复变函数与积分变换第一章习题课讲义课件.ppt

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1、第一章 知识点总结1.复数是指形如 的数,实部记为 , 虚部记为 .2. 模: 辐角: 辐角主值:xz Rezxiyyz Im22yxzrkzArgz2arg zarg 0, 00, 0arctan0, 020arctanargyxyxxyyxxxyz 3.令有如下一些常用的不等式: zx iyxzzy 2121zzzz2121zzzz4.4.表示表示 (3)(3)三角表示三角表示: : (4)(4)指数表示指数表示: : (5) (5)代数表示代数表示: : )sin(cos)sin(cosirizzirez zxiy5.5.运算运算 1)1)相等相等; ; 2) 2)四则运算四则运算, ,

2、及运算规律及运算规律; ; 3) 3)共轭运算共轭运算, ,及运算规律及运算规律; ; 4) 4) 5) 5) )sin()cos(21212121 irrzz1211121222()12cos()sin()izrizrrer 6)方根运算: nkinknkerzw2)(12 , 1 , 0nkzn6. 实变复值函数实变复值函数 : 复变函数复变函数: )()()(tiytxtz),(),()(yxivyxuzfw7. 复变函数导数与微分8. C-R(Cauchy-Riemann)条件条件 0000( )()()limzzf zf zfzzzdzzfdw)(0,uvvuxyxy 9.可导的充要

3、条件可导的充要条件:函数 在区域 内一点 处可导的充分必要条件是： 在点 处可微、且满足C-R条件. 10. 可写成以下四种形式： ),(),()(yxivyxuzfEiyxz),(),(yxvyxu),(yx)(zf yuiyvxvixuzf)(xviyvyuixu11.解析与奇点解析与奇点 1)定义:如果函数 在 的某一邻域内处处可导，则称 在 处解析；如果 在区域 内每一点解析，则称 在 内解析，或称 是 内的一个解析函数 不解析的点就称为是奇点。 )(zf0z)(zf0z)(zfE)(zfE)(zfE 2)函数在区域内解析与它在这一区域可导是等价的3）解析一定可导，但可导不一定解析。1

4、) 定义: 2) 性质: 1. 在复平面内处处解析； 2. ； 3. ； )sin(cosexpyiyeezxzexpzzezzexp)(exp0ze12. 指数函数指数函数13. 三角函数三角函数 1）定义：2）性质： 在复平面内是解析的，且 ， sin,cos22izizizizeeeezzizzcos)(sinzzsin)(cos14. 对数函数对数函数 lnwLnzziArgz15. 乘幂乘幂 定义: 注: 1.由于 是多值的，因而一般来讲 也是多值的定义中的 如果取主值 ，所得结果 称为的 主值 2 .当 是特殊的 或 时, 就是我们所熟悉的幂函数 或 .21zz1221Lnzzze

5、z1Lnz21zz1Lnz1ln z12ln zze21zz2znn1nznz第一章 习题课;1311. 155iiizzP）模与幅角：数、的实部与虚部、共轭复求下列复数., 1, 0,235arctan,234,2523,25Im,23Re,25231kkArgzzizzziz）解：成立。等于什么实数时，等式当iiyixyx135)3(1,. 2.111,8321,82)3(1yxyxiyix即相等的概念，有根据复数原式等价于解：;11)5; 31 )3;51. 3iiii）和指数式：将下列复数化为三角式;)2sin()2cos()5;2)3sin()3cos(2)3;5)2sin()2co

6、s(51232iiieizeizeiz）解：;27)2311. 5310；）（求下列各式的值：i. 3512512)32sin32(cos1024)320sin320(cos2)32sin32(cos2311101010iiiii）（解：).2321(3, 3),2321(3. 2 , 1 , 0,327)2210323iwwiwkeik；）的轨迹，并作图：指出下列各题中点1)2Re()3; 5321. 9zizz; 3)3;25)3()2(122xyx为一直线：）为一圆周：解：. 411.1222yxzz）平面上怎样的曲线？平面上的曲线映射成把下列函数.41,1222222vuivuyxyi

7、yxxz解：平面上的像。在）区域求：已知映射3arg02,.133zz.arg03arg023zzz映成将区域）映射解：的极限不存在。时，试证：当设)(0),0(),(21)(.15zfzzzzzzizf的极限不存在。时的改变而改变，因此当极限随的时，有关，即当极限值与，则的方向趋近于沿着令解：)(,0)(0,12)1 (2lim2lim0,2)(22220220,22zfzkzfzkkkxkkxyxxykxyzyxxyzfxxkxy;)()3;)(1.16222yixxyzfyixzf）处解析？下列函数何处可导？何不解析。处上可导，在复平面上处仅在）上处处不解析。上可导，在复平面仅在直线）解

8、：)0 , 0()(321)(1zfxzf;11) 3;21.1723zizz）区域，并求其导数。指出下列函数的解析性;) 1(2)( 1) 3;23)( 1222zzzfzizzf点外处处解析，除，）在整个复平面上解析解：; 0, 0; 0,)()0.18222zzyxyxzfDz点处是否解析？下列复函数在ikxxkxkxxzfzfkxyzzfzfzxz0)1 (lim0)0()(lim0,0)0()(022200时，有趋于沿直线当时，极限考察解：点不解析。点不可导，从而在在不存在，则函数时，极限当的改变而改变，从而极限随000)0()(0,)1)(1 (2zzzfzfzkkikk;) 1(11.202zzz）求下列函数的奇点：., 01izz）函数的奇点是解：);1Resin()3);(Imexpexp1.24ii）计算：; 1cosh1sin)3);1sin(sin11cose）解：; 13.25ze）求下列方程的全部解：., 1, 0,) 12() 1(3kikLnz）解：;)1)(3);43ln(),43(1.27iiiiLn）计算：);34arctan(5ln)43ln(),234arctan(5ln)43(1iikiiLn）解：;)1)(32ln)24()1(ikiiLnieei