2022年高三数学复习教案设计： 《平面向量》.docx

《2022年高三数学复习教案设计： 《平面向量》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学复习教案设计： 《平面向量》.docx（42页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022年高三数学复习教案设计： 平面向量人类的心正是凭借着希望而得到宽慰，始终生活到生命的最终时刻。下面是我为您举荐高三数学复习教案设计： 平面对量。【学问网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关学问时，建议：1. 留意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关学问既有联系又有区分，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关学问对现学学问的负面影响.2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对

2、应着一个方程，数形结合考察问题，经常事半功倍.3. 学会联想与化归.向量学问是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常须要适当联想，并将应用问题数学化，困难问题熟识化、简洁化.【考点指津】1. 理解向量的概念，驾驭向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念.2.驾驭向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则.3驾驭向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.【学问在线】1.（2a+8b）-（4a-2b）=2.在ABC中，BC→ =a， CA→ =b，则AB→ =3.设a表示向东3

3、km，b表示向北偏东30o走3km，则a+b表示的意义为4.画出不共线的随意三个向量，作图验证a-b-c=a-（b+c）.5.向量a、b满意|a|=8，|b|=10，求|a+b|的最大值、最小值.【讲练平台】例1 化简以下各式：AB→ +BC→ +CA→ ；AB→ -AC→ +BD→ -CD→ ；OA→ -OD→ +AD→ ；NQ→ +QP→ +MN→ -MP→ .结果为0的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求

4、和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.答D.点评 本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础学问.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.留意：AB→ = -BA→ ， +CB→ =AB→ .变题 作图验证 A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +An-1An→ =A1An→ （n≥2，n∈N）.例2 如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等

5、分点，CA→ =3a，CB→ =2b，求CD→ ，CE→ .分析 本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，依据AD→ 、AE→ 、AB→ 均为共线向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .解 AB→ =AC→ +CB→ = -3a+2b，

6、因D、E为AB→ 的两个三等分点，故AD→ = AB→ =-a+ b =DE→ ，CD→ =CA→ +AD→ =3a-a+ b =2a+ b，CE→ =CD→ +DE→ =2a+ b-a+ b=a+ b.点评 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得留意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→ =mP

7、A→ +nPB→ ，且m+n=1.分析 A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ，使得AC→ =λAB→ .很明显，题设条件中向量表达式并未涉及AC→ 、AB→ ，对此，我们不妨利用 PC→ =PA→ +AC→ 来转化，以便进一步分析求证.证明 充分性，由PC→ =mPA→ +nPB→ ， m+n=1， 得PA→ +AC→ =mPA→ +n（PA→ +AB→ ）=（m+n）PA→

8、+nAB→ =PA→ +nAB→ ，∴AC→ =nAB→ .∴A、B、C三点共线.必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC→ =λAB→ ，即 AP→ +PC→ =λ（AP→ +PB→ ）.PC→ =（λ-1）AP→ +λPB→ =（1-λ）PA→ +λPB→ ，m=1-λ，n=&la

9、mbda;，m+n=1，PC→ =mPA→ +nPB→ .点评 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，肯定要强化目标意识.变题 在ΔABC 所在平面上有一点P ，满意PA→ +PB→ +PC→ =AB→ ，试确定点 P的位置.答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点（距 A点较近）例4 （1）若点 O是三角形ABC的重心，求证：OA→ +OB→ +OC→ =0；（2）若 O为正方形ABCD的中心，求证：OA&ra

10、rr; +OB→ +OC→ +OD→ =0；（3）若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =0.若 O为正n边形A1A2A3A n的中心，OA1→ +OA2→ +OA3→ +OAn→ =0 还成立吗?说明理由.分析 本题四问构成一个题链，条件相像，结论相像，求证方法可望相像.正三角形、正方形性质特别，我们非常熟识，求证方法多，不简单发觉那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来探讨.看着结论，联想一个相像的并且已经解决的问题，本

