第四章-平面弯曲课件.ppt

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1、剪力剪力弯矩弯矩按正按正方向方向假设假设)0(axxRMRQAA)()(lxaxlRMRQBB例：已知：例：已知：P=24kN，F=12kN，q=6kN/m， MO=12kNm。作出剪力图和弯矩作出剪力图和弯矩图。图。解：解：(1)(1)求支座反力求支座反力 (2)剪力图和弯剪力图和弯矩图大致形状分析矩图大致形状分析 (3)计算剪力和计算剪力和弯矩值弯矩值RB=34 kN，RA=26 kNMC=26 kNmkNQC26kNQC22426QD=2 kN DMDM=28kNm=28-12=16kNmMB=-24 kNmkNQB22kNQB12 中性层的存在性：每一纵向中性层的存在性：每一纵向纤维层

2、由直变弯，靠近上方纤维层由直变弯，靠近上方的纤维层受压，下方的纤维的纤维层受压，下方的纤维层受拉，中间某处存在一层层受拉，中间某处存在一层既不受拉也不受压的纤维层，既不受拉也不受压的纤维层，这一层叫中性层，中性层与这一层叫中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴。轴横截面的交线叫中性轴。轴线：中性层与纵向对称面的线：中性层与纵向对称面的交线。交线。平面假设：横截面变形后平面假设：横截面变形后仍保持平面，但绕自身的仍保持平面，但绕自身的中性轴偏转了一定角度，中性轴偏转了一定角度，保持与中性层垂直。保持与中性层垂直。不挤压假设：每一纵向纤维均不挤压假设：每一纵向纤维均为单向拉伸或压缩，纤维层间为单向拉

3、伸或压缩，纤维层间不存在相互的挤压。不存在相互的挤压。任一纤维层的变形计算：任一纤维层的变形计算：ydddy)(绝绝 对对 变变 形：形：ydyd相对变形（应变）：相对变形（应变）：do1o2l物理关系物理关系应力和应变间的关系应力和应变间的关系 不挤压假设，每一纤维层处于简单不挤压假设，每一纤维层处于简单拉压变形，满足虎克定律：拉压变形，满足虎克定律：yEEo1o2应应力和内力间的关系力和内力间的关系 横截面上的正应力分布力系（平行力系）应为一力偶系。中性层在哪里？0AdAAAydAdAyE00中性轴通过横截面的形心中性轴通过横截面的形心AdAyM横截面上正应力的合力为截面上的弯矩。对中性轴

4、的惯性矩表示截面绕中性轴转动的难易程度，即表示了变形的刚度。轴线的曲率表示了梁的变形程度。梁弯曲变形的基本公式，表示了引起梁变形的外力及梁自身抵抗弯曲变形的能力（抗弯刚度）对弯曲变形的影响。AdAyEM2AzdAyI2zEIM1正应力计算公式：正应力计算公式：zIMy工程实用计算式：工程实用计算式：zIMy应力的性质可由应力的性质可由变形直观判断变形直观判断最大弯曲正应力：最大弯曲正应力：zIMymaxmax抗弯截面模量：抗弯截面模量：maxyIWzzzWMmax形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可直接计算出来，对于型钢可查表。直接计算出来，对于

5、型钢可查表。惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起来才有其物理意义。来才有其物理意义。上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。矩形截面：矩形截面：123bhIz惯性矩及抗弯截面模量惯性矩及抗弯截面模量实心圆截面：实心圆截面：62bhWz644DIz323DWz444416464DdDdDIz43132DdDWz圆环形圆环形38DIz24DWz薄壁圆筒薄壁圆筒4.3.3弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件maxmaxzW

6、M强度条件式强度条件式(等截面等截面)：许用弯曲应力与简单拉许用弯曲应力与简单拉(压压)的许用应力意的许用应力意义相同；义相同；考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲应力的值可取较大的值，或说弯曲安全系数应力的值可取较大的值，或说弯曲安全系数可取较小的值；可取较小的值；强度条件式可解决三方面的问题。强度条件式可解决三方面的问题。例：图示简支梁例：图示简支梁AB，试，试求：求： (1)最大弯曲正应力及最大弯曲正应力及其所在位置；其所在位置； (2)在在D、E两点的弯两点的弯曲正应力。曲正应力。 解：解：（1）作出剪力图作出剪力图和弯矩图，求出最大弯矩和弯矩图，求

7、出最大弯矩值；计算抗弯截面模量值；计算抗弯截面模量（找出中性轴），计算最（找出中性轴），计算最大弯曲正应力。大弯曲正应力。 （2）计算）计算D、E两点两点所在截面的弯矩值，按照所在截面的弯矩值，按照D、E两点各自离中性轴的距离，两点各自离中性轴的距离，计算出其弯曲正应力的值计算出其弯曲正应力的值 ，并判断出其应力的性质并判断出其应力的性质（拉应力或压应力）。（拉应力或压应力）。 4.4平面弯曲的变形计算4.4.l梁弯曲变形的度梁弯曲变形的度量量挠度和转角挠度和转角 挠度和转角是控制梁挠度和转角是控制梁弯曲变形的宏观量弯曲变形的宏观量 挠曲线可以表示挠度挠曲线可以表示挠度和转角：横截面转角和转角

