第五节 奈魁斯特稳定判据.ppt

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1、2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,1,第五节 奈魁斯特稳定判据,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,2,主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据在、 型系统中的应用在波德图上判别系统稳定性,奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,3,一、幅角定理：,设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。,闭环传递函数为： ，如下图所示：,令,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,4,显然，辅助方程即是闭环

2、特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：,由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,5,F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ， 称为 在F(s)平面上的映射。,同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。,例辅助方程为： ，则s平面上 点（-1，j1），映射到F(s

3、)平面上的点 为（0，-j1）,见下图：,即:S平面上的点,将按(d)式映射到F(S)平面上的相应点；零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,6,同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图：,曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。,再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个

4、零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。,这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,7,柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,8,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,9,二、奈魁斯特稳定判据：,对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，

5、只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：,如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,10,这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系

6、？,它可分为三部分：部分是正虚轴， 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； ；部分是负虚轴， 。,第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径（轨线）。如下图：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,11,F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。,得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。

7、,第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 ， 为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,12,F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。,奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1；第部分的映射对应 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关于实轴的对称。,F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。,由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时， ，即F(s)

8、=1。（对应于映射曲线第部分）,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,13,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,14,根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈魁斯特稳定判据。,奈魁斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N0顺时针，N=1时，包围(-1,j0)点，k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1，而 ，则 闭环系统是稳定的。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,19,当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，

9、属临界稳定状态。,当k0，闭环系统不稳定。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,40,当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画 这一段频率变化范围的相角变化曲线。,例如,系统闭环不稳定。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,41,五、最小相位系统的奈氏判据：,开环频率特性 在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=0。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,42,小结,柯西幅角定理。满足该定理的条件。N=z-p 辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。 奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；、型系统的奈氏路径及其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。 对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。,