11、课例1的变题A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +An-1An→ +AnA1→ =0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也转化成首尾相接的形式呢?运用向量相等的定义试试看.解 证（3）以 A为起点作AB′→ =OB→ ，以 B′为起点作B′C′→ =OC→ ，以C′为起点作C′D′→ =OD→ ，以D&

12、prime;为起点作D′E′→ =OE→ .∠AOB=73o，∴∠OAB′=108o.同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o，故∠D′E′A=108o.|OA→ |=|AB′→ |=B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E&pr

13、ime;→ |，故 E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形.OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =OA→ +AB′→ +B′C′→ +C′D′→ +D′E′→ =0.正三角形，正方形、正n边形可类似获证.点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了以退为进的数学思想.面对一般的问题，我们常常先考虑其特别的状况；面对生疏的问题，常常

14、去联想熟识的模型.留意退是为了进，退到特别简洁情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形状况，发觉OA→ +OB→ 与OC→ +OD→ 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.【知能集成】1. 基础学问：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟识的类似的模型，化归转化思想.【训练反馈】1.下列各式正确的是： （ ）A.a-b≤a+b B. a+b>a+bC.a+b>a-b D. a-b=a-b2.下面式子中不能化简

15、成AD→ 的是 （ ）A.OC→ -OA→ +C D→ B.PB→ -DA→ -BP→C.AB→ -DC→ +BC→ D.（AD→ -BM→ ）+（BC→ -MC→ ）3.正方形ABCD的边长为1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，则a+b+c、a-b+c、-a-b+ c 的摸分别等于 .4.设a、b 为已知向量，若3x+4y=a，2x-3y=b ， 则 x= .y= .5. 已知 e1、e2 不共线，AB→

16、 =2e1+ke2，CB→ =e1+3e2，C D→ =2e1-e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k .6.在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，结果分别为 （ ）A.-b，-b-a，-a B. b，-a，b-aC.-b，a，a-b D.-b，-a，a+b7. 试用向量方法证明：对角线相互平分的四边形是平行四边形.8.已知P为ABO 所在平面内的一点，满意OP→ = ，则P在 （ ）A.∠AOB的平分线所在直线上 B.

17、 线段AB的中垂线上C. AB边所在的直线上 D. AB边的中线上.9.设O是平面正多边形A1A2A3A n 的中心，P为随意点，求证：PA1→ +PA2→ +PA3→ +PAn→ =nPO→ .10.如图设O为ABC内一点，PQBC，且PQ→ BC→ =23， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，则 OP→ ，OQ→ .11.P为ABC所在平面内一点，PA→ +PB→ +PC→ =0 ，则P为ABC的 （ ）A.重心 B.垂心 C. 内心

18、 D.外心12.在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：EF→ = （AB→+DC→ ）.第30课 向量的坐标运算【考点指津】1. 理解平面对量的坐标表示法，知道平面对量和一对有序实数一一对应.2. 驾驭平面对量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.3. 驾驭平面对量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区分.【学问在线】1. 若向量a的起点坐标为 （-2，1），终点坐标为（2，-1），则向量a的坐标为2.若O为坐标原点，向量a=（-3，4），则与a共线的单位向量为3.已知

19、a=（-1，2），b=（1，-2），则a+b与a-b的坐标分别为 （ ）A.（0，0），（-2，4） B.（0，0），（2，-4）C.（-2，4），（2，-4） D.（1，-1），（-3，3）4.若向量a=（x-2，3），与向量b=（1，y+2）相等，则 （ ）A. x=I，y=3， B. x=3，y=1C. x=1，y=-5 D. x=5，y=-15.已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点.（1） 求证四边形ABCD为平行四边形；（2） 试推断AM→ 、CN→ 是否共线?为什么?【讲练平台】例1 已知a=（1，2），b=（

20、-3，2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行?分析 已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka+b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.解 由已知a=（1，2），b=（-3，2）， 得a-3b=（10，-4）， ka+b=（k-3，2k+2）.因（ka+b）（a-3b），故10（2k+2）+4（k-3）=0.得k=- .点评 坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.例2 已知向量a=（ ， ），

