清华复变函数复数与扩充复平面课件.ppt

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1、u 教材教材: 复变函数引论复变函数引论，晏平，清华大学，晏平，清华大学 出版社。出版社。u 参考书目参考书目:1. 复变函数复变函数西安交通大学高等数学教西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社。研室编，高等教育出版社。2. 复变函数论复变函数论钟玉泉，高等教育出版钟玉泉，高等教育出版社。社。 3. 新编复变函数题解新编复变函数题解孙清华、赵德修，孙清华、赵德修， 华中科技大学出版社。华中科技大学出版社。u考核方式考核方式 作业作业 20% ， 课堂小测验课堂小测验 20% ， 期末考试期末考试 60%u答疑答疑 时间：每周六下午时间：每周六下午1:30-3:30 地点：数学系荷二办公室

2、地点：数学系荷二办公室219u收发作业收发作业每周课后交上周作业，每周课后交上周作业， 助教批改助教批改1/3的作业，的作业， 补交作业不批改补交作业不批改u助教助教: 曹佩曹佩: 洪文益洪文益: 周彪周彪 : 第一章第一章 复数与扩充复平面复数与扩充复平面1. 复数及其代数运算复数及其代数运算 复数21x 2 i i1, i1 . 引入虚数单位 ， 规定 , i ,x yzxy 复数: Re ,xz实部: Im ,yz虚部: i .zxy共轭复数: 2 i1. 复数的四则运算: 同多项式运算,并将用代替 111222i, i,zxyzxy 121212()i(), zzxxyy 121212

3、1221()i(), z zx xy yx yx y 112122112222222222i.zx xy yx yx yzxyxy 复数的运算性质:12211 ,zzzz） 交换律: 1231232()(), zzzzzz）结合律: 12312133 (), z zzz zz z）分配律: 1112121212224 , , ,zzzzzzz zz zzz）5 , zz）226 (Re )(Im ) , zzzz）7 2Re , 2Im . zzz zzz）2. 复数的几何表示与复平面复数的几何表示与复平面O( , )P x yizxy zryx 复数与复平面 i ( , )zxyx y 复数

4、的模与辐角22: zrxy模2Re, Im,zzzz zzz : Arg ()z辐角多值0 : arg (,z 辐角主值 Argarg2,.zzkk 平行四边形法则与三角不等式Oxy1z2z12zzOxy1z2z12zz2zOxy1z2z12zz12zz1212 zzzz1212 zzzz222222, ,0, 2().a b cabbccaabc已知证明例. 123i ,i ,i ,zab zbc zca令证明：则 123()i().zzzabcabc123123 ,zzzzzz由三角不等式得2222222().abbccaabc即2112121220,.zz zzzzzz若则例为负数.22

5、1212,zzzz由已知条件有证明：即12121212()()()().zzzzzzzz1212 0.z zz z展开得111222220,0.zzz zz zzz因两边同除以,得21112220,.zzzzzz又所以为纯虚数,从而为负数 复数的各种表示式O( , )P x yizxy zryxsin ,cos .xryr izxy代数表示式: (cosisin )zr三角表示式:i exp(i )zrer指数表示式: i exp(i )cosisin .e其中3. 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 复数乘法、除法的几何意义 (cosisin)1,2kkkkzrk, 121 211221 21

6、2121212(cosisin)(cosisin) (coscossinsin) i(cossinsincos)z zrrrr 1 21212cos()isin()rr12121212, Arg()Arg()Arg().z zzzz zzz121220,zzzzz若则于是11121222, Arg()Arg()Arg(),zzzzzzzz12121212, Arg()Arg()Arg().z zzzz zzz11112222 , Arg()Arg()Arg().zzzzzzzz即11212122iiii()i()11121 2i22, .rerrer err eer er 复数的乘幂1 , D

7、ef . nnnzz zzzz , , Prop.,.nnmn mn mmzzznzzzm ii.nnnrer en个 复数的方根 ,0,De f . .nnnnwzwznwz若则称 为 的 次方根,记作ii,zrewe记则 iinnnwzere, 2, .nr nkk12, , .nkrkn122cosisin, .nkkwrknninwren有且仅有 个相异的根122cosisin, 0,1,2,1.nkkkwrnnkn122 cosisin, 0,1,2,1.nnnnznkkzrnnkn次方根为多值函数,它：有 个分支即4. 无穷远点、扩充复平面与复球面无穷远点、扩充复平面与复球面Oxy

8、zPNS NPz 除去北极点外，复球面 上的点 与复平面上的点一一对应。 PNz 当时，。 引入无穷远点 。 复平面并上无穷远点称为扩充复平面。 扩充复平面与复球面上的点一一对应。Remark :关于 的几点说明.复平面上每条直线都通过点.没有一个半平面包含点zxyONSl0,0,;0运算无意义(,0,;aaaaa 但可为0)时0(,;bbb 但可为 )时. 的实部、虚部及辐角都没有意义,5. 区域区域nn 考虑中的点集。以表示中距离。00 :zzzz 称为 的邻域一个邻域。,: .zRRz 扩充复平面上 的邻域: 扩充复平面上 的去心邻域: 例zxyOSNPzC01o1yx000zGGzzG

9、 设,若 包含 的一个邻域,则称 为 的一内点个内点。2 (0,:1)区间是 中开集例,但它不是中开集。GG 中每一点都是内点，则称开集为开集。D称 为区域，若它满足以下两区域 个条件： ,DPDPDPDDDD设 为区域，但 的任意小邻域内都包含 中的点，则称 为 的边界点。 的所有边界点组成 的边界 ，记为边界。 DDDD设 为闭区域 区域，称为 闭区域。1) D 是开集； 2) DDD是连通的，即 中任意两点都可以用完全属于 的一条折线连接起来。 例：开区域闭区域 没有重点的连简单曲线续曲线。 起点与终点重合的简简单闭曲线单曲线。边界简单、不闭不简单、不闭不简单、闭简单、闭 例：,BBBB

10、B 设 为上区域，若 中任意一条简单闭曲线的内部总属于则称为单连通区域，单连通区域与多连通区域否则称 为多平面连通区域。单连通区域多连通区域例6. 复数关于圆周的对称点复数关于圆周的对称点2CA PPCPP Def. AP AP.rAr 设 为以点 为圆心,以 为半径的圆周.称两点与 关于圆周 对称,若 与 位于以圆心 为起点的射线上,且PA PTrCA C. 规定 与圆心 关于圆周 对称12012C: Thm. ,C.zzzzrz z点 与 关于圆周对称经过的任何圆周 与 正交精品课件！精品课件！ i0 .zrezw求点关于圆周=1的对称点例00, 11 1. , w zwzr解 一方面,由两点关于圆周对称的定义 有：0.wzO另一方面, 与 位于以原点 为起点的同一条射线上,因为有相同的辐角故 ii111.werrez