微分中值定理的另类证明与应用_王秀玲.docx

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1、 2010年 11月 第 16卷第 4期 安庆师范学院学报 (自然科学版 ） Journal of Anqing Teachers CollegeCNatural Science Edition) Nov. 2010 Vol.16 No. 4 微分中值定理的另类证明与应用 王 秀 玲 (宿迁高等师范学校数学系，江苏宿迁 223800) 摘要：在通常的数学分析教材中，微分中值定理的证明是通过构造辅助函数，在罗尔中值定理的基础上证明的。 受到 Darboux定理的证明方法的启发，本文给出了构造另类辅助函数，用罗尔中值定理证明微分中值定理的新方法， 并介绍了微分中值定理在解决数学问题中的广泛用。 关

2、键词：微分中值定理； Darboux定理；辅助函数 中图分类号： 0172.1 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1007 4260(2010)04 0093 03 0引 B 微分中值定理建立了导数与函数之间的联系，是应用导数的局部性质研宄函数整体性质的重要工 具，是微积分理论应用的桥梁与基石。在通常数学分析教材中，微分中值定理的证明建立在罗尔 (Rolle冲值定理基础之上，而罗尔中值定理则以费马 （ Femart)定理为基础，因此，从这个意义上讲，费 马定理是微分中值定理的基础，有的教材亦把它与罗尔中值定理、拉格朗日 （ Lagrange)中值定理、柯西 (Cauchy)中值定理一起统称为

3、“ 微分中值定理 ” 。在微积分学里，关于拉格朗日中值定理和柯西中值定 理的证明，除了教材上给出的证明方法外，不少文献也分别介绍了从不同角度进行研宄，通过构造辅助 函数，应用罗尔中值定理或是其他途径 1_3进行证明。鉴于费马定理和罗尔中值定理的重要性，受到 Darboux定理的证明方法 的启发，本文给出了构造另类辅助函数，应用罗尔中值定理证明微分中值定理 的新方法，并介绍了微分中值定理在解决数学问题中的广泛应用。 1拉格朗日中值定理与柯西中值定理 拉格朗日中值定理设函数 /(x)满足下列条件： （ l)/(x)在闭区间 仏勿上连续； （ 2)/(x)在开区 间 a， 6内可导，则在 (a， /

4、)内至少有一点使得 /($) = H(a)。 柯西中值定理设函数 /(x)与 g(x)满足下列条件： （ 1)在闭区间 ， 6上连续； （ 2)在开区间 (a， &)内可导，且任意 x 6 (a， &)， 有 g(x) #0,则在 (a， 6)内至少有一点 使得 ，造 =77 g gw) gKa) 2微分中值定理的证明方法 在给出新的证明方法之前，我们先给出 Darboux定理的证明。 Darboux定理若函数 /(x)在区间 a， 勿上处处可导 (端点指单侧导数 )/a)， 使得 /($) = c。 文献 4给出了 Darboux定理的一种证明方法。从 Darboux定理的证明可以看出，上述

5、问题可归结 为函数 /(X) c； 的零点问题，而该问题最终归结为函数 FU) = /(x) cx的导函数方程 FU) = 0的 解的存在性问题 (费马定理）。 现在回到拉格朗日中值定理的证明来。通常数学分析教材采用的是利用几何直观，构造辅助函数 * * 收稿 H 期： 2010 04 07 作者简介：王秀玲，女，山东临沂人，宿迁高等师范学校教师，硕上，从事数学分析教学和多目标规划的研宄。 。 94 。 安庆师范学院学报（自然科学版 ) 2010 年 F (x ) = /00 /0) /(1 = (“ ） (1 )，转化为应用罗尔中值定理的方法。下面从分析的角度来考 虑这个定理。要证明 /(?

6、) = ,H。 )， 即 f - f ( b ) b Z f a (a) = ,问题归结为函数 的零点问题，它又是函数 cp(x) = f ( x ) -f ( b ) f ( a ) x 的导函数方程 T (x ) = 0的解 b a b a 的存在性问题。受到 Darboux定理的证明方法的启发，我们给出拉格朗日中值定理的另外一种证明。 证明 作辅助函数 T(x ) = / (X ) f ( b ) b Z f a (a ， x E 6，则 T(x )在闭区间 6上连续，在 开区间（ ,6)内可导，且 TO) = T ）。由罗尔中值定理，至少存在一点 5 e 使得 ？ （？） = ,亦即

7、/(） = i)。从 Darboux定理的证明可以看出，上述问题可归结为函数 /(x ) c的零点问题， 而该问题最终归结为函数 F(x)的导函数方程 F(x) = 0的解的存在性问题 (费马定理）。 现在回到拉格朗日中值定理的证明来。通常数学分析教材采用的是利用几何直观，构造辅助函数 F (x ) = f (x ) f (a ) ( ？ ;(“) (x 一 o )， 转化为应用罗尔中值定理的方法。要证明/(?)= /(弋一 /(“) ，即， $) 一 /(弋一 /(“ ） = , 问 题 归 结 为 函 数 / 的零点问题，它又是函 数 nx) = f (x)- f ( b ) ,f(a)x

8、的导函数方程 T(x) = 0的解的存在性问题。 J b a 拉格朗日中值定理的证明 作辅助函数 T(x) = f ( x ) - f ( b ) b Z f a ( a ) x ， x ，纠，则？ (;0在闭 区间 仏纠上连续，在开区间 (， 6)内可导，且 T= T ） 。由罗尔中值定理，至少存在一点 5 E (， 6 )， 使得 cp(5) = ,亦即 /(5) = f f、 a ) 。 Jb a 注 令 y(x) = /(X) (X )，应用上述方法可证明柯西中值定理。 b a 下面再给出用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理的另外一种方法。 证明 K = f (“ ） ，则 /(办 ）

