归纳法证明不等式.doc

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1、归纳法证明不等式第一篇：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式的本质数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。这种形式的关键步骤是由n?k时，命题成立推导n?k?1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为f(k?1)?f(k)?左k?g(k)?左k?g(k)?右k?g(k?1) 例1已知an?2n?1，求证：本题要证后半节的关键是证 an1a1a2n?n?(n?n?)

2、 23a2a3an?122k?1?11?中k?右k即证k?2? 2?12而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。而要证前半节的关键是证12k?1?1?左k?中k即证?k?2 22?1而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。有时，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘积形式出现， 且f(n)?0,g(n)?0是显然成立的。此时，可记?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k? f(k)g(k)分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由n?k时，成立推导n?k?1成立，可表述为f(k?1)?f(k)?左k?g(k

3、)?左k?g(k)?右k?g(k?1)和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“ ”都显然成立，而“”是否成立，就需要判断和证明了，既“?左k?右k”若成立，既可用数学归纳法证明；若不成立，则不能用数学归纳法证明。因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍右增倍”是否成立。第二篇：归纳法证明不等式归纳法证明不等式由于lnx 0则x 1设f(x)=x-lnxf(x)=1-1/x 0则f(x)为增函数f(x) f(1)=1则x lnx则可知道等式成立。(运用的是定理，f(x),g(x) 0.且连续又f(x) =g(x

4、).则在相同积分区间上的积分也是 =)追问请问这个“定理”是什么定理?我是学数学分析的，书上能找到么?回答能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。叫做积分不等式性数学归纳法不等式的做题思路：1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。(含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。)3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。这题大于号应该为小于号。当n=1,1 2显然假设n=k-1的时候成立即1+1/2+1/3+.+1/(k-1) 2(k-1)则当n=k时，1+1/2+1/3+.+1/(k-

5、1)+1/k 2(k-1)+1/k如果有2(k-1)+1/k 2k就可，只要1/k 2k-2(k-1)=2(k-(k-1)=2/，即只要(k-1 k,而这显然。所以1+1/2+1/3+.+1/n 2n已知f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n(n属于正整数),求证:当n 1时,f(2n) n+2/2(1)n=2时代入成立(2)假设n=a时候成立则n=a+1时f(2(a+1)=f(2a)+1/(2a+1)+1/(2a+2)+1/(2a+3)+1/(2(a+1) f(2a)+1/(2(a+1)+1/(2(a+1)+1/(2(a+1)+1/(2(a+1)后面相同项一共有2a个所以上面又=f(2a)

6、+2a/(2(a+1)=f(2a)+1/2因为f(2a) (a+2)/2故上面大于 (a+1)+2 /2因此n=a时上式成立的话n=a+1也成立1/22+1/32+1/42+1/n2 1-1/n(n2，nn+)“1/22”指2的平方分之1证明：数学归纳法：1、当n=2时有1/22=1/4 1-1/2=1/2符合原命题。2、假设当n=k时1/22+1/32+1/42+1/k2 1-1/k(k2，kn+)成立，则当n=k+1时有1/22+1/32+1/42+1/k2+1/(k+1)2 1-1/k+1/(k+1)2=(k3+k2-1)/(k(k+1)2) (k3+k2)/(k(k+1)2)=k/(k

7、+1)=1-1/(k+1)原命题成立综上可得1/22+1/32+1/42+1/n2 1-1/n(n2，nn+)成立!。第三篇：用数学归纳法证明不等式人教版选修45不等式选讲课题：用数学归纳法证明不等式教学目标：1、牢固掌握数学归纳法(请您继续关注公文素材库：)的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。重点、 难点：1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。教学过

8、程：一、复习导入：1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。（2）步骤：1）归纳奠基;2）归纳递推。2、作业讲评：（出示小黑板）习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+2n=n(n+1)如采用下面的证法，对吗？证明：当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。假设n=k时，（kn，k1）等式成立，即2+4+6+8+2k=k(k+1)当n=k+1时，2+4+6+8+2k+2(k+1) n=k+1时，等式成立。由可知，对于任意自然数n，原等式都成立。（1）学生思考讨论。（2）师生总结： 1）不正

9、确2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。 二、新知探究明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板)例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。 an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81, bn=2:2,4,8,16,32,64,128,256,512, （1）学生观察思考 （2）师生分析（3）解：从第5项起，an bn ，即 n22,nn+（n5）证明：（1）当 n=5时，有5225，命题成立。 （2）假设当n=k（k5）时命题成立 即k2当n=k+1时，因为（k+

10、1）2=k2+2k+1k2+2k+k=k2+3kk2+k2=2k2 22k=2k+1 所以，（k+1）22k+1 即n=k+1时，命题成立。由（1）（2）可知n22n（nn+，n5）学生思考、小组讨论：放缩技巧：k2+2k+1k2+2k+k；k2+3kk2+k2归纳假设：2k 22例2证明不等式sin nnsin(nn+)k nn22k分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。证明：（1）当 n=1时，上式左边=sin=右边，不等式成立。 （2）假设当n=k（k1）时命题成立， 即有sin kksin当n=k+1时，si

