第三章-快捷准确的几何计算课件.ppt

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1、3.1 几何计算中常用的定理与公式几何计算中常用的定理与公式 为简便起见，我们先约定三角形中一些常用符号： 在ABC中，内角A、B、C对应的边分别记为a、b、c，半周长记为p，三条中线记为ma，mb ，mc，三条高线记为ha，hb，hc，三内角平分线记为ta，tb，tc，ABC的外接圆半径记为R，内切圆半径记为r，面积记为S.3.1.1几何计算中的常用定理几何计算中的常用定理 定理定理1 （托勒密（托勒密（Ptolemy）定理）定理）圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和. 注注 本定理的证明过程给解决形如ab=cd+ef的问题提供了一个范例用类似的证法，可得到： 广义广义Ptolemy定

2、理定理：对于一般的四边形ABCD，有ABCD+ADBCACBD当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立例1 (美国) 证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数 思考：思考： 求证：锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和 若ABC为直角三角形或钝角三角形，上面的结论成立吗？ 注注 ： （1）Menelaus定理的逆命题为真，是Menelaus定理的逆定理； （2）本定理可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧氏空间中； （3）恰当选取或作出三角形的截线，是应用Menelaus定理的关键，其逆定理常用于证明三点共线问题.例例2 设四边形ABCD两组对边

3、相交于E、F，则AC、BD、EF的中点共线。 注注:此结论是一个定理，叫牛顿定理。此结论是一个定理，叫牛顿定理。 注：注： （1）Ceva定理的逆命题为真，是Ceva定理的逆定理； （2）Ceva定理可以推广到四面体中； （3）同时应用Menelaus定理和Ceva定理，是解决比较复杂的相关问题的有效途径.例例3 以ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，设L、M、N分别为DE、FG、HK的中点求证：AM、BN、CL交于一点思考：思考： 在ABC中，ABC和ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，

4、两条直线CP与BQ相交于点K求证：AKBC；定理定理4 （斯特瓦尔特（Stewart）定理）已知ABC及BC边上一点P. 求证:AB2PC+AC2BP-AP2BC=BPPCBC. 注注: （1）定理的逆命题为真，是斯特瓦尔特定理的逆定理. （2）若将BC边上的三线段看作有向线段，则不论P在直线BC上何处，此定理仍然成立. （3）由本定理易得如下推论：（4）斯特瓦尔特定理可以推广到四面体中.定理定理5 （切割线定理）（切割线定理）从圆外一点P引圆的切线,切线长PA是这点到割线与圆交点C、D的两条线段长的比例中项.即PA2 PCPD. 推论推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点

5、的两条线段的积相等. 即PAPBPCPD .PBACDPACD定理定理6 （射影定理）（射影定理） 1.直角三角形射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理） 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 2.任意三角形中的射影定理任意三角形中的射影定理（又称第一余弦定理） 设ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 （4）ab cosCc cosB； （5）bc cosAa cosC； （6）cb cosAa cosB.定理定理7 （张角定理）（张角定理）如图，设P 为ABC的BC边上的点，AB、AC

6、、AP的长分别为a、b、t，则sin()sinsintba例例4 (蝴蝶定理蝴蝶定理)AB是 O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=MQ定理定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半例5 设A1A2A3A4为 O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置定理定理9 （三角形内心性质定理三角形内心性质定理）如图，设I为ABC的内心，A的平分线与ABC的外接圆交于点P，

7、则PB=PC=PI例6 (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr3.1.2 几何计算中的常用公式几何计算中的常用公式 1. 已知三边求中线已知三边求中线 定理定理10 三角形中锐（钝）角对边的平方，等于其他两边的平方和减去（加上）这两边中一边与另一边在它上面的射影之积的两倍（这两个定理合起来相当于余弦定理） 由此，我们可以得到三角形中线的常用公式：22212()2ambca2. 已知三边求高和面积已知三边求高和面积 实际上，这个计算三角形面积的公式是我国南宋数学家秦九韶三斜求积公式（已知三边求三角形的面积）的变形. 推广：圆内接四边