8、：横截面转角与挠曲线上相应点的与挠曲线上相应点的切线转角相同。小变切线转角相同。小变形情况下，转角可以形情况下，转角可以用挠曲线的斜率表示。用挠曲线的斜率表示。 y=f(x) dxdytan， 挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度，挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度，加上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的加上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的挠度和转角。因此，梁弯曲变形的基本方程是挠度和转角。因此，梁弯曲变形的基本方程是梁弯曲变形的微分方程。梁弯曲变形的微分方程。4.4.2挠曲线近似微分方程及两次积分法挠曲线近似微分方程及两次积分法EIxMx)()(1梁弯曲变形的基本方程：梁弯曲变形

9、的基本方程：注：为书写简单起见，将惯注：为书写简单起见，将惯性矩的下标略去。性矩的下标略去。曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：232221)(1dxdydxydx22)(1dxydx小变形二阶导数与弯矩的符号关系：二阶导数与弯矩的符号关系：EIxMdxyd)(22解此挠曲线微分方程，解此挠曲线微分方程，加上边界条件，即可得加上边界条件，即可得到梁挠曲线上各点的转到梁挠曲线上各点的转角和挠度，即转角方程角和挠度，即转角方程和挠度（挠曲线）方程。和挠度（挠曲线）方程。挠曲线微分方程：挠曲线微分方程：例：导出悬臂梁受集中例：导出悬臂梁受集中力作用的转角方程和挠力作用的转

10、角方程和挠度方程。设度方程。设 EI为常量。为常量。解：建立坐标系，写出解：建立坐标系，写出弯矩方程；弯矩方程；)2(2)(xLEIPxdxdyx)3(6)(2xLEIPxxy 两次积分得出转角方程和挠度方程的通用两次积分得出转角方程和挠度方程的通用式；式； 考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度方程：方程：EIPL22maxEIPLy33max例例 试求图示悬臂梁自由端的挠度和转角。设抗弯刚度EI为常量。 解：P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的挠度和转角，可看作P1和P2单独作用下产生的变形的代数和。 EIdxqxd22dxxlxEIqdxlEIdxqxdy

11、)3(6)(3323解：将均布载荷设想为由无数个微元力qdx组成的，则每一个微元力qdx在梁自由端产生的微小转角和挠度：， EIqly84maxEIql63max4.4.4 梁的刚度条件梁的刚度条件刚度条件：将最大变形限制在一定范围内的刚度条件：将最大变形限制在一定范围内的条件，即条件，即 ymaxy max 许可挠度许可挠度y和许可转角和许可转角由构件的具体工由构件的具体工作要求来确定。化学工业中作要求来确定。化学工业中y和和的值经的值经常取决于生产工艺要求。如，一般塔设备塔常取决于生产工艺要求。如，一般塔设备塔顶自由端的许可挠度可取塔高的顶自由端的许可挠度可取塔高的1/5001/1000,

12、具体值可由塔工艺要求来确定。具体值可由塔工艺要求来确定。 4.5简单超静定梁的求解例：求图示超静定梁的约束反力。 静定基变形图 解：法：解除支座B，形成静定基，变形协调方程 ：y1+y2=0 EIqly841EIlRyB332， 83qlRBEIql84033EIlRB85qlRA82qlMA 法：解除转角约束，形成静定基，变形协调方程 ：120 静定基变形图EJql2431EJlMA3282qlMA4.6 压杆稳定性简介压杆稳定性简介4.6.1压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 压杆的稳定性分析：压杆的稳定性分析：外加力有利于弯曲变形的继续发展；杆自身具有抵抗弯曲变形的能力（抗弯刚度）。压杆是

13、否稳定取决于杆自身抵抗弯曲变形的能力与外力使杆发生弯曲变形的能力的较量。 临界压力临界压力 ：弯曲变形既不消失也不扩大（临界状态）时的压力。临界压力的大小表示了压杆稳定性的高低，是表示压杆稳定性的重要参数。 4.6.2提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施1）提高压杆的抗弯刚度）提高压杆的抗弯刚度EI：钢材的E值差别不大，截面的惯性矩的影响很大。压杆的弯曲方向不定，故压杆的合理截面形状为对称截面，如圆形或正方形。2）加强压杆所受的约束。）加强压杆所受的约束。 3）减小压杆的长度。）减小压杆的长度。 4.7 弯曲和拉（压）的组合变形基本概念：横截面上的内力有轴力、弯矩（剪力）。基本方法：进行受

14、力分析，用截面法计算横截面上的内力，求出将各自的内力对应的应力，然后叠加。轴力对应截面上均布的正应力，弯矩对应截面上线性分布的应力，叠加后得到截面上最大的拉应力或压应力，进而建立强度条件，进行各种计算。例：偏心拉伸，塔受风载及重力的作用,卧式容器受内压及重力的作用.24pDF4pD22812221qLaLqLqaLa207. 038DI 24DW 图图示超静定梁采用工字钢，已知：示超静定梁采用工字钢，已知：F=10kN，a=2m，许用弯曲应力，许用弯曲应力=120MPa，工字钢的弹性模量，工字钢的弹性模量E=2105MPa。试确定工字钢的型。试确定工字钢的型号。若将号。若将B处支座去掉，试问已确定处支座去掉，试问已确定的工字钢型号能否满足此时的强度的工字钢型号能否满足此时的强度要求？要求？