85届,普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案.docx

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1、85届,普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案11015年一般高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生留意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分 一（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 （1）假如正方体ABCD-ABCD的棱长为，那么四面体A-ABD的体积是 （ D ) （2）的 （ A ） （A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分

2、又不必要的条件 （3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数？ （ B ） （A） （B） （C） （D） (4)极坐标方程的图象是 （ C ） (A) O X (C) O X (B) O X (D) O X （5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且一百零一位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ B ） （A）96个 （B）78个 （C）73个 （D）64个 二（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求干脆写出结果） （1）求方程解集 答： （2）设，求的值 答： （3）求曲线的焦点 答：（0，0） （4）设(3x-

3、1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2 +a1+a0的值 答：64（或26） （5）设函数f(x)的定义域是0，1，求函数f(x2)的定义域 答：-1，1 三（本题满分14分） （1）解方程 解：由原对数方程得 解这个方程，得到x1=0,x2=7. 检验：x=7是增根，x=0是原方程的根 （2）解不等式 解： 解得 四（本题满分15分） 如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为，CMQ

4、=（00<<900)，线段PM的长为，求线段PQ的长 A P B N C 450 M R Q D 解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N， 则PNBC（三垂线定理）因此PNR是所给二面角的平面角，所以PNR=450 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以PQR= 在RtPNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR 在RtMNR中，MR= 在RtPMR中， 又已知00900，所以 在RtPRQ中， 故线段PQ的长为 五（本题满分15分） 设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，

5、并且满意：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值和-， （2）OZ1Z2的面积为定值S 求OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值 Y Z1 O - X Z2 解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中 由于Z是OZ1Z2的重心，依据复数加法的几何意义，则有 于是 又知OZ1Z2的面积为定值S及，所以 六（本题满分15分） 已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成一般方程） 解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可设点A和B分别是（,)和(+1,+1)

6、，其中为参数 Y y=x Q P X B O A M 于是可得：直线PA的方程是 直线QB的方程是 1.当直线PA和QB平行，无交点 2当时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得 将上述两式代入（1）式，得 当=-2或=-1时，直线PA和QB仍旧相交，并且交点坐标也满意（*）式 所以（*）式即为所求动点的轨迹方程 注：考生没指出“=0”及“=-2或=-1”时的情形不扣分 七（本题满分14分） 设 （1）证明不等式对全部的正整数n都成立 （2）设用定义证明 （1）证一：用数学归纳法略 证二：由不等式对全部正整数k成立，把它对k从1到n（n1）求和，得到 又因以及 对全部的正整数

7、n都成立 （2）由（1）及bn的定义知 对随意指定的正数，要使，只要使，即只要使 取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后全部的项都满意 依据极限的定义，证得 八（本题满分12分） 设,b是两个实数， A=(x,y)|x=n,y=n+b,n是整数， B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数， C=(x,y)|x2+y2144， 是平面XOY内的点集合，探讨是否存在和b使得 （1）AB（表示空集）， （2）（,b)C 同时成立 解：假如实数和b使得（1）成立，于是存在整数m和n使得 (n,n+b)=(m,3m2+15), 即 由此得出，存在整数n使得n+b=3n2+15, 或写成n+b

8、-(3n2+15)=0 这个等式表明点P（,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上，记从原点到直线L的距离为d，于是 当且仅当时上式中等号才成立由于n是整数，因此，所以上式中等号不行能成马上 因为点P在直线L上，点P到原点的距离必满意 而（2）成立要求2+b2144，即由此可见使得（1）成立的和b必不能使（2）成立 所以，不存在实数和b使得（1），（2）同时成立 九（附加题，本题满分10分，） 已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值 解：已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y=3x2-12

9、x+11 在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是 y|x=x0=3x02-12x0+11 点P处切线方程是 y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0 设这切线与y轴的截距为r，则 r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6 依据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间0，2上的最小值因为 r=-6x02+12x0=-6x0(x0-2) 当0x02时r0，因此r是增函数，故r在区间0，2的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小 这个最小值是r最小值=-6 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页