空间向量的坐标运算PPT课件.ppt

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1、2022-4-1911 1空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 设设a a( (a a1 1，a a2 2，a a3 3) )，b b( (b b1 1，b b2 2，b b3 3) )2022-4-1922 2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式设设A A( (x x1 1，y y1 1，z z1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2，z z2 2) )，则，则ABAB ，| |ABAB| |( (x x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1，z z2 2z z1 1) )2022-4-1933. 3.若若A A、B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是A A(2cos(

2、2cos ，2sin2sin ，1) 1)， B B(3cos(3cos ，3sin3sin ，1) 1)，则，则| | |的取值范围是的取值范围是 ( () ) A.0,5 B.1,5 A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25 C.(1,5) D.1,25解析：解析： (3cos(3cos 2cos2cos ，3sin3sin 2sin2sin ，0) 0)，1cos(1cos( )1)1，| | |1,5.1,5.答案：答案：B B2022-4-194A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量

3、，则称这个向量垂直于垂直于平平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l2022-4-195垂直关系：垂直关系：2022-

4、4-196例例2 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量. 解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2平面平面 的一个法向量是的一个法向量是 (1, 2, 4),(2, 4, 3)ABAC ( , , )nx y z 00n ABn AC 且且2402430 xyzxyz (2,1,0)n 2022-4-197问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn

5、 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(2022-4-1982022-4-199问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(2022-4-1910(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面

6、的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyzxyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，）2022-4-19112022-4-1912直线直线l与平面与平面 所成的所成的角为角为( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夹角：六、夹角：2022-4-1913例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解： (1)以点A为坐标原点建立空

7、间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1),0 , 1 , 0(11CB)0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 (1ACAB设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001 ACnABn,则故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为3331010111111,cosCBnCBnCBn2022-4-1914 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABCOABC中，中，OABCOABC，AOC=90AOC=90，SOSO平面平

8、面OABCOABC，且，且OS=OC=BC=1OS=OC=BC=1，OA=2.OA=2.求求: :异面直线异面直线SASA和和OBOB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； OSOS与平面与平面SABSAB所成角所成角 的正弦值；的正弦值；A（2，0，0）；于是我们有OABCS=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），则O（0，0，0）；解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示xyzC（0，1，0）；510252OBSAOBSAOBSA,cos).1 (所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为510202

9、2-4-1915020zxyx取x=1，则y=1，z=2；故)2 , 1 , 1 (n（2）设平面SAB的法向量),(zyxn 显然有0, 0SAnABn36612,cossinnOSnOSnOS2022-4-1916ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN N|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角

10、的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB2022-4-1917ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN N)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB20

11、22-4-1918例二：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55与平面所成角的正弦值是ADANM2 552022-4-1919例例2 2090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111

12、111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F2022-4-1920 xyz解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： Cxyz11CC (1,0,0),(0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF30102022-4-19215. 5.正方体

13、正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，直线中，直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1BDBD所所成角的余弦值为成角的余弦值为. .解析：解析：如图，建立直角坐如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为标系，设正方体棱长为1 1，则则D D(0,0,0)(0,0,0)，A A1 1(1,0,1)(1,0,1)，B B(1,1,0)(1,1,0)，C C1 1(0,1,1)(0,1,1)， (1,0,1)(1,0,1)， (1,1,0)(1,1,0)， ( (1,0,1).1,0,1).设设n n( (x x，y y，z z) )为平面为平面A A1 1BDBD的

14、法向量的法向量2022-4-1922则则 取取n n(1 (1，1 1，1) 1)，设直线设直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成角为所成角为 ，则则sinsin |cos|cosn n， | | . .coscos . .答案：答案：2022-4-1923【巩固练习巩固练习】 1 1 三棱锥三棱锥P-P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E ,E为为PCPC中点中点 , ,则则PAPA与与BEBE所成角所成角的余弦值为的余弦值为_ ._ . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, A, A1

15、 1A=2, A=2, AB=AC=1, AB=AC=1, 则则ACAC1 1与截面与截面BBBB1 1CCCC1 1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_ ._ . 090BAC090BAC663 10102022-4-19242022-4-1925 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P PABCDABCD中，中，PCPC平面平面ABCDABCD，PCPC2 2，在四边，在四边形形ABCDABCD中，中，B BC C9090，ABAB4 4，CDCD1 1，点，点MM在在PBPB上，上，PBPB4 4PMPM，PBPB与平面与平面ABCDABCD成成3030的角的角. .(1)(1)求证：求证

