2022年高二年级数学教案设计：曲线和方程.docx

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1、2022年高二年级数学教案设计：曲线和方程不要讪笑铁树。为了开一次花，它付出了比别的树种更许久的努力。下面是我为您举荐高二年级数学教案设计：曲线和方程。一、教学目标（1）了解用坐标法探讨几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能依据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念.（3）通过曲线方程概念的教学，培育学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点.（4）通过求曲线方程的教学，培育学生的转化实力和全面分析问题的实力，帮助学生理解解析几何的思想方法.（5）进一步理解数形结合的思想方法.教学建议教材分析（1）学问结构曲线与方程是在初中轨迹概念

2、和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分探讨曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，探讨曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑依次.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.至于用曲线方程探讨曲线性质则更在其后，本节不予探讨.因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题.（2）重点、难点分析本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和驾驭求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想.本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，

3、也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简洁的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.留意强调曲线方程的完备性和纯粹性.（2）可以结合已经学过的直线方程的学问帮助学生领悟坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的打算.（3）无论是推断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满意概念中的两条为准则.（4）从集合与对应的观点可以看得更清晰：设 表示曲线 上适合某种条件的点 的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.可以用集

4、合相等的概念来定义曲线的方程和方程的曲线，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从详细实例动身，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程（曲线的方程），这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提示学生留意转化是否为等价的，这将确定第五步如何做.同时老师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.教学中对课本例2的解法分析很重要.这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件 数学符号语言中的等式 数学符号语言中含动点坐标 ， 的代数方程 简化了的 ， 的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条

5、件的一种表现形式，这个形式的特点是含动点坐标的代数方程.（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中驾驭的，教学中要把握好度.二、教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题.（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线.（3）初步驾驭求曲线方程的方法.（4）通过本节内容的教学，培育学生分析问题和转化的实力.教学重点、难点：求曲线的方程.教学用具：计算机.教学方法：启发引导法，探讨法.教学过程：【引入】1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线.学生思索并回答.老师强调.2

6、.坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过探讨方程的性质间接地来探讨曲线的性质，这一探讨几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：（1）依据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，探讨平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先探讨如何求出曲线方程，再探讨如何用方程探讨曲线.本节课就初步探讨曲线方程的求法.【问题】如何依据已知条件，求出曲线的方程.【实例分析】例1：设 、 两点的坐标是 、（3，7），求线段 的垂直平分线 的方程.首先由学生分析：

7、依据直线方程的学问，运用点斜式即可解决.解法一：易求线段 的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决.可是，你们是否想过恰好就是所求的吗?或者说就是直线 的方程?依据是什么，有证明吗?（通过老师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应当证明，证明的依据就是定义中的两条）.证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.设 是线段 的垂直平分线上随意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点 的坐标 是方程 的解.（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.设点 的坐标 是方程的随意一解，则到 、 的距离分别为所以

8、 ，即点 在直线 上.综合（1）、（2），是所求直线的方程.至此，证明完毕.回顾上述内容我们会发觉一个好玩的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设 是线段 的垂直平分线上随意一点，最终得到式子 ，假如去掉脚标，这不就是所求方程 吗?可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设 是线段 的垂直平分线上随意一点，也就是点 属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果真胜利，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满意.明显，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于其次条上边已证.这样我们就有两种求解方程的

9、方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又特别自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.让我们用这个方法试解如下问题：例2：点 与两条相互垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程.分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系，明显用已知中两条相互垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系.然后仿按例1中的解法进行求解.求解过程略.【概括总结】通过学生探讨，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上随意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最终整理出方程，并证明或修正.说得更精确一点就是：（1

10、）建立适当的坐标系，用有序实数对例如 表示曲线上随意一点 的坐标；（2）写出适合条件 的点 的集合；（3）用坐标表示条件 ，列出方程 ；（4）化方程 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般状况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；假如求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以，通常状况下证明可省略，不过特别状况要说明.上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正.下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到 点的距离减去它到 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【动画演

11、示】用几何画板演示曲线生成的过程和形态，在运动改变的过程中找寻关系.解：设点 是曲线上随意一点， 轴，垂足是 （如图2），那么点 属于集合由距离公式，点 适合的条件可表示为将式 移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在 轴的上方，所以 ，虽然原点 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为 ，它是关于 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示.【练习巩固】题目：在正三角形 内有一动点 ，已知 到三个顶点的距离分别为 、 、 ，且有 ，求点 轨迹方程.分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标

12、系比较简洁，如图3所示.设 、 的坐标为 、 ，则 的坐标为 ， 的坐标为 .依据条件 ，代入坐标可得化简得由于题目中要求点 在三角形内，所以 ，在结合式可进一步求出 、 的范围，最终曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何探讨探讨问题的方法是什么?（2）如何求曲线的方程?（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应留意什么?【作业】课本第73页练习1，2，3；第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页