浅谈条件概率教学过程的设计.docx

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1、浅谈条件概率教学过程的设计从狄青的101枚铜币谈起­ 浅谈条件概率教学过程的设计汕头市金山中学 林琪条件概率是人教A版选修2-3其次章2.2.1的内容，是学生在已学习古典概型与几何概型的基础上又一类型的概率问题。条件概率是概率论中的一个重要概念，它是推导独立事务概率公式的前提，也是接着学习事务的独立性等概率学问的基础，正确理解概念是解题的关键，所以学好这一节，对后续概率的学习有着铺垫作用。而条件概率又是比较难理解的概念，在新课的讲授过程学生总会有这样或那样的怀疑。下面我就如何把条件概率这节课讲懂，使学生真正把学问学好学透彻，浅谈我的一点见解。1. 找寻条件概率狄青的101枚铜币在我们生

2、活的世界上，充溢着不确定性，从流星坠落，到大自然的千变万化，从婴儿诞生，到世间万物的繁衍生息，都充溢奇异的随机现象。我们能依据现在预料将来吗？或者一切都能心想事成吗？这可以从狄青的101枚铜币谈起。话说北宋庆历、皇祐年间，大将狄青奉旨征讨侬智高时，来到桂林以南。当时南方有崇拜鬼神的风俗，于是，他拿了101枚铜币向神许愿，说：假如这次出征能够战胜敌人，那么把这些铜币扔到地上，钱面定然会全部朝上。左右官员都诚惶诚恐，力劝主帅放弃这个念头因为阅历告知他们，这种尝试是注定要失败的。他们担忧最终弄不好，反而会动摇部队的士气。可是，狄青对此概然不理，固执如牛。在千万人的凝视下，他突然举手一挥，把铜币全部扔

3、到地上。结果这101枚铜币的面，竟然鬼使神差般全部朝上。这时，全军欢呼，声音响彻山村原野。由于士兵个个认定有神灵护佑，在战斗中奋勇争先，快速赢得了成功。最终回师时，狄青的僚属们一看才发觉那些铜币的两面都是一样的。事实上，聪慧的狄青便是留意到人们在视察随机现象时，往往过于信任自身的阅历，而忽视了前提条件。对于狄青来说，101个钱面全部朝上，原本是个必定事务，但在别人看来，却是几乎不行能出现的。因此，视察一种现象，不能忽视它的前提。在一种前提下的随机事务，在另一种前提下可能成为必定事务。同样地，在一种前提下的必定事务，在另一种前提下也可能不出现。可见，前提不同的话，随机事务的概率可能发生改变。这也

4、便是我们所要探讨的条件概率。2. 初识条件概率抽签先后概率一样？抽签是生活常见的概率问题，也是条件概率中最常见的例子。抽签先后是否公允，也即各人抽到奖票的概率是否相等，大体有如下一些看法：(1) 先抽比后抽可能性大。第一人抽的时候，奖票还在；假如奖票被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。(2) 后抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，所以先难抽到奖票，而对其次个人来说，这时签纸总数削减了一张，所以抽中的概率变大。(3) 先后抽的可能性一样。当每个人抽完签之后都不看或者看了不声张，每个人拿到奖票的可能性是一样的。这些怀疑估计不止学生存在，或许连一些大人也会觉得很惊奇。数学来源于生活，高于生活，

5、那如何让学生从数学的角度全面来理解此问题呢？事实上，这是与条件概率相关的内容，在此，我们可以借助概率的学问，提出以下问题。例：假设三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三位同学无放回地抽取。(1) 可用什么模型来表述这个随机试验？(2) 最终一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？如何说明？(3) 假如已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最终一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？如何说明？依据学生的生活体验和之前的概率学问，学生可以快速地得出答案，但至于为何是这样的结果，学生也只有一个感性相识。假如在此没有仔细引导学生利用已有的学问进行分析，而直奔下一个主题条件概率的概念，那会有欲速则不达

6、的效果。因此，我把问题分成三个小问题，按部就班，让学问在学生的最近发展区发生，使学生跳一跳可以摘到桃子。大部学生都知道每位同学都有的概率抽到中奖奖券，可以想到利用古典概型来描述此问题，因此在求解事务的概率时的方法便是列出基本领件。分析如下：若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，那么三名同学的抽奖结果可记为，用B表示事务最终一名同学抽到中奖奖券，则，由古典概型计算公式可知，最终一名同学抽到中奖奖券的概率为。而当第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，则中奖只可能出现在另外两名同学身上，即能出现的基本领件只有，所以最终一名同学的中奖概率也变大为。用A表示事务第一名同学抽到中奖奖券，则。这里，我们可以称此

7、时的概率为在第一名同学没有抽到奖券的条件A下，最终一名同学的中奖B事务下的概率，记为。这样，我们通过对抽奖例子的细致引导，可以使学生对抽签的概率有更全面的了解，也形成对条件概率的初步相识：每一个随机试验都是在肯定条件下进行的，而条件概率是指当试验结果的部分信息已经知道的条件下进行的，即在原随机试验的条件下再加上一些附加信息。另外借助抽奖的模型，学生可以明白在已知第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，原来考虑的样本空间里的一些基本领件不行能发生，从而原来的样本空间缩小为可能发生的已知的条件事务A，而此时若要考虑B事务的发生概率，但只能在可能发生的事务A的基础来考虑。这可以帮助学生形成计算条件概率的基

