选修课数学实验与建模matlab作业.docx

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1、选修课数学实验与建模matlab作业 试验一 一元函数微分学 试验1 一元函数的图形（基础试验） 试验目的 通过图形加深对函数及其性质的相识与理解, 驾驭运用函数的图形来视察和分析 函数的有关特性与改变趋势的方法,建立数形结合的思想; 驾驭用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形 1.1 作出函数y=tanx和y=cotx的图形视察其周期性和改变趋势. x=-2*pi:0.1:2*pi; y1=tan(x); y2=cot(x); plot(x,y1,x,y2); axis(-10,10,-10,10) 1. 2将函数y=sinx,y=x,y=arcsinx的图形作在同一坐标系

2、内, 视察干脆函数和反函数的图形间的关系.x1=-2*pi:0.1:2*pi; y1=sin(x1); y2=x1; x2=-1:0.1:1; y3=asin(x2); plot(x1,y1,x1,y2,x2,y3); axis(-5,5,-5,5) 1.3给定函数 5+x2+x3+x4 f(x)=5+5x+5x2(a) 画出f(x)在区间-4,4上的图形; x=-4:0.1:4; y=(5+x.2+x.3+x.4)./(5+5*x+5*x.2); plot(x,y); axis(-4,4,-4,4) (b) 画出区间-4,4上f(x)与sin(x)f(x)的图形.x=-4:0.1:4; y1

3、=(5+x.2+x.3+x.4)./(5+5*x+5*x.2); y2=sin(x).*y1; plot(x,y1,x,y2); axis(-4,4,-4,4) 1.4 在区间-1,1画出函数y=sinx=-1:0.01:1; y=sin(1./x); plot(x,y) 1.5 作出以参数方程x=2cost,y=sint(0t2p)所表示的曲线的图形.t=0:0.1:2*pi; x=2*cos(t); y=sin(t); plot(x,y,0,x,x,0) 1.6分别作出星形线x=2co3ts,y=2si3tn(0t2p)和摆线x=2(t-sint), 1的图形.xy=2(1-cost)(0

4、t4p)的图形. 程序1：t=0:0.1:2*pi; x=2*cos(t).3; y=2*sin(t).3; plot(x,y) 程序2：t=0:0.1:4*pi; x=2*(t-sin(t); y=2*(1-cos(t); plot(x,y); axis(0,4*pi,0,5) x(t)=costcos5t1.7 画出参数方程的图形： y(t)=sintcos3tt=-pi/2:0.01:pi/2; x=cos(t).*cos(5*t); y=sin(t).*cos(3*t); plot(x,y) 1.8 作出极坐标方程为r=2(1-cost)的曲线的图形.t=-2*pi:0.1:2*pi;

5、 r=2*(1-cos(t); polar(t,r) 1 1.9 作出极坐标方程为r=et/10的对数螺线的图形. t=-2*pi:0.1:2*pi; r=exp(t./10); polar(t,r) 1.10作出由方程x3+y3=3xy所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线).ezplot(x3+y3-3*x*y) 1.11 分别作出取整函数y=x和函数y=x-x的图形.程序1：ezplot(y-fix(x),-5,5); grid on; 程序2：ezplot(y-x+fix(x),-5,5); Grid on; 1.12 作出符号函数y=sgnx的图形.ezplot(y-sign(x),-5

6、,5); grid on 2 12xsin,x01.13作出分段函数f(x)=的图形.x0,x=0 plot(-4:0, ones(length(-4:0)*(-1),-,0,ones(length(0)*0,0:4,ones(length(0:4)*1) axis(-5 5 -2 2) 1.14 制作函数sincx的图形动画, 视察参数c对函数图形的影响.x=0:0.1:2*pi; for i=1:30; y=sin(i*x); plot(x,y); grid on; pause(0.1); end 1.15作出函数f(x)=x2+sincx的图形动画,视察参数c对函数图形的影响. x=-2

7、*pi:0.1:2*pi; for b=1:100;c=0.1*b;y=x.2+sin(c*x); plot(x,y); temp=c=,num2str(c); title(temp); grid on;pause(0.1);end 试验2 极限与连续（基础试验） 试验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解.驾驭用 Matlab画散点图, 以及计算极限的方法.深化理解函数连续的概念,熟识几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质. 3 作散点图 2.1 视察数列nn的前100项改变趋势.n=1:100; x=nthroot(n,n); stem(n

8、,x) 12.2通过动画视察当n时数列an=2的改变趋势. nfor n=1:inf an=1/n.2; plot(n,an,o); grid on; hold on; end 2.3 设x1=2,xn+1=2+xn.从初值x1=2动身, 可以将数列一项一项地计算出来. format long,x=20.5; for i=1:10 x=(2+x).0.5 end x = 1.84775906502257 x = 1.96157056080646 x = 1.99036945334439 x = 1.99759091241034 x = 1.99939763739241 x = 1.999849

9、40367829 x = 1.99996235056520 x = 1.99999058761915 x = 1.99999764690340 x = 1.99999941172576 2.4在区间-4,4上作出函数f(x)=究 xx3-9x的图形, 并研x3-xlimf(x) 和 limf(x). x1x=-4:0.1:4; y=(x.3-9*x)./(x.3-x); plot(x,y); 4 grid on; syms x; limit(x.3-9*x)./(x.3-x),x,inf) limit(x.3-9*x)./(x.3-x),x,1) ans =1 ans =NaN 12.5视察函