16、：CMCM平面平面PADPAD；(2)(2)求证：平面求证：平面PABPAB平面平面PADPAD. .2022-4-1926 思路点拨思路点拨 2022-4-1927 课堂笔记课堂笔记 以以C C为坐标原点，为坐标原点，CBCB为为x x轴，轴，CDCD为为y y轴，轴，CPCP为为z z轴建立如图所示轴建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系C Cxyzxyz. .PCPC平面平面ABCDABCD，PBCPBC为为PBPB与平面与平面ABCDABCD所成的角，所成的角，PBCPBC3030. .PCPC2 2，BCBC2 2 ，PBPB4. 4.2022-4-1928D D(0,1,0)

17、(0,1,0)，B B(2 (2 ，0,0)0,0)，A A(2 (2 ，4,0)4,0)，P P(0,0,2)(0,0,2)，MM( ( ，0 0， ) )， (0 (0，1,2)1,2)， (2 (2 ，3,0)3,0)， ( ( ，0 0， ) )，2022-4-1929(1)(1)令令n n( (x x，y y，z z) )为平面为平面PADPAD的一个法向量，则的一个法向量，则令令y y2 2，得，得n n( ( ，2,1).2,1).n n 2 20 01 1 0 0，n n ，又，又CMCM 平面平面PADPAD，CMCM平面平面PAD.PAD.2022-4-1930(2)(2)

18、取取APAP的中点的中点E E，则则E( E( ，2,1)2,1)， ( ( ，2,1).2,1).PBPBABAB，BEBEPA.PA.又又 ( ( ，2,1)(2 2,1)(2 ，3,0)3,0)0 0，2022-4-1931 ，BEBEDADA，又，又PADAPADAA.A.BEBE平面平面PADPAD，又又BEBE平面平面PABPAB，平面平面PABPAB平面平面PAD.PAD.2022-4-1932小结：小结：1.异面直线所成角： coscos, CD AB|2.直线与平面所成角： sincos, n AB|ABCD1DABOn2022-4-19331. 1.若异面直线若异面直线l

19、l1 1和和l l2 2的方向向量分别为的方向向量分别为v v1 1和和v v2 2，它们所，它们所 成的角为成的角为 ，则，则coscos |cos|cosv v1 1，v v2 2|. |.2. 2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有 两种办法：两种办法：2022-4-1934分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角转化为求两个方向向量的夹角( (或其补角或其补角) )；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与

20、 平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平 面所成的角面所成的角. .2022-4-1935l lam mb，的夹角为的夹角为 ml,|cosbaba l lam mb 2022-4-1936 ul la，的夹角为的夹角为 , l|)2cos(uaua ul la sina ua u 2022-4-19375. 5.如图，在棱长为如图，在棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，MM和和N N分别是分别是A A1 1B B1 1和和BBBB1 1 的中点，那么直线的中点，那么直线AMAM

21、与与CNCN所成角的所成角的 余弦值为余弦值为. .2022-4-1938解析：解析：建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，则则A A(1,0,0)(1,0,0)，MM(1 (1， ，1) 1)，C C(0,1,0)(0,1,0)，N N(1,1(1,1， ，) )则则 (0 (0， ，1) 1)， (1,0(1,0， ). ).coscos . . 直线直线AMAM与与CNCN所成角的余弦值为所成角的余弦值为 . .答案：答案：2022-4-1939 (2009 (2009全国卷全国卷)如图，如图，直三棱柱直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABABACAC

22、，D D、E E分别为分别为AAAA1 1、B B1 1C C的中的中点，点，DEDE平面平面BCCBCC1 1. .(1)(1)证明：证明：ABABACAC；(2)(2)设二面角设二面角A ABDBDC C为为6060，求，求B B1 1C C与平面与平面BCDBCD所成的所成的角的大小角的大小. .2022-4-1940 思路点拨思路点拨 2022-4-1941 课堂笔记课堂笔记 (1)(1)证明：以证明：以A A为坐标为坐标原点，原点，ABAB为为x x轴，轴，ACAC为为y y轴，轴，AAAA1 1为为z z轴轴. .建立如图所示的直角坐标建立如图所示的直角坐标系系A Axyzxyz.