21、b=（-1，2），c=（2，-4）.求向量d，使2a，-b+ c及4（c-a）与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.分析 四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d（x，y）的方程组，不难求得x、y.简解 设向量d的坐标为（x，y），由2a+（-b+ c）+4（c-a）+d=0，可解得d=（-9，23）.点评 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时常常用到.例3 已知平面上三点P（

22、2，1），Q（3，-1），R（-1，3）.若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，须要分类探讨.简解 设S的坐标为（x，y）.（1）当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，若PQ→ =RS→ ，则（3，-1）-（2，1）=（x+1，y-3），即 （1，-2）=（x+1，y-3），得S点坐标为（0，1）.若PQ→ =SR→ ，则S点坐标为（-2，5）.（2）当PR→ 与SQ→ 是一组对边

23、时，若PR→ =SQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PR→ =QS→ ，则S点的坐标为（0，1）.（3）当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，若PS→ =RQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PS→ =QR→ ，则S点的坐标为（-2，5）.综上所述，S点坐标可以为（0，1），（6，-3），（-2，5）.点评 本题求解需运用分类探讨思想.上述解法思路自然、条理清楚，但很明显不是最简方案，如何数形结合，避开重复劳动，读者不妨思索.例4 向量PA→ =（k，12），PB→ =（4

24、，5），PC→ =（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线.分析 三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→ =λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.解 AB→ =PB→ -PA→ =（4-k，-7），BC→ = PC→ -PB→ =（6，k-5）.当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→ =λBC→ ，将坐标代入，得4-k=6λ，且 -7=λ（k

25、-5），故（4-k）（k-5）=-42.解得k=11，或k=-2.点评 向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要留意前瞻性选择.变题 求证：互不重合的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条件是（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1）.证明 必要性（略）.充分性 若（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1），由A、B、C互不重合，得（x2-x1）、（y3-y1）、（x3-x1）、（y2-y1）中至少有一个不为零，不妨设x3-x1&n

26、e;0.令x2-x1=λ（x3-x1），若λ=0，则x2-x1=0，此时y2≠y1（否则A、B重合）.而已知等式不成立，故λ≠0.于是（x3-x1）（y2-y1）=λ（x3-x1）（y3-y1）.因x3-x1≠0 ，故 （y2-y1）=λ（y3-y1）.于是（x2-x1，y2-y1）=λ（x3-x1，y3-y1），即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 .又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线.【知能集成

27、】基础学问：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.基本思想：将向量等式转化成方程的思想；对几何图形的分类探讨思想.【训练反馈】1.若a=（2，3），b=（4，y-1），且ab，则y= （ ）A.6 B.5 C.7 D. 82.已知点B的坐标为（m，n），AB→ 的坐标为（i，j），则点A的坐标为 （ ）A.（m-i，n-j） B.（i-m，j-n）C.（m+i，n+j） D.（m+n，i+j）3.若A（-1，-1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则x= .4.已知a=（5，4），b=（3，2），则与2

28、a-3b平行的单位向量为5.有下列说法 已知向量PA→ =（x，y），则A点坐标为（x，y）； 位置不同的向量，其坐标有可能相同； 已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i-4j ； 设a=（m，n），b=（p，q），则a=b的充要条件为m=p，且n=q.其中正确的说法是 （ ）A. B. C. D.6.下列各向量组中，不能作为表示平面内全部向量的基底的一组是 （ ）A.a=（-1，2），b=（0，5） B.a=（1，2），b=（2，1）C.a=（2，-1）b=（3，4） D.a=（-2，1），b=（4，-2）7.设a=（-1，2），b=（-1，1），c=（3，-

