初中数学最值系列之阿氏圆问题.pdf

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1、最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆如下图，已知A、B 两点，点P 满足 PA：PB=k（k1） ，则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆PABO下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，则ABDBACDCAEFBDC证明：（2）外角平分线定理：如图，在 ABC 中，外角CAE 的角平分线 A

2、D 交 BC 的延长线于点D，则SSABDACDSBD，CDSABDACDABDEABABDB，即AC DFACACDCABDBACDCEABCD1证明：在BA 延长线上取点 E 使得 AE=AC，连接BD，则 ACDAED（SAS） ，CD=ED 且 AD 平分BDE，则接下来开始证明步骤：DBABABDB，即DEAEACDCPAMBON如图， PA： PB=k， 作APB 的角平分线交 AB 于 M 点， 根据角平分线定理，故 M 点为定点，即APB 的角平分线交 AB 于定点；作APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理，定点，即APB 外角平分线交直线 AB 于定点

3、；又MPN=90，定边对定角，故P 点轨迹是以 MN 为直径的圆PMAPA k，MBPBNAPA k，故 N 点为NBPBAMBON法二：建系不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设A（-m，0） ，则 B（m，0） ，设 P（x，y） ，PA=kPB，即：x m y2 kx m y222x m y2 k2x m k2y222k221x2 y22m 2k2mx k21m2 022m 2k2mx y x m2 02k 1解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线2那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，

4、BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交1AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则PAPB的最小值为_2ADPCEB1【分析】这个问题最大的难点在于转化PA，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所2不同，如下，提供两种思路法一：构造相似三角形注意到圆 C 半径为 2，CA=4，连接 CP，构造包含线段 AP 的CPA，在 CA 边上取点 M 使1得 CM=2，连接 PM，可得CPACMP，故 PA：PM=2:1，即 PM=PA2ADPMBC问题转化为 PM+PB 最小值，直接连 BM 即可【问题剖析】1（1）这里为什么是PA？211答：因为圆 C 半径为

5、 2，CA=4，比值是 1:2，所以构造的是PA，也只能构造PA223（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k 应为多少？答：根据圆 C 半径与 CB 之比为 2:3，k 应为【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点 M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！PP23ABOABO已知PA、PB之比确定圆已知PA、圆确定PB而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直

6、线 AC 上， 故所求 M 点在 AC 边上， 考虑到 PM： PA=1:2，1不妨让 P 点与 D 点重合，此时 DM=DA=1，即可确定 M 点位置2AA2D (P)1MCBMBDC亦满足 PM:PA=1:2P如果对这个结果不是很放心， 不妨再取个特殊的位置检验一下， 如下图， 此时 PM=3， PA=6，【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求 M点位置，虽不够严谨，却很实用4【练习 1】如图，在ABC中，ACB=90，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6 为半径的圆上有一个动点 D连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是CDAB2

7、2【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3AD BD，故求AD BD最小值即可332考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造AD，条件已经足够明显3当 D 点运动到 AC 边时，DA=3，此时在线段 CD 上取点 M 使得 DM=2，则在点 D 运动过程中，始终存在DM 2DA3CCMDABAMDB问题转化为 DM+DB 的最小值，直接连接BM，BM 长度的 3 倍即为本题答案CMDAB5【练习 2】 如图， 已知正方 ABCD 的边长为 4， 圆 B 的半径为 2， 点 P 是圆 B 上的一个动点，1则PDPC的最大值为_2ADPBC1【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造PC，在 BC 上取 M21使得此时 PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=PC，从而将问题转化为求PD-PM2的最大值ADADPBPMCBMC连接 PD，对于 PDM，PD-PMDM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值ADADPBMCBMCP6