8、本方法，通过缩小样本空间来考虑。在此处由于抽签问题是古典概型，可以计算可能发生的基本领件数来求解，即。3. 理解条件概率骰子中的学问大一个概念的形成，单纯从一个例子是很难讲解并描述清晰，特殊是条件概率这个难理解的概念，会略显单薄。下面我们还可以从学生很熟识的掷骰子的例子来说明。此例相对于抽签的例子有一个优点，便是相对困难一点，但又有点熟识。抽签的例子中事务B是事务A的子事务，在求解概率时，相对比较简单计算，而且不太懂的状况下，也能依据直观相识求解出结果。下面掷骰子的例子可以从多方面来帮助学生形成更深层的概念，而且还能帮助学生理清积事务与条件概率的关系，避开出现混淆。例：投掷红、蓝两颗骰子，假如

9、用x代表红骰子所得点数，用y代表蓝骰子所得点数，这个随机试验的基本领件空间可以怎样表示？（1）事务A=蓝色骰子的点数为3或6，则P(A)=_（2）事务B=两颗骰子的点数之和大于8，则P(B)=_（3）事务C=蓝色骰子的点数为3或6且两颗骰子的点数之和大于8，则P(C)=_（4）事务D=已知蓝色骰子的点数为3或6的前提下，两颗骰子的点数之和大于8，则P(D)=_此问题在设置的过程中，充分考虑了学生的基础，从细处着手，前三个问题帮助学生回顾古典概型的概率求法以及积事务的学问，为下面学习新学问做好学问方面的铺垫。同时借助了坐标系来表示这个基本领件空间，数形结合解决此问题。条件概率与积事务概率在概率论

10、的运算或应用中简单混淆，这两种事务的概率既有本质的区分又存在肯定的联系。对于条件概率和积事务概率，假如不能从本质上把它们的区分搞清晰，那么就会导致在解题或实际应用中经常把应属于积事务概率的问题错误地当成条件概率的问题，有时出现了错误还不易被发觉。因此，在此设计了第（3）题的设计意图是让学生明确积事务的概念，为后面学习扫清障碍。为了让学生有深刻和形象直观的印象，我们还可以让学生用符号语言及图形语言来描述一下事务C。第（4）题，可以引导学生类比之前抽签例子，从图形来得出只能在A可能发生的状况下来探讨B的概率，利用缩小样本空间的观点来算概率。从这里可以看出条件概率事实上是仅局限于事务A这个范围，来考

11、查事务B发生的概率，而事务AB则是在整个样本空间来考虑。此处类比两个概率的求解过程，体现了新旧学问的联系与区分，符合学生的认知规律，同时深化了对条件概率概念的理解。同时还可以让学生借助此题，视察一下这三个概率之间的关系，得出条件概率的另外一种求解方法，即。由此得出条件概率的一般求解方法，适用于非古典概型。由于本题比较有代表性，我们可以从中分析得出条件概率的相关性质。由之前的两个例子可以得出，假如学有余力的话，还可以借助本题，构造不同的条件来探讨一下与之间的大小关系。如：事务A=蓝色骰子的点数为3，事务B=蓝色骰子的点数为6，此时。这样可以使学生对条件概率有更深层次的了解。4. 应用条件概率生男

12、生女概率一样？在日常生活中，条件概率的应用还是比较广泛的。如：例题：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，你能算一下另一个小孩是男孩的概率有多大吗？这个问题也是一个难点，可以让学生进行探讨，在沟通中感悟学问，解决问题。不妨记基本领件空间为，A=其中一个是女孩，B=其中一个是男孩，下面把学生探讨的一些结果收集如下：(1) 简单受生物学学问干扰，得生男孩的概率是。事实上学生没有把题目读清晰，假如题目变成是已知这个家庭第一个小孩是女孩，问其次个是男孩的概率多大，那当然是。但本题却是在已经有了两个小孩，在已经知道其中一个是女孩的条件下，求另一个小孩是男孩的概率，而且

13、这一个女孩也不知道排行第几。(2) 利用缩小样本空间的方法，计算基本领件空间所含基本领件上出错，即把（男，女）与（女，男）视为同一个事务（一男，一女）。学生们自己找出问题所在：等可能性。(3) 利用定义求解时概率出错，即，从而得出。问题出在：事务A实际为至少有一个是女孩，在算A的基本领件时，假如干脆借助挑出某一个是女生，则也是犯了与(2)同样的错误。当然把A的基本领件算成也是错误的，里面出现了重复计算的问题。至少的问题正确的求解方法应当从正面分类或反面求解。向学生传授概率学问，这无疑是概率课的重要任务。问题是如何把概率课讲懂，使学生真正把学问学好。因此，从条件概率的教学过程中，要解决学生的怀疑

14、，形成概念，老师要从多方面进行细致考虑，并非简洁地把学问、公式告知学生就行。概率学问有着独特的背景学问，所以在备课时要尽量发掘有关概论、定理、结论的发觉过程，了解那些被写到科普文章里去的数学史料，如此节课的狄青掷101枚硬币的故事。在概念形成教学中，老师还必需让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经验概念产生的过程，同时引导学生对认知结构中的新旧概念进行对比分化，并将新概念纳入到已有的概念系统中去。数学新课程中，概率可以说是最让老师感到头疼的内容之一。这个具有独特思维方式的领域既难教又难学，如何更好地照看这个新生儿，是广阔老师将会始终思索的问题，前路漫漫，我们将上下求索参考文献：【1】 张远南概率和方程的故事中国少年儿童出版社2022.7【2】 林宝磊运算作主线，概率学习可以更美的 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页