29、2），用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa+qb，则 （ ）A.p=4， q=1 B.p=1， q=-4 C.p=0 ， q=4 D.p=1， q=48.设i=（1，0），j=（0，1），在平行四边形ABCD中，AC→ =4i+2j，BD→ =2i+6j，则AB→ 的坐标为 .9.已知3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+ ，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan（α+β），b=（1，tanα），求证：ab.10.已知A（4，0），B（4，

30、4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标（x，y）.11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→ =OA→ +tAB→ .（1） 当t改变时，点P是否在一条定直线上运动?（2） 当t取何值时，点P在y轴上?（3） OABP能否成为平行四边形?若能求出相应的t值；若不能，请说明理由.第31课 平面对量的数量积【考点指津】1. 驾驭平面对量的数量积及其几何意义.2. 了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.3. 驾驭向量垂直的条件.【学问在线】1.若a=4，b=3，a?b=-6，则a与b的夹角等于 （ ）A.150o B 12

31、0o C.60o D.30 o2.若a=（-2，1），b=（1，3），则2a2-a?b= （ ）A，15 B.11. C.9 D.63.已知向量 i=（1，0），j=（0，1），则与向量2i+j垂直的一个向量为 （ ）A. 2i-j B. i-2j C. i+j D. i-j4.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，且c⊥a，则C点坐标为5.已知a=3，b=4，且a与b夹角为60o，ka-2b=13，求k的值【讲练平台】例1 （1）在直角三角形ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，求AB→ ?BC→（2）若a=（3，-4），b=（2，1）

32、，试求（a-2b）?（2a+3b）分析 （1）中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角简单求得，故可用公式a?b=|a|b|cosθ求解.（2）中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a?b，也可求a-2b与2a+3b的坐标，进而用（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2求解.解（1） 在ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 与BC→ 的夹角θ=π-∠ABC，∴AB→ ?BC→ =-AB→ BC→

33、 cos∠ABC=-5×3× =-9.（2）解法一 a-2b=（3，-4）-2（2，1）=（-1，-6），2a-3b=2（3，-4）+3（2，1）=（12，-5），（a-2b）?（2a+3b）=（-1）×12+（-6）×（-5）=18.解法二 （a-2b）?（2a+3b）=2a2-a?b-6b2=232+（-4）2-3×2+（-4）×1-6（22+12）=18.点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.详细应用时可依据已知条件的特征来选择.值得留意的是，向量的夹角与向量的方向相关

34、，（1）中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角.从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是全部乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a?（b+c）=a?b+b?c，而（a?b）c≠a（b?c）.例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满意OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明AB⊥OC .分析 要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ ?OC→ =0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→ =AO→ +OB→ 代换，

35、于是只需证AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.证明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+（BO→ +OC→ ）2=OB→ 2+（CO→ +OA→ ）2，整理得AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ ，即 OC→ ?（BO→ +OA→ ）=0，故 O

36、C→ ?AB→ =0.所以 AB→ ⊥OC→ .点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.例3.设OA→ =a=（ +1， -1），OB→ =b=（ ，3），试求∠AOB及ΔAOB的面积.分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a?b，进而求得∠AOB（即a与b的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= absinθ求面积.解 设∠AOB=θ，&Del

37、ta;AOB的面积为S，由已知得：OA→ =a= =2 ，OB→ =b=2 ，∴cosθ= = = .∴θ= .又S= absinθ= ?2 =2 ，即∠AOB= ，ΔAOB的面积为2 .点评 向量的数量积公式a?b=abcosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要留意该公式与三角形的面积公式的区分.此外，本题的解题方法可适用于更一般的状况（见变题）.变题 设ΔABC的面积为S，AB→ =a，AC→ =b，求证S=例4.已知a与b都是非零

38、向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.分析 要求夹角θ，必需求出cosθ；求cosθ需求出a?b与ab的比值（不肯定要求出a、b的详细值）.由已知的两个向量的垂直关系，可以得到ab与a?b的关系.解 （a+3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），∴ （a+3b）?（7a-5b）=0，（a-4b）?（7a-2b）=0.即 7a2+16a?b-15b2=0，7a2-30a?b+8b2=0.两式相减，得 b2=2a?b.故 a2=b2 ， 即 a=b.∴cos&th