23、 .2022-4-1942设设B B(1,0,0)(1,0,0)，C C(0 (0，b, b,0) 0)，D D(0,0(0,0，c c) )，则，则B B1 1(1,0,2(1,0,2c c) )，E E( ( ， ，c c). ).于是于是 ( ( ， ，0) 0)， ( (1 1，b, b,0).0).由由DEDE平面平面BCCBCC1 1知知DEDEBCBC， 0 0，求得求得b b1 1，所以所以ABABACAC. .2022-4-1943(2)(2)设平面设平面BCDBCD的法向量的法向量 ( (x x，y y，z z) )，则则 0 0， 0. 0.又又 ( (1,1,0)1,1

24、,0)， ( (1,01,0，c c) )，故，故令令x x1 1，则，则y y1 1，z z ， (1,1(1,1， ). ).又平面又平面ABDABD的法向量的法向量 (0,1,0).(0,1,0).2022-4-1944由二面角由二面角A ABDBDC C为为6060知，知， 6060，故故 cos60cos60，求得，求得c c . .于是于是 (1,1(1,1， ) )， (1 (1，1 1， ) )，CosCos ， 6060. .所以所以B B1 1C C与平面与平面BCDBCD所成的角为所成的角为3030. .2022-4-1945解：解：由本例由本例(2)(2)知，知， (

25、(1,11,1， ) )，又又B(1,0,0)B(1,0,0)，A A1 1(0,0(0,0， ) )， ( (1,01,0， ). ). 1 1 1 1，又又| | |2 2，| | | ，coscos 异面直线异面直线B B1 1C C与与BABA1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 . .在本例在本例(2)(2)的条件下，能否求出异面直线的条件下，能否求出异面直线B B1 1C C与与BABA1 1所成角的余弦值所成角的余弦值. .2022-4-19462022-4-1947A. B. A. B. C. D.C. D.练习在棱长为练习在棱长为a a的正方体的正方体ABCDABCDA A

26、1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，MM是是AAAA1 1的中的中点，则点点，则点A A1 1到平面到平面MBDMBD的距离是的距离是 ( () )2022-4-1948解析：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则建立如图所示的空间直角坐标系，则D D(0,0,0)(0,0,0)，B B( (a a，a, a,0) 0)，MM( (a, a,0 0， a a) )，A A1 1( (a a，0 0，a a) )DBDB( (a a，a, a,0) 0)，DMDM( (a, a,0 0， a a) )，A A1 1MM(0,0(0,0， a a) )设平面设平面MBDMBD的法向量

27、的法向量n n( (x x，y y，z z) )，则，则2022-4-1949 令令x x1 1，得，得n n(1 (1，1 1，2) 2)，A A1 1到平面到平面MBDMBD的距离的距离答案：答案： A A2022-4-1950 利用向量法求点面距，其步骤如下：利用向量法求点面距，其步骤如下：1 1求出该平面的一个法向量；求出该平面的一个法向量；2 2找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；3 3求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除 以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图以法向量的模

28、，即可求出点到平面的距离，如图2022-4-1951点点P P到平面到平面 的距离的距离2022-4-1952 (2009(2009茂名模拟茂名模拟) )如图所示，在四面体如图所示，在四面体A ABCDBCD中，中，O O、E E分别是分别是BDBD、BCBC的中点，的中点，CACACBCBCDCDBDBD2 2，ABABADAD (1)(1)求证：求证：AOAO平面平面BCDBCD；(2)(2)求异面直线求异面直线ABAB与与CDCD所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)(3)求点求点E E到平面到平面ACDACD的距离的距离2022-4-1953 思路点拨思路点拨 2022-4-1954

29、课堂笔记课堂笔记 (1)(1)证明：连结证明：连结OCOC，BOBODODO，ABABADAD，AOAOBDBD. .BOBODODO，BCBCCDCD，COCOBDBD. .在在AOCAOC中，由已知可得中，由已知可得AOAO1 1，COCO而而ACAC2 2，AOAO2 2COCO2 2ACAC2 2. .AOCAOC9090，即，即AOAOOCOC. .BDBDOCOCO O，AOAO平面平面BCDBCD. .2022-4-1955(2)(2)以以O O为原点，如图建立空间直角坐标系，则为原点，如图建立空间直角坐标系，则B B(1,0,0)(1,0,0)，D D( (1,0,0)1,0,

30、0)，C C(0 (0， ，0) 0)，A A(0,0,1)(0,0,1)，E E( ( ， ，0) 0)，异面直线异面直线ABAB与与CDCD所成角的所成角的余弦值为余弦值为=(-1=(-1，0 0，1) 1)2022-4-1956(3)(3)设平面设平面ACDACD的法向量为的法向量为n n( (x x，y y，z z) )，则，则令令y y1 1，得，得n n( ( ，1 1， ) )是平面是平面ACDACD的一个法向量的一个法向量又又ECEC( ( ，0) 0)，点点E E到平面到平面ACDACD的距离的距离h h2022-4-19572022-4-1958 利用空间向量解决空间中线面

31、位置关系的论利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此其已成为高考命题的热点题型学生的能力，因此其已成为高考命题的热点题型2022-4-1959 考题印证考题印证 (2009 (2009福建高考福建高考) )如图，四边形如图，四边形ABCD

