第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理.doc

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1、第三章 复变函数的积分 (Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：3.1复积分的概念 3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：思考题：1、2、习题三：1-10板书设计：一、复变函数积分的计算问题 二、柯西积分定理 三、

2、举例参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方 法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of the integral defin

3、ition）定义（Definition）3.1设在复平面上有一条连接及两点的光滑简单曲线设是在上的连续函数.其中及是的实部及虚部.把曲线用分点分成个小弧段，其中 y O x在每个狐段上任取一点，作和式 （1）令，当时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不依赖于曲线的分法，则就称此极限值为沿曲线的积分.记作当沿曲线的负方向（从到）积分，记作当沿闭曲线的积分，记作定理(Theorem)3.1 若沿光滑简单曲线连续，则沿可积，且（2）证明：由沿光滑简单曲线连续，可知沿光滑简单曲线也连续，当时，有 于是上式右端的极限存在，且有二、复变函数积分的计算(Complex integratio

4、n of computational problems)设有光滑曲线: ,即在上连续且有不为零的导数.又设沿连续.由公式(2)我们有 即 (3)或 (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算，其中是（1） 从点1到的直线段；（2） 从点1到0的直线段，再从点0到得直线段所连接成的折线段. 解：（1），有：（2），有： 例2 计算其中是 (1)连接的直线段；(2)连接的单位圆的左半圆 (3)连接的单位圆的右半圆 解： 上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关 例3，其中为任意整数，

5、为以为中心，为半径的圆周.解 的参数方程为，由公式得此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点. 例4 计算，其中为从原点到点的直线段. 解： 此直线方程可写作 或 . 在上，于是 .因易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值，不论是对怎样的连接原点到的曲线，都等于. 例5 设是圆，其中是一个复数，是一个正数，则按逆时针方向所取的积分 证明：令 ，于是 ，从而 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature) 设及在简单曲线上连续，则有 （1） （2） （3）其中曲线是有光滑的曲线

6、连接而成； （4） 定理3.2（积分估值） 如果在曲线上，而是曲线的长度，其中及都是有限的正数，那么有 ， （5）证明：因为两边取极限即可得： 例6 试证： 证:不妨设，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在上，上式右端当时极限为0，故左端极限也为0，所以本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算； （2）复变函数积分的基本性质3.2 柯西积分定理（Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设是在单连通区域内的解析函数，则在内沿任意一条闭曲线的积分,在这里沿的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy给出的.1

7、851年Riemann在连续的假设下给出了简单证明如下 证明：已知在单连通区域内解析，所以存在，设在区域内连续，可知、的一阶偏导数在区域内连续， 有注1: 此定理证明假设“在区域内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2: 若是区域的边界，在单连通区域内解析，在上连续，则定理仍成立. 定理(Theorem)3.4若是在单连通区域内的解析函数，、是在内连接及z两点的任意两条简单曲线，则 证明：由柯西积分定理 将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲

8、线的外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，围成一个有界多连通区域，及其边界构成一个闭区域.设f(z)在上解析，那么令表示的全部边界，我们有其中积分是沿按关于区域的正向取的.即沿按逆时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域总在它的左侧.因此即 例7 计算,其中是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周分别包含0，1，-1，且都在内，应用复合围线积分定理，有 由柯西积分定理可知：若是在单连通区域内的解析函数，则沿着区域内的简单闭曲线的积分与路径无关，只与起点及终点有关，此时也可写成在单连通区域内固定，当在区域内变动时，确定了上

9、限的一个函数，记作 定理(Theorem)3.6 设是单连通区域的解析函数，则也是区域内的解析函数，且证明： ，得与路径无关，则=其中积分路径取到得直线段，有因在内连续，有即 定义(Definition)3.2设在是单连通区域内，有，则称是的原函数. 定理(Theorem)3.7若是在单连通区域内的解析函数，是的一个原函数.则-其中注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分) 试证明:这里 表示绕行一周的简单闭曲线.证明: 作圆周 : |z-| = r, 使得 在 的内区域