9、/(“ ） =尤 “ ），或 /(办 ） Kb =/() 。作辅助函 数 T(x) = /(X) 尤 x， x E ，则 TOc)满足罗尔中值定理的三个条件，从而结论成立。 注 令 T(x) = /(x) 尤 g(x)， 应用上述方法可证明柯西中值定理。 3 微分中值定理的应用 微分中值定理在微积分学中的地位是不容置否的，且在解题中的应用也十分广泛。以下通过几个实 例介绍微分中值定理在解决数学问题中的广泛应用。 3.1关于根的存在性问题 例 1 设函数 /(X )在 (一 &3,十 &3)可导，且 lim /(X ) = lim /(X )， 则在 (一 &3,十 &3)内至少存在 一点 c，

10、 使得 /(c) = 0。 分析讨论根的存在性，可以考虑零点定理、罗尔中值定理或拉格朗日中值定理。本题是罗尔中值 定理的推广，可以归结为罗尔中值定理。 证明分三种情况讨论： (1) 若 lm/(x)= 1IJI/(X)= /，其中 /是一有限数。若 /(X)三 /，结论显然成立。下面假设 /(X)三 / 不成立 ，则 存在 x E ( &3， + &3)，使 /(x ) # /。不妨设 /(x ) /。由 1 lim /(X ) = 1 /(X ) = /，据 极限的保号性，存在 Xl， X2 E ( &3， + &3): XI X。 12,使 /(XI ) /(X。 ） 与 /(X2 ) /

11、(X。），在 ;n， x2上考 第 4期 王秀玲：微分中值定理的另类证明与应用 95 M= 1/(0)屮 1/(0)，有 /C4)/(0)与 /(一 )/(0)，在 一儿冽上考虑费马定理即可。 (3 )类似于 (2 )， 可讨论 lim /(X ) = lim /(X ) = &3的情形。 X cxT 例 2 设函数 /(X )在 (0, +CO)可导，在 0, +CO)连续， /(0)= 1，且对一切 X E 0, +CO)有 l/(x ) k e % 则存在 x。 e (0， + &3)，使 / (X。 ） = e x 。 分析此问题可归结为函数 /(xQ) + ei = 0的解的存在性问

12、题。注意到 /(X) 的导数为 /(x) + ei， 由 Darboux定理的证明过程可以看出，本题用费马定理来证明极值问题。 证明 作辅助函数 g(X) = /(X) e % x e , + c )， 则对一切 x e , + c )， 有 g (X ) = / (X ) e x 0,存在 d xi，当 ;c d 时有 I g (x ) 1儿使得 g (xi ) g (X2 )。由于 g(x)在 0, X2连续，因此在闭区间 0, X2 上可取最小值，即存在 x。 E 0, X2，使得 g(x ) = g(x )。特别地， g(x ) g(xi ) 0 = g(0)， 因 此必有 x。 #

13、0, x。 #幻。因此 x。 E 0, x2。由费马定理， g (x。） = 0。 3.2 关于函数一致连续性问题 例 3 若函数 /(X)在 0, + &3)可导，且对一切 x e 0, + CO)， 有 l/(x) lM，其中 M是正常 数，则 /(X )在0, + c ) 致连续。 分析讨论函数的一致连续性，可考虑一致连续性定理。注意到题中导数条件，考虑微分中值定理。 证明 任意 e 0,存在 S=1 ,任意 xi， X2 E 0， + &3): Ixi X2 1 有 l/(Xl ) /(X2 ) 在 X!与 X2之间使用拉格朗 H中值定理 I / (5) I。 I XI X2 M I

14、xi X2 M S= M M + 1 &其中 $介于 Xl与 X2之间。 微分中值定理的应用非常广泛，有关这方面的研究引起了很多学者的极大兴趣 2_71。 通过对微分 中值定理的研究，提高了发散思维能力和创新能力，加深了对微分中值定理的理解，有助于学生更好地 掌握该定理的解题应用。 参考文献： 1 王加军 .微分中值定理的另类证明与推广 J.大学数学 ,2008,24(3 ):169 171. 2 倪培溉，尚洁 .推广形式的 Lagrange中值定理及其应用 J.大学数学， 2008,24(5), 172 175. 3 刘章辉 微分中值定理及 1、 V:用 J 山西大同大学学报， 2007,2

15、3(2):79 81. 4 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 M 北京：高等教育出版社， 1998: 160. 5 华东师范大学数学系 .数学分析 M.北京：高等教育出版社 ,2001. 6 孙学敏 .微分中值定理的 1、 V:用 J.数学教学研宄， 2009,28(10):61 63. 7 宋振云，陈少先，涂琼霞 .微分中值定理证明中辅助函数的构造 J.高师理科学刊， 2009, 29(2):11 13. The Different Proofs of the Differential Mean Value Theorem and Its Application WANG Xiu-ling

16、 (Department of Mathematics, Suqian Higher Normal School, Suqian 223800， China) Abstract： In the general mathematical analysis textbooks, the proof of the differential mean value theorem is built on the Rolle s theorem by means of constructing an auxiliary function. Inspired by the proof of Darboux

17、Theorem， this paper gives two new ways to prove the Lagrange Mean Value and the Cauchy Mean Value Theorem where two different auxiliary functions are constructed and the Rolle5 s theorem is applied. Furthermore one introduces some application of the differential mean value theorems in solving mathematical problems. Key words： differential mean value theorem, Darboux theorem, auxiliary function