39、eta;= = .∴θ=60o ， a与b的夹角为60o .点评 从基本量思想考虑，好像没有详细的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a?b与ab的比值，并不须要详细分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一样的相通的，可以相互转化和利用.在本题求解过程中留意，b2=2a?b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b.【知能集成】基础学问：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的

40、论证与求解.基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.【训练反馈】1. 已知 =5，a与b的夹角的正切值为 ，a?b=12，则b的模为（ ）A.4 B.3 C. D.2.已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为- ，则向量a与e向量的夹角为（ ）A.30o B.60o C.120o D.150o3.已知a=（1，-2），b=（5，8），c=（2，3），则a?（b?c）为 （ ）A.34 B.（34，-68） C .-68 D.（-34，68）4.边长为 的正三角形ABC中，设AB→ =c，BC

41、→ =a，CA→ =b，则a?b+b?c+c?a等于（ ）A. -3 B. 0 C. 1 D. 35.已知a=（1，2），b=（x，1），当（a+2b）⊥（2a-b）时，实数x的值为 .6.已知m=（-5，3），n=（-1，2），当（λm+n）⊥（2n+m）时，实数λ的值为 .7.已知|a|=|b|=1，a与b夹角为90o，c=2a+3b，d=ka-4b，且c⊥d，则k=8.已知A、B、C、D是平面上给定的四个点，则AB→ ?CD→ +AC→ ?DB→ +AD→ ?B

42、C→ = .9.已知a+b=（2，-8），a-b=（-8，16），则a与b夹角的余弦值为 .10.设两向量e1、e2满意| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夹角为60o，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.11.设向量a=（cos23o，cos67o），b=（cos68o，cos32o），u=a+tb （t∈R）.（1） 求a?b；（2） 求u的模的最小值.12.设a=（1+cosα，sinα）， b=（1-cosβ，sinβ）， c=（1，0）， α∈（0，&

43、pi;），β∈（π，2π），a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2= ，求sin 的值.第32课 线段的定比分点、平移【考点指津】1. 驾驭线段的定比分点和中点坐标公式，并且娴熟运用.2. 驾驭平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式.3. 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关学问，解确定比分点问题和平移问题.【学问在线】1.若P分AB→ 所成的比为 ，则A分BP→ 的比为 （ ）A. B.- C.- D.2.设点P在线段AB的延长线上，P分AB→ 所

44、成的比为λ，则 （ ）A.λ<-1 B.-1<λ<0 C.0<λ<1 D.λ>13.按向量a将点（2，3）平移到（0，1），则按向量a将点（7，1）平移到点 （ ）A.（9，-3） B.（9，3） C.（5，-1） D.（-5，-3）4.若函数y=f（1-2x）的图象，按向量a平移后，得到函数y=f（-2x）的图象，则向量a= .5.设三个向量OA→ =（-1，2），OB→ =（2，-4），OC→ 的终点在同一条直线上（O为坐标原点）.（1） 若点C内分AB&

45、rarr; 所成的比为 ，求C点坐标；（2） 若点C外分AB→ 所成的比为- ，求C点坐标.【讲练平台】例1 已知P（1，1），A（2，3），B（8，-3），且C、D顺次为AB的三等分点（C靠近A），求PC→ 和PD→ 的坐标.分析 已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC→ ，PD→ .解 解法一 由题知，点C、D分AB所成的比分别为λ1= ，λ2=2 ，设C（x，y），则即C（4，1），同理可得D（6，-1）.故PC=（4，1）-（1，1）=（3，0），PD=（6，-1）-（1，1）=（5，-2）.解法二 因A、B、C、D四点共线，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，故PC→ =PA→ +AC→ =（2-1，3-1）+ （8-2，-3-3）=（3，0），PD→ =PA→ +AD→ =（2-1，3-1）+23 （8-2，-3-3）=（5，-2）.