10、中. 则有由例5结果即得证. 例9 计算，其中C是从-i到i的直线段解 因为是在全平面除去负实轴上一段的区域内为（单值）解析，又因为区域是单连通的，在内有本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广内容小结：1、复变函数的积分的定义2、复变函数积分的计算问题3、复变函数积分的基本性质4、柯西积分定理5、柯西积分定理的推广 2 13.3柯西积分公式 3.4解析函数的高阶导数 柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理柯西积分公式解析函数的无穷可微性讲授法 多媒体与板书相结

11、合思考题：1、2、习题三：11-15一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例1复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版社.3复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.4复变函数与积分变换,苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑第二讲授课题目：3.3柯西积分公式3.4解析函数的高阶导数教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.学时安排：2学时教学目标：

12、1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理教学重点：柯西积分公式教学难点：解析函数的无穷可微性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题三：11-15板书设计：一、柯西积分公式 二、解析函数的无穷可微性 三、举例参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、复变函数与积分变换学习辅导与习题全解高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）.4、积分变换，南京工学院数学教研室，高等教育出版社.课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生

13、进行答疑教学过程：3.3 柯西积分公式（Cauchy integral formula） 柯西积分公式（Cauchy integral formula）设在以圆为边界的闭圆盘上连续，的内部上解析，由柯西积分定理考虑 设，显然函数在满足的点处解析.以z为心，作一个包含在内的圆盘，设其半径为，边界为圆.在上，挖去以为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域.在上，函数以及解析，所以有于是又如下定理 定理(Theorem)3.8设在在简单闭曲线所围成的区域内解析在上连续，是区域内任一点，则有 （1）其中，沿曲线的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究

14、解析函数的重要工具.说明： 1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来. 2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质. 推论1（平均值公式）设在内解析，在上连续，则 推论2 设在由简单闭曲线、围成的二连通区域内解析，并在曲线、上连续，在的内部，为区域内一点，则 例1 求下列积分的值（1）解： (1)(2)由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数. 定理(

15、Theorem)3.9(最大模原理) 设在区域内解析，不是常数，则在区域内没有最大值. 推论1在区域内的解析函数，若其模在区域内达到最大值，则此函数必恒等于常数 推论2设在有界区域内解析，在上连续，则必在区域的边界上达到最大值.证明：若在区域内为常数，显然成立，若在区域内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证.本节重点掌握：柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions of infinitely differentiable)定理(

16、Theorem)3.10 设函数在简单闭曲线所围成的区域内解析，在上连续，则的各阶导数均在区域内解析，对区域内任一点，有,证明：先证明时的情形.对区域内任一点，设.现在估计上式右边的积分.设以为心，以为半径的圆盘完全在内，并且在这个圆盘内取，使得，那么当时，设在上的最大值是，并且设的长度是，于是由积分估值定理有这就证明了当趋近于0时，积分趋于0.即当时定理成立.设时定理成立.当时，对区域内任一点，设.仿时的证明方法，可推得定理成立.证毕 例2 计算下列各积分 解： 3）被积函数有两个奇点：和，都在内，在内解析，在内解析，作圆周，利用复合围线积分定理， 由高阶导数公式，得应用上述定理可得出解析函

17、数的无穷可微性定理(Theorem)3.11 设函数在区域内解析，那么在内有任意阶导数.并且它们也在区域内解析注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论； 二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouvilles theorem)柯西不等式（Cauchy inequality） 设函数在以内解析，在以内,则证明：令是圆，在以上解析，由高阶导数公式，有 令,得上述的不等式称为柯西不等式.如果函数在整个复平面上解析，那么就称为一个整函数，例如都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：定理3.12（刘维尔Liouvlle定理） 有界整函数一定恒等常数.证明：设是有界整函数，即存在，使得.，在内解析.由柯西公式，有，令， ，由此可知在上恒等于常数. 三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.定理(Theorem)3.13如果函数在区域内连续，并且对于内的任一条简单闭曲线，我们有那么在区域D内解析.本节重点掌握：（1） 解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式内容小结：1、柯西积分公式2、解析函数的无穷可微性3、柯西不等式与刘维尔定理4、莫勒拉定理5、柯西定理的逆定理25