32、ABCD是边长为是边长为1 1的正方形，的正方形，MDMD平平面面ABCDABCD，NBNB平面平面ABCDABCD，且，且MDMDNBNB1 1，E E为为BCBC的中的中点点 (1) (1)求异面直线求异面直线NENE与与AMAM所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2) (2)在线段在线段ANAN上是否存在点上是否存在点S S，使得，使得ESES平面平面AMNAMN？若？若存在，求线段存在，求线段ASAS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由2022-4-1960【解解】(1)(1)如图，以如图，以D D为坐标原点，建立空间直角坐标为坐标原点，建立空间直角坐标系系D Dxyz

33、xyz. .依题意，易得依题意，易得D D(0,0,0)(0,0,0)，A A(1,0,0)(1,0,0)，MM(0,0,1)(0,0,1)，C C(0,1,0)(0,1,0)，B B(1,1,0)(1,1,0)，N N(1,1,1)(1,1,1)，E E( ( ，1,0)1,0)(2(2分分) )2022-4-1961所以异面直线所以异面直线NENE与与AMAM所成角的余弦值为所成角的余弦值为 (6 (6分分) )=(-1,0,1) (3=(-1,0,1) (3分分) )(5(5分分) )2022-4-1962(2)(2)假设在线段假设在线段ANAN上存在点上存在点S S，使得，使得ESES

34、平面平面AMNAMN. .ANAN(0,1,1)(0,1,1)，可设，可设ASASANAN(0 (0， ， ) )，又又EAEA( ( ，1,0)1,0)， ， 1 1， ) )(8(8分分) )2022-4-1963由由ESES平面平面AMNAMN，得，得即即 (9(9分分) )故故 ，此时，此时ASAS(0 (0， ) )，| |ASAS| | (10(10分分) )经检验，当经检验，当ASAS 时，时，ESES平面平面AMNAMN.(11.(11分分) )故线段故线段ANAN上存在点上存在点S S，使得，使得ESES平面平面AMNAMN，此时，此时ASAS (12 (12分分) )202

35、2-4-1964 自主体验自主体验 如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P PABCDABCD的底面的底面ABCDABCD为等腰梯为等腰梯形，形，ABABDCDC，ACACBDBD，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，且顶点，且顶点P P在底面上的射影恰为在底面上的射影恰为O O点点又又BOBO2 2，POPO ，PBPBPDPD. .2022-4-1965 (1) (1)求异面直线求异面直线PDPD与与BCBC所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2) (2)求二面角求二面角P PABABC C的大小；的大小； (3) (3)设点设点MM在棱在棱PCPC上，且上，且 ，问，问 为何值时，为

36、何值时，PCPC平面平面BMD?BMD?2022-4-1966解：解：POPO平面平面ABCDABCD，POPOBDBD. .又又PBPBPDPD，BOBO2 2，POPO ，则在则在RtRtPDBPDB中，由中，由OPOP2 2ODODOBOB，得，得ODOD1 1，从而可，从而可得得ODODOCOC1 1，BOBOAOAO2. 2.以以O O为原点，为原点，OAOA，OBOB，OPOP所在直线分别为所在直线分别为x x，y y，z z轴建立轴建立如图所示的空间直角坐标系，则如图所示的空间直角坐标系，则O O(0,0,0)(0,0,0)，A A(2,0,0)(2,0,0)，B B(0,2,0

37、)(0,2,0)，C C( (1 1，0,0)0,0)，D D(0 (0，1,0)1,0)，P P(0,0(0,0， ) )2022-4-19672022-4-1968故直线故直线PDPD与与BCBC所成角的余弦值为所成角的余弦值为2022-4-1969(2)(2)设平面设平面PABPAB的一个法向量为的一个法向量为n n( (x x，y y，z z) )，由于，由于ABAB( (2,2,0)2,2,0)，APAP( (2,02,0， ) )，由由 得取得取n n(1,1(1,1， ) )又易知又易知平面平面ABCDABCD的一个法向量为的一个法向量为m m(0,0,1)(0,0,1)，cos

38、cosm m，n n又二面角又二面角P PABABC C为锐角，为锐角，所求二面角所求二面角P PABABC C的大小为的大小为4545. .2022-4-1970(3)(3)设设MM( (x x0, 0,0 0，z z0 0) )，由于由于P P，MM，C C三点共线，故三点共线，故z z0 0 x x0 0 . .PCPC平面平面BMDBMD，OMOMPCPC. .(1,01,0， )()(x x0, 0,0 0，z z0 0) )0. 0.x x0 0 z z0 00. 0.由由知知x x0 0 ，z z0 0 ，MM( ( ，0 0， ) )， 2. 2.故故 2 2时，时，PCPC平面平面BMDBMD. .2022-4-1971