高中数学教学案例设计.docx

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1、高中数学教学案例设计 中学数学教学案例设计 12、随意角的三角函数（1） 一、教学内容分析： 高一年一般中学课程标准教科书数学（必修4）（人教版A版）第12页1.2.1随意角的三角函数第一课时。 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究随意角的三角函数的生成过程，从而很好理解随意角的三角函数的定义。在课程标准中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。课程标准还要求我们借助单位圆去理解随意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解

2、决具有改变规律的问题中的作用。 二、学生学习状况分析 我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推动”的做法，忽视了学问的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的爱好。我们虽然刻意地去变更教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与纯洁之味。所以如何进行一般中学数学课程标准(试验)(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思索探究。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的学问迁移到学习随意角的三角函数的定义中？ 一般中学数学课程标准(试验)解读中在三角函数的教学中，老师应当关注以下两点： 第一

3、、依据学生的生活阅历，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季改变等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，相识周期现象的改变规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。 第 二、注意三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期改变的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是课程标准在三角函内容处理上的一个突出特点。 依据课程标准的指导思想，随意角的三角函数的教学应当帮助学生解决好两个问题： 其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型； 其二：借助单位圆理解随意角三角函数的定义并相识其定义域、函数值的符号。 三、设计理念： 本

4、节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，变更课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，提倡学生主动参加，乐于探究，勤于动手，培育学生学生收集和处理信息的实力，获得新学问的实力，分析与解决问题的实力以及沟通合作的实力。 四、教学目标： 1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向随意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究随意角的三角函数的生成过程，从而很好理解随意角的三角函数的定义； 2.从随意角

5、的三角函数的定义相识其定义域、函数值的符号； 3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简洁问题。 五、教学重点和难点： 1.教学重点：随意角三角函数的定义. P2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. OA图1 详细设计如下： 六、教学过程 第一部分情景引入 问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为ho，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周须要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA动身（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 【设计意图】：中学学生已经具有丰富的生活阅历和肯定的科学学问，因此选择感爱好的、与其生活实

6、际亲密相关的素材，此情景设计应当有助于学生对学问的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向随意角三角函数过渡，揭示函数的本质。 其次部分复习回顾锐角三角函数 让学生自主思索如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？” 【分析】：作图如图2很简单知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知AOP=300，作PH垂直地面交OA于M，又知MHho，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM。 要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。 问题2：锐角a的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很简

7、单得到 sina=|MP|MP|=|MP|=Rsina|PH|=h0+Rsina |OP|R图2 POMABNHPOaMh=h0+Rsina 所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h为多少？” h1=h0+Rsin300 h2=h0+Rsin450 Y【老师总结】：t在锐角的范围中， 0POMAXh=h0+Rsint0 第三部分引入新课 问题3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想h=h0+Rsint0？ B【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到随意角的正弦。今日我们就要来学习随意角的三函数角函数。 问题4：如图建立直角坐标系，设点

8、P(xP,yP)，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角a的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？ 【学生自主探究】：sina=|MP|yP= R|OP|cosa=|MP|yP|OM|xP=，tana= =|OM|xP|OP|R问题5：变更终边上的点的位置，这三个比值会变更吗？为什么？ 【分析】：先由学生回答问题，老师再引导学生选几个点，计算比值，获得详细相识，并由相像三角形的性质证明。 【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的变更而变更，只与角有关系。 通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。 问题6：大家依

9、据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出其次象限角的定义呢？ 【学生自主探究】：学生通过上面已知学问得到sina=|MP|yP= R|OP|PxyO学生定义好其次象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h？ 通过摩天轮知道：h=h0+Rsin1500=h1=h0+Rsin300 由此得到：sin1500= |MP|yP=在其次R|OP|12图3【设计意图】：通过这个，让学生检验sina=象限角是否正确？ 问题7：sina=|MP|在第三象限角或第四象限能成立吗？ |OP|【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发觉正、负符号的偏差。 （可以让学生取t

10、=210，从而h=h0+Rsin2100,得到sin2100-，发觉这与sina=|MP|-|MP|不相符，事实上是sina=） |OP|OP|12【老师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型h=h0+Rsint0来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到随意角，对于随意角的正弦不能只是依靠于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应当用点P的横坐标来代替|MP|或-|MP|，那么这样就能够很好表示出正弦的函数随意角的定义。 第三部分给出随意角三角函数的定义 如图3,已知点P(x,y)为角a终边上的点，点P到顶点O的距离为R，则 s

11、ina=y （aR） Rx （aR） Ryp （a+kp） x2cosa=tana=【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验随意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。 问题8：当摩天轮的半径R1时，三角函数的定义会发生怎样的改变。 【学生自主探究】：sina=y，cosa=x，tana=y。 x老师引导学生进行对比，学生通过对比发觉取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。 老师进一步给出单位圆的定义 给出下列表格，让学生自己补充完整。 三角函数 定义一：|OP|=1 定义二： |OP|=R 定义域 sina y y Rx RaR cosa x y xaR p2tana y xa+

12、kp 刚好归纳总结有利学生对所学学问的巩固和驾驭。 第三部分例题讲解 例1.（课本P14例2）已知角a终边经过点P0(-3,-4)，求角a的正弦、余弦和正切值。 【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。 例2.（课本P14例1）求 5p的正弦、余弦和正切值。 3【学生自主探究】：让学生自己思索并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发觉本题的难点。 【老师讲解】：本题题意很简洁，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领悟清晰（随意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利 PMOxy图4用单位圆找到这个点P，如图4

13、可以知道POM=象限，得到P(,-12p3，又点P在第四 3)，这样就可以很简单得到本题答案。 2不妨让学生取R=|OP|=4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。 第四部分巩固练习 练习1.例2变式求 7p的正弦、余弦和正切值。 6练习2.问题9：通过视察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。 【设计意图】：练习 1、练习2的设计与例 2、例3连接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义动身利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角

14、函数的有关问题的思想方法。并在特别情形中体会数形结合的思想方法。 第五部分小结与作业 学生自我总结 作业：P23习题1.2A组 1,2,3 七、教学反思 上述教学设计及详细教学实施过程我认为有以下几点意义： 1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在随意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟识的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律详细到抽象，现象到本质，特别到一般，这样有利学生的思索。 2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向随意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。 3.通过问题引导学生自主探究随意角的三

15、角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧学问的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在学问中的思想方法和探讨性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维实力、情感看法与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一样的。 4.标准把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出学问的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的实力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些

16、数学模式作出思索和推断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去视察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生相识到数学原来就来自身边的现实世界, 是相识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和实力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信念。 中学数学教学案例设计 中学数学教学案例 中学数学教学案例 中学数学教学案例 中学数学教学案例 中学数学教学案例 中学数学案例 中学数学教学案例反思 中学数学教学案例探讨 中学数学教学案例分析 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页