8、形ABCD中，2()()()ahp papbpca1()()()2aSahp papbpc()()()()Spapbpcpd3. 已知三边求外接圆半径已知三边求外接圆半径 4已知三边求内切圆半径已知三边求内切圆半径44()()()abcabcRSp papbpc()()().Spapbpcrpp5已知三边求角平分线已知三边求角平分线 6异面直线所成的角异面直线所成的角 设AB、CD为异面直线，则它们所成的角满足2().atAVbcp pabc2222()()cos2ACBDADBCAB CD9拟柱体体积公式拟柱体体积公式 所有的顶点都在两个称为底的平行平面上的多面体，叫做拟柱体.两底间的距离叫

9、做高，与两底平行且等距的截面称为中截面.设拟柱体两底面积为S和S1，中截面面积为M，高为h，则拟柱体的体积为:1(4)6hVSMS10.球类体积球类体积210,2 .SSMR hR3224(040).63RRVR如果几何体是球体，则作业：P86 1，3，4，8，143.2 面积方法与面积计算面积方法与面积计算 3.2.1 面积概念面积概念 所谓平面多边形的面积面积，是指使每一多边形跟满足下列条件的一个量相对应： （1）两个全等的多边形有相同的面积，不论它们在空间所占的位置为何；（不变性不变性） （2）两多边形P、P之和P的面积，等于P、P面积的和.（可加性可加性）3.2.2 面积计算面积计算

10、1. 几个重要的结论几个重要的结论 （1）如图1，在ABC中，有 （2）如图2，在梯形ABCD中，有S1=S2；S1S2= S3S4. （3）如图3，四边形DEFB是平行四边形，则有S1=S2；S1S2= S3S4.12SBESCE图2图3图1 A B D C E S 1 S 2 S 3 S 4 S 4 S 3 C S 2 S 1 E O D A C F B S 2 S 1 A B D2. 常用方法常用方法 （1） 直接计算法直接计算法 根据几何图形的特点，选用有关面积公式直接进行计算.它是最基本的方法，这种方法又叫公式法运用这种方法，一般要用几何知识进行一些推理和论证，有时还涉及到代数和三角

11、的运算例例1 一个凸五边形，以每相邻三个顶点为顶点的三角形的面积都等于1，求这个五边形的面积. F E D C B A （2）相对计算法）相对计算法 不直接计算所求几何图形的面积，而是通过计算其它一些几何图形的面积，得到要求的面积这种方法叫做相对计算法相对计算法 例例2 （阿基米德问题鞋匠的刀） 过半圆ABC的直径AC上一点D引AC的垂线交半圆于B，再分别以AD、DC为直径作半圆AFD 和DHC.求证求证 SAFDHCB等于以BD为直径的圆的面积. F 图 2.36 H D C B A （3） 等积变换法等积变换法 将欲计算面积的图形，变换为另外与之等积的图形，再计算面积，叫做等积变换法 从现

12、行初中教材看，等积变换主要根据“同底等高的两个三角形等积”等定理例例3 已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、CD上的点，EFBD，SADF=5,求SABE. （4） 分割补法分割补法 它包括分割法、割补法和补充法三种基本方法 （5）定积分法）定积分法 当平面图形边界曲线较复杂时，我们可以建立直角坐标系，求出边界曲线的方程，利用定积分来计算面积 一般地讲，计算平面图形的面积常把几种方法结合起来使用举例如下：例例4 设P、Q、R、S分别是正方形ABCD各边的中点，AP、BQ、CR、DS围成一个四边形EFGH，试求四边形EFGH与正方形ABCD的面积之比H3.2.3 面积方法面积方法 所谓面

13、积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的依据，通过适当的变换，从而导出所求的量与其它相关的量之间的关系，使问题得以解决. 这里值得一提的是，有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，但若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍例例1 G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，求FG.例例2 ABC面积为1，在其内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z求ax+by+cz的值例例3 如图，设P是ABC内任一点，AD，BE，CF过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F求 .PDPEPFADBECF注注 本例的结论很重要，在处理三角形内三条本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决相关问题解决相关问题 P E D C B AF例例4 如图，已知D，E，F分别是锐角ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xyyz+zx=28，求xyz的值 P E D C B AF作业：作业：P87 10,12,16