xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy yppp221(2)ypp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则22221|(2)2|2|22|555ypyxyypyppdp22|()|5yppp精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 当 y=p 时,d 有最小值

33、5p,由题设得2 555p2p. 解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y), 则121222xxxyyy2211222,2(0)ypx ypxp22121224y yx xp又因12120 xxyy1212xxyy22121224y yyyp12120,0 xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy yppp221(2)ypp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为2 55,则2m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

34、 - - - - - -第 20 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 因为 x-2y+2=0 与222ypxp无公共点 , 所以当 x-2y-2=0 与222ypxp仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0 的距离最小值为2 5522220(2)2(3)xyypxp将(2)代入 (3)得222220ypypp2244(22 )0ppp02.pp解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y), 则121222xxxyyy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则1212|() |25xxyyd2211222,2(0)ypx ypxp22121224y yx xp又因12

35、120 xxyy1212xxyy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 22121224y yyyp12120,0 xxyy2124yyp2212122221212121|()()|24 ()8|454 5yyyyyyy yp yyppdp2212(2 )44 5yyppp当122yyp时,d 有最小值5p,由题设得2 555p2p. 点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识 ,以及综合运用

36、解析几何知识解决问题的能力。例 8 （06 重庆文， 22）如图，对每个正整数n，(,)nnnA xy是抛物线24xy上的点，过焦点F的直线nFA角抛物线于另一点(,)nnnB s t。（）试证：4(1)nnx sn；（）取2nnx，并记nC为抛物线上分别以nA与nB为切点的两条切线的交点。试证：112221nnnFCFCFC；证明： （）对任意固定的1,n因为焦点 F（0,1） ，所以可设直线nnA B的方程为1,nyk x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 42 页 - -

37、- - - - - - - - 将它与抛物线方程24xy联立得 : 2440nxk x, 由一元二次方程根与系数的关系得4(1)nnx sn（）对任意固定的1,n利用导数知识易得抛物线24xy在nA处的切线的斜率,2nnAxk故24xy在nA处的切线的方程为：()2nnnxyyxx，类似地，可求得24xy在nB处的切线的方程为：()2nnnsytxs，由得：22222244nnnnnnnnxsxsxsytx，22,242nnnnnnxsxsxsxx将代入并注意4nnx s得交点nC的坐标为(,1)2nnxs由两点间的距离公式得：2222()42244nnnnnxsxsFC2224222() ,

38、422nnnnnnnxxxFCxxx现在2nnx，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：12121221121111()2()21111(222 )2()(21)(22)221.2222nnnnnnnnnFCFCFCxxxxxx点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。五思维总结1注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质；2复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题 .因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上

39、点适合的共同条件找出动点P（x，y）的纵坐精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 标 y 和横坐标x 之间的关系式，即f（x，y）=0 为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有条件，确定x，y 的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法

40、等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练。3重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量。用好函数思想方法对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。掌握坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法

41、的训练。对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。转化思想解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造

42、思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视。普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座6）函数与方程一课标要求：1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 方法是求方程近似解的常用方法。二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点

43、，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。预计 2008 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点概 念 ： 对 于 函 数)(Dxxfy， 把 使0)(xf成 立

44、的 实 数x叫 做 函 数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即： 方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。二次函数)0(2acbxaxy的零点：），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；）， 方程02cbxax有两相等实根 （二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ba上

45、的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 42 页 - - - - - - - - - - 使得0)(cf，这个c也就是方程的根。2. 二分法二分法及步骤：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数)(xf

46、的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax） ；若)(1xf)(bf0，f(x)在区间 p，q上的最大值M，最小值 m，令 x0=21(p+q)。若ab2p，则 f(p)=m，f(q)=M；若 pab2x0，则 f(ab2)=m，f(q)=M；若 x0ab2q，则 f(p)=M，f(ab2)=m；若ab2q，则 f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条

47、件。方程 f(x)=0 的两根中一根比r 大，另一根比r 小af(r)0；二次方程f(x)=0 的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb二次方程f(x)=0 在区间 (p，q)内有两根;0)(,0)(,2, 042pfaqfaqabpacb二次方程f(x)=0 在区间 (p， q)内只有一根f(p) f(q)0， 或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。四典例解析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lg x+x=3 的解所在区间为（）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+) （2）设 a 为常数，试讨论方程)lg()3

48、lg()1lg(xaxx的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lg x 与 y=- x+3的图象 ( 如图 ) 。它们的交点横坐标0 x，显然在区间(1 ，3) 内，由此可排除A， D至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较0 x与 2 的大小。当x0321321oyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 42 页 - - - - - - - - - - x=2 时， lg x=lg2 ，3- x=1。由于 lg2

49、 1，因此0 x2，从而判定0 x(2 ，3) ，故本题应选C。（2）原方程等价于xaxxxaxx)3)(1(00301即31352xxxa构造函数)31 (352xxxy和ay，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：当31a或413a时，原方程有一解；当4133a时，原方程有两解；当1a或413a时，原方程无解。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x+x=3 解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0 x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例2 （2005 广东19）设

50、函数( )f x在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间0，7上，只有(1)(3)0ff。（）试判断函数( )yf x的奇偶性；（）试求方程( )f x=0在闭区间 2005，2005上的根的个数， 并证明你的结论。解析：由f(2x)=f(2+x),f(7x)=f(7+x)得函数)(xfy的对称轴为72xx和, 从而知函数)(xfy不是奇函数 , 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfXY12341234025xay精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名