微分中值定理的另类证明与推广_王家军.docx

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1、 第 24 卷第 3 期 大 学 数 学 Vol.24, NQ.3 2008 年 6 月 COLLEGE MATHEMATICS Jun.2008 微分中值定理的另类证明与推广 王家军 (浙江林学院理学院，浙江临安 311300) 摘要 通常教科书中，微分中值定理的证明建立在罗尔 （ Rolle)定理之上 .本文以实数连续性中的重 要定理 区间套定理为依据，给出了拉格朗口微分中值定理的另类证明 .此外，还给出了中值定理的若干推 广形式 . 关键词 微分中值定理；区间套定理；连续；可导 中图分类号 0 1 7 1 文献标识码 C 文章编号 1672-1454(2008)03-0169-03 微分

2、中值定理是微积分学的重要结论之一 .它不仅沟通了函数与其导数的关系，也是微分学理论应 用的桥梁与基石 . 在通常教科书中，微分中值定理的证明建立在罗尔 （ Rolle)定理之上，而罗尔定理则以 “ 可导函数在 极值点处的导数是零 ” 为基础 1 2.由于事实上 “ 导数为零的点未必是极值点 ” ，因而该证明显得有点 “ 美 中不足本文以实数连续性描述中的重要定理 区间套定理为依据，给出了拉格朗日 （ Lagrange)微 分中值定理的另类证明 .这不仅避开了上述的 “ 不足 ” ，也将实数定理与微分中值定理建立了联系 .这无 疑对数学分析有关内容的学习和掌握是有益的 . 1 微分中值定理及其证

3、明 为方便讨论，我们先给出如下的结果： 引理设非零函数 /(x)在 a， 句上连续，且 /(a )=/(办 )，则存在 4(3 q a， 勿，使得 a= y (b a ), 且 / (a)=/(3). 证令 Hx): x -h (b a ) 由题设与连续函数的运算性质， 9(x)在 9(a) 9 g-rb a, a r ( ba) /(x)， x G 上连续，且 /(a)= a, a r b b r a arb r 2 J q-b 2 2 (b a.) 2 b a f (a), ba bu 2 =/()-/ 2 = (P(a). 从而由连续函数的零点定理知，存在 a r b ，使得 收稿 口期

4、 2006-06-26 170 大学数学 第 24 卷 9(5)=/ ： s (b a ) f ( ) = 0 . 特另 ll.令 a= (3= 5十士 (6 a )，即有 /(a)=/(3), (3 a=(ZJ a). 当然，假如 /C6)= a+Z? ， 则 可 改 为 或 OF g-b 了 . 定理 1 ( Lagrange) 设 / ( x)在 a， 上连续，在 6)内可导，则存在 ( a， 6)， 使得 /( b ) f (a )= f () (b a ) . (1) 证令 ) Xx， x a， 6，其中 1=卞 由题设可知 F(x )在 1， 满足 +1? P+l 9 = (b a

5、 )0, n 且 f (fi? ) f( n) (n 由区间套定理知，存在 qa， 6， Hl， 并使得 n . Yl CO Yl CO 借鉴引理开头的证明可知 F (ft,) FU,)介于 F(g) FU,)与 Wft,) F(g)之间，故知 /(iy=Ul)必 介于与 /(% = ( g)之间 .根据定理条件及导数定义，有 lim C ( X n - p/7 从而有 lim/(iy /u,) ， （ g). pw n 注意到证明开头的假设及上述区间套的造法过程，有 f ( b ) f ( a ) 及 三 f (氐 ）一 ,( ) /?1 b a (3 a , , 第 3 期 王家军：微分中

6、值定理的另类证明与推广 171 故得入 =/(1=f(flf)=/(g)， 代入 （ 1)即得所证 . 2 微分中值定理的推广 微分中值定理要求函数 /(x)在 仏別上连续，在 (， 6)内可导，这是较强的条件，但实际上可以推广 如下3. 推论 1 设 /(x)在 ，上连续，在 (， 6)内除有限个点之外可导，则存在 (， 6)，使得 I/(6) /(a)K/G)l (6 a). (2) 证不妨设 / (x)仅在点 c6 (， 6)不可导，则分别在区间 a， c及 c， 句上运用定理 1，得到 f ( c )f (a ) = f 丨 d ) ( ca G (a, c), /( b ) f (c

7、 ) = f r (2 ) ( b c ) % G (c, b ) . 耳又 l/e)l =max I/% )l， )l ， 即得所证 . 推论 2 设 /(x)在 a， 6上连续，在 (a， Z?)内除 个点之外可导，则存在 /2+1个点 d 1 ,（ % ,且 f ( b ) f ( a )= ai/ (i )+2/(%.) ( b a ). 将此结果推广到 个不可导点分成的 + 1个小区间上，即得所证 . 参考文献 1J 刘玉琏，等 .数学分析讲义 (上册 ） (第四版 )M.北京：高等教育出版社 ,2003. 2 谢惠民，等 .数学分析习题课讲义 (上册 ） (第一版 ） Mj .北京

8、：高等教育出版社， 2003. 3 汪林，等 .数学分析问题研宄与评注 (第一版 ） Mj .北京：科学出版社， 1995. The Different Proof and Spread of the Mean Value Theorem WA N G J i a juri (School of Sciences Zhejiang Forestry University, Lin an Zhejiang 311300， China) Abstract： In the general textbooks, the proof of the differential mean value theo

9、rem is built on the Rolle5 Theorem. This paper is based on the Theorem of which is very important in the continuity of the system of real numbers. Also it gives a different way of proving the Lagrange Mean Value Theorem. Besides it draws several generalizing forms of the Mean Value Theorem. Key words： the mean value theorem； theorem of nested intervals； continuity； differentiable