11、n （k+1）=sin kcos+cos ksin sin kcos+cos ksin =sin kcos+cos ksin sin k+sin ksin+sin =（k+1）sin所以当n=k+1时，不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。学生思考、小组讨论：绝对值不等式: a+b a+b三角函数的有界性：sin1,cos1 三角函数的两角和公式。（板书）例3 证明贝努力（bernoulli）不等式:如果x是实数且x-1，x0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）1+nx 分析：贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)（板

12、书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x0，则原不等式成立（在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x0是由已知条件x0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k2），不等式成立，即（1+x）1+kx 师：现在要证的目标是（1+x）1+（k+1）x，请同学考虑生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当k+1kn=k+1时应构造出归纳假设适应的条件所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因为xk-1（已知），所以1+x0于是（1+x）（1+x）（1+kx）（1+x）师：现将命题转化成如何证明不等式 （1+kx）（1

13、+x）1+（k+1）x 显然，上式中“=”不成立k+1k2n故只需证：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x 提问：证明不等式的基本方法有哪些？生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）生：证明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比较法 （1+kx）（1+x）-1+（k+1）x =1+x+kx+kx-1-kx-x=kx0（因x0，则x0） 所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x 生：也可采用综合法的放缩技巧（1+kx）（1+x）=1+kx

14、+x+lx=1+（k+1）x+kx因为kx0，所以1+（k+1）x+kx1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）1+（1+k）x成立生：（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写（板书）将例3的格式完整规范证明：（1）当n=2时，由x0得（1+x）=1+2x+x1+2x,不等式成立。（2）假设n=k（k2）时，不等式成立， 即有（1+x）1+kx 当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）（1+x）（1+kx）kk=1+x+kx+ kx1+x+kx

15、=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立由可知，贝努力不等式成立。（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的） 三、课堂小结1用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变2用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标 四、课后作业1课本p53：1，3，5 2证明不等式：第四篇：数学归纳法证明不等式学案2.3用数学归纳法证明不等

16、式学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题( 即nn?时命题成立) (归纳奠基）20.假设当时命题成立，证明当n=k1时命题(归纳递推）.30. 由10、20知，对于一切nn?的自然数n命题！(结论）要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：例1. 用数学归纳法证明不等式sinn?nsin?.（n?n?）例2证明贝努力（bernoulli）不等式:已知x?r,且x ?1，且x?0，n?n*

17、，n2求证：(1+x)n 1+nx.1；例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,那么它们的和a1?a2?ann.三、当堂检测1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。（2）求满足不等式(1?1nn)?n的正整数n的范围。2、用数学归纳法证明2n?2?n2(n?n*)2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名1、用数学归纳法证明3n(n3,nn)第一步应验证()a.n=1b.n=2c.n=3d.n=4 2、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81, bn=2

18、:2,4,8,16,32,64,128,256,512, k2n3、用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式122?132?1n?1n?n都成立。4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d?0，自然数n?2，求证：an?cn?2bn。第五篇：数学归纳法证明不等式教案2.3用数学归纳法证明不等式学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立( 即nn?时命题成立) (归纳奠基） ；20. 假设当n=k时命

19、题成立，证明当n=k1时命题也成立(归纳递推）.30. 由10、20知，对于一切nn?的自然数n命题都成立！(结论）要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：例1. 用数学归纳法证明不等式sinn?nsin?.（n?n?）证明：（1）当 n=1时，上式左边=sin=右边，不等式成立。（2）假设当n=k（k1）时命题成立，即有sin kksin当n=k+1时，sin （k+1）=sin kcos+cos ksin sin kcos+cos ksin =sin kcos+cos ksin sin k+sin ksin+sin =（k+1）sin所以当n=k+1时

20、，不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。例2 证明贝努力（bernoulli）不等式:已知x?r,且x ?1，且x?0，n?n*，n2求证：(1+x)n 1+nx.证明：（1）当n=2时，由x0得（1+x）2=1+2x+x21+2x,不等式成立。（2）假设n=k（k2）时，不等式成立，即有（1+x）k1+kx当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx21+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立由（1）（2）可知，贝努力不等式成立。例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘

21、积a1a2?an?1,那么它们的和a1?a2?ann.三、当堂检测1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。1（2）求满足不等式(1?)n?n的正整数n的范围。nn2*2?2?n(n?n) 2、用数学归纳法证明证明：（1） 当n=1时， 2?2?1，不等式成立； 当n=2时， 2?2?2，不等式成立；当n=3时， 2?2?3，不等式成立*n?k(k?3,k?n)时不等式成立，即 2k?2?k2 （2）假设当k?1k222则当n?k?1时， 2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3， 1222322kk?3，?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)从而， 即当n?k?1时，不等式也成立 由（1），（2）可知，2?2?n对一切n?n都成立四、课堂小结1用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变2用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标n2* 第 12 页 共 12 页