数值分析-QR矩阵特征值和特征向量课件.ppt

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1、2022-4-20阜师院数科院12022-4-20阜师院数科院2因此有 RAHHHHnn1221 即有 QRA 其中，121nHHHQ为正交矩阵。 2022-4-20阜师院数科院3唯一性 假设矩阵 A 有两种正交三角分解，即 2211RQRQA 其中，21,QQ为正交矩阵，21,RR为上三角矩阵，且主对角元素均为正数。于是有 DRRQQT12121 2022-4-20阜师院数科院4这里，D 必是既为正交矩阵又是上三角矩阵，故 ),(diag21ndddD 且), 2 , 1( 12nidi， 因此，21DRR ， 由于21,RR对角元均为正数，故), 2 , 1( 1nidi，即有2121,Q

2、QRRID。 2022-4-20阜师院数科院52022-4-20阜师院数科院62022-4-20阜师院数科院72022-4-20阜师院数科院82022-4-20阜师院数科院97.3.3 QR算法2022-4-20阜师院数科院102022-4-20阜师院数科院112022-4-20阜师院数科院122022-4-20阜师院数科院13从10A可 以 看 出 ， 已 近 似 接 近 对 角 矩 阵 ， 即 有 特 征 值,2680. 1,0035. 3,7282. 4321与矩阵 A 的三个精确解 2679. 133, 3,7321. 433321 相比，已有良好精确度。随着迭代次数增加，nA将收敛到

3、矩阵A 的三个精确特征值。 2022-4-20阜师院数科院142022-4-20阜师院数科院151. 约化矩阵A为上Hessenberg矩阵2022-4-20阜师院数科院16算算法法 7.3.1 约化矩阵 A 为上 Hessenberg 阵。 (1) 输入：);, 2 , 1,( njiaij (2) 对2, 2 , 1nk做 1) 构造初等反射矩阵TkkkkuuIR1使;1ecRkkk ;)(sign 121121nkiikkkkaa 2022-4-20阜师院数科院172022-4-20阜师院数科院182022-4-20阜师院数科院192022-4-20阜师院数科院20n说明说明 上述算法对

4、矩阵A为实对称矩阵约化为三对角矩阵也实用，如希望减少一些工作量，则右变换只做A22RkA22，即计算 即可。),.2 , 1(njwj2022-4-20阜师院数科院212022-4-20阜师院数科院222022-4-20阜师院数科院232022-4-20阜师院数科院242022-4-20阜师院数科院252022-4-20阜师院数科院262022-4-20阜师院数科院272022-4-20阜师院数科院282022-4-20阜师院数科院292022-4-20阜师院数科院302022-4-20阜师院数科院31最后有 130685918. 5 95884478. 2 0 0707821895. 2 7

5、58202959. 5 135065348. 4 089305284. 2 91658127. 0 111111111. 5 3687046074. 2 044784103. 0 333333333. 1 522AHHA 2022-4-20阜师院数科院322. 上Hessenberg矩阵的单步QR算法2022-4-20阜师院数科院332022-4-20阜师院数科院342022-4-20阜师院数科院352022-4-20阜师院数科院362022-4-20阜师院数科院372022-4-20阜师院数科院382022-4-20阜师院数科院392022-4-20阜师院数科院401 0 0 0 22 22

6、0 22 221 0 0 0 0 ), 2 , 1 (1iiiicsscJ 1 0 0 0 22 220 22 22), 2 , 1 (1J 2022-4-20阜师院数科院412022-4-20阜师院数科院422022-4-20阜师院数科院432022-4-20阜师院数科院442022-4-20阜师院数科院45对4A进行收缩，即划去第三行，第三列得 .9987581 0.073626 0.073626 371043. 24A 取998758. 1444 a，则 0 0.073626 0.073626 369801. 444iAA 2022-4-20阜师院数科院462022-4-20阜师院数科院47*3. 上Hessenberg矩阵双步QR算法2022-4-20阜师院数科院482022-4-20阜师院数科院492022-4-20阜师院数科院502022-4-20阜师院数科院512022-4-20阜师院数科院522022-4-20阜师院数科院532022-4-20阜师院数科院54