小学数学课程与教学论.docx

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1、小学数学课程与教学论 1.4具有某些特性的函数 4具有某些特性的函数 .教学目的与要求 1.理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、奇偶性、周期性.2.驾驭有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合理地应用.教学重点与难点: 重点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.难点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.讲授内容 一 有界函数 定义 1设f为定义在D上的函数若存在数M(L)，使得对每一个xD有 f(x)M(f(x)L)， 则称f为D上的有上(下)界函数，M(L)称为f在D上的一个上(下)界 依据

2、定义，f在D上有上(下)界，意味着值域f(D)是一个有上(下)界的数集又若M(L)为f在D上的上(下)界，则任何大于(小于)M(L)的数也是f在D上的上(下)界 定义2 设f为定义在D上的函数若存在正数M，使得对每一个xD有 f(x)M， (1) 则称f为D上的有界函数 依据定义，f在D上有界，意味着值域f(D)是一个有界集又按定义不难验证： f在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界(1)式的几何意义是：若f为D上的有界函数，则f的图象完全落在直线y=M与y=-M之间 例如，正弦函数sinx和余弦函数cosx为R上的有界函数，因为对每一个xr都有sinx1和cosx1. 关于函数f在数

3、集D上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义.的否定说法来叙述例如，设f为定义在D上的函数，若对任何M(无论M多大)，都存在xD，使得f(x0)M，则称f为D上的无上界函数 1.4具有某些特性的函数 例1 证明f(x)=1x为(0,1上的无上界函数 . 1M+1证 对任何正数M，取(0,1上一点x0= f(x0)=1x0，则有 =M+1M. 故按上述定义，f为(0,1上的无上界函数 前面已经指出，f在其定义域D上有上界，是指值域f(D)为有上界的数集于是由确界原理，数集f(D)有上确界通常，我们把f(D)的上确界记为supf(x)，并称之为f在 xDD上的上确界类似地，若f在其定义域D上

4、有下界，则f在D上的下确界记为inff(x) xD 例2 设f，g为D上的有界函数.证明： (i)inff(x)+infg(x)inff(x)+g(x) ； xDxDxD (ii) supf(x)+g(x)supf(x)+supg(x) xDxDxD 证 (i)对任何xD有 inff(x)f(x),infg(x)g(x)inff(x)+infg(x)f(x)+g(x) xDxDxDxd上式表明，数inff(x)+infg(x)是函数f+g在D上的一个下界，从而 xDxDinff(x)+infg(x)inff(x)+g(x) xDxDxD(ii)可类似地证明(略) 注 例2中的两个不等式，其严格

5、的不等号有可能成立例如，设 f(x)=x,g(x)=-x,x1,1， 则有inff(x)=infg(x)=-1,supf(x)=supg(x)=1,而 |x|1|x|1|x|1|x|1inff(x)+g(x)=supf(x)+g(x)=0. |x|1|x|1 二 单调函数 定义3 设f为定义在D上的函数若对任何x1,x2D,当x1x2时，总 有 （i）f(x1)f(x2),则称f为D上的增函数，特殊当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格减函数； 增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数 例3 函数y=x3在R上是严格增的因为对任何，x1,x2R,

6、当x10，即x1x2. 233 例4 函数y=x在R上是增的因为对任何x1x2R，当x1x2时,明显有x1 x2但R上不是严格增的，若取x1=0,x2=12，则有x1=x2=0，即定义中所要求的严格不等式不成立此函数的图象如图13所示 严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直 线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反 函数 定理12 设y=f(x),xD为严格增(减) 函数，则f必有反函数f定义域f(D)上也是严格增(减)函数 证 设f在D上严格增对任一yf(D)，有 xD使f(x)=y下面证明这样的x只能有一个事实上，对于D内任一x1x，由f在D上的严格增性，当x1x2时f(x1)x时有f

7、(x1)y，总之f(x1)y这就说明，对每一个yf(D)， -1，且f-1在其都只存在唯一的一个xD，使得f(x)=y，从而函数f存在反函数x=fyf(D) -1(y)， 现证f-1也是严格增的任取y1,y2f(D)，y1y2设x1=f-1(y1),x2=f-1(y2)，则y1=f(x1),y2=f(x2)由y1y2及f的严格增性，明显有x1x2，即f-1(y1)0,a1) 的定义域拓广到整个实数集R下面证明指数函数在R上的严格单调性 例6 证明：，y=ax当a1时在R上严格增；当0 证 设a1给定x1,x2R,x1x2.由有理数集的稠密性，可取到有理数r1,r2，使x1r1r2x2，故有 a

8、x1=x supar|r为有理数arar2supar|r为有理数=ax2， 1rx1rx2这就证明白a当0a1时在(0，+)上则称f为D上的奇(偶)函数 从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y轴对称 例如，正弦函数y=sinx和正切函数y=tanx工是奇函数，余弦函数y=cosx是偶函数，符号函数y=sgnx是奇函数(见图11)而函数f(x)= sinx+cosx既不是奇函数，也不是偶函数，因若取x0=p4，则f(x0)=2，f(-x0)=0，明显既不成立f(-x0)=-f(x0)，也不成立f(-x0)=f(x0) 四 周期函数 设f为定义在数集D上的函数若存在s0，使

9、得对一切xD有f(xs)=f(x)，则称f为周期函数，s称为f的一个周期明显，若s为f的周期，则ns(n为正整数)也是f的周期若在周期函数f的全部周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期 1.4具有某些特性的函数 例如，sinx的周期为2p，tanx的周期为p 函数 f(x)=x-x,xR的周期为1(见图14) 常量函数f(x)=c 是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期.定义在R上的狄利克雷函数是以任何正有理数数为周期的周期函数，但不存在基本周期.(Dirichl)et 小学数学课程与教学论 小学数学课程与教学论 小学数学课程与教学论 小学数学课程与教学论 数学课程与教学论 数学课程与教学论 小学数学课程与教学论2 数学课程与教学论重点 数学课程与教学论答案 数学课程与教学论课程教学标准 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页