10、数f(x)=2sinx当x+时的改变趋x势.x=0:0.1;inf; y=1/x.2.*sin(x); plot(x,y) 1112.6设数列xn=3+3+L+3.计算这个数列的12n前30项的近似值.作散点图, 视察点的改变趋势. sum=0; for n=1:30 sum=sum+1/(n3); plot(n,sum,o); grid on; hold on; end 13xn-1+.可以证明:这个数列的极限是3.计算这个数列的前 2xn-130项的近似值.作散点图, 视察点的改变趋势.2.7定义数列x0=1,xn= tempn=1; for n=1:29 tempn=(tempn+3/t

11、empn)/2; plot(n,tempn,o); grid on; hold on; end 2.8计算极限 11x2(1)limxsin+sinx (2)limx x0x+exxtanx-sinx (4)limxx (3)lim3x+0x0xlncotx (6)limx2lnx (5)limx+0x+0lnx3x3-2x2+5sinx-xcosx (8)lim(7)limx5x3+2x+1x0x2sinx 5 e-e-2xsinx1-cosx (10)lim (9)limx0xx0x-sinx syms x; (1)limit(x.*sin(1./x)+1./x*sin(x),x,0)=1

12、 (2)limit(x.2)/exp(x),x,+inf)=0 (3)limit(tan(x)-sin(x)./x.3,x,0)=1/2 (4)limit(x.x,x,+0)=1 (5)limit(log(cot(x)/log(x),x,+0)=-1 (6)limit(x.2*log(x),x,+0)=0 (7)limit(sin(x)-x.*cos(x)/(x.2.*sin(x),x,0)=1/3 (8)limit(3*x3-2*x2+5)/(5*x3+2*x+1),x,0)=5 (9)limit(exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x),x,0)=2 (10)limit(

13、sin(x)/x)(1/(1-cos(x),x,0)= 1/exp(1/3) x-x1试验3 导数（基础试验） 试验目的 深化理解导数与微分的概念, 导数的几何意义.驾驭用Matlab求导数与高 阶导数的方法.深化理解和驾驭求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法. 导数概念与导数的几何意义 3.1作函数f(x)=2x3+3x2-12x+7的图形和在x=-1处的切线.syms x; diff(2*x3+3*x2-12*x+7) y=6*x2+6*x-12; x=-4:0.1:4; y1=2*x.3+3*x.2-12*x+7; y2=-12*(x+1)+20; plot(x,y1

14、,x,y2) 13.2求函数f(x)=sinaxcosbx的一阶导数.并求f. a+bsyms a b x; diff(sin(a*x)*cos(b*x) function y=f1(x) syms a b real; y=cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b; y=f1(1/(a+b) ans = cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b y = cos(a/(a+b)*a*cos(b/(a+b)-sin(a/(a+b)*sin(b/(a+b)*b 3.3求函数y=x10+2(x-10)9的1阶到11阶导数.sy

15、ms x; for n=1:11; diff(x10+2*(x-9)9,x,n) end ans = 6 10*x9+18*(x-9)8 ans = 90*x8+144*(x-9)7 ans = 720*x7+1008*(x-9)6 ans = 5040*x6+6048*(x-9)5 ans = 30240*x5+30240*(x-9)4 ans = 151200*x4+120960*(x-9)3 ans = 604800*x3+362880*(x-9)2 ans = 1814400*x2+725760*x-6531840 ans = 3628800*x+725760 ans = 362880

16、0 ans = 0 3.求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数 3.4求由方程2x2-2xy+y2+x+2y+1=0确定的隐函数的导数.syms x y; f=2*x2-2*x*y+y2+x+2*y+1; dx=diff(f,x);dy=diff(f,y);dy_dx=-dx/dy dy_dx =(-4*x+2*y-1)/(-2*x+2*y+2) 3.5求由参数方程x=etcost,y=etsint确定的函数的导数.syms t;x=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t) dy_dx = (exp(t)*sin(t)+

17、exp(t)*cos(t)/(exp(t)*cos(t)-exp(t)*sin(t) 拉格朗日中值定理 3.6对函数f(x)=x(x-1)(x-2),视察罗尔定理的几何意义. (1) 画出y=f(x)与f(x)的图形, 并求出x1与x2. (2)画出y=f(x)及其在点(x1,f(x1)与(x2,f(x2)处的切线.syms x; diff(x*(x-1)*(x-2) solve(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) x=-2:0.1:4; y1=x.*(x-1).*(x-2); y2=(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); plot(x,y1,x,y2

18、) x=0:0.1:2; y1=x.*(x-1).*(x-2); y2=0.3849+0*x; y3=-0.3849+0*x; plot(x,y1,x,y2,-,x,y3,-) axis(0 2 -0.5 0.5) ans = 7 1+1/3*3(1/2) 1-1/3*3(1/2) 3.7 对函数f(x)=ln(1+x)在区间0,4上视察拉格朗日中值定理的几何意义.(1) 画出y=f(x)及其左、右端点连线的图形; f(4)-f(0)(2)画出函数y=f(x)-的曲线图, 并求出x使得 4-0f(4)-f(0)f(x)=. 4-0(3)画出y=f(x),它在x处的切线及它在左、右端点连线的图形

19、. syms x; f=log(1+x); x=0:0.01:4; plot(x,eval(f); hold on; line(0,4,0,eval(sym(log(5),color,r,linewidth,2); y=diff(f)-sym(log(5)/4; ezplot(y); k=sym(log(5)/4; X=solve(y); b=log(1+eval(X); plot(x,eval(k)*(x-eval(X)+b,r); hold off; axis(0,4,0,1.7); grid on; title(拉格朗日中值定理); gtext(y=,char(f); gtext(y=,

20、char(y); gtext(切线); 3.8求下列函数的导数: (1) y=e3x+1xp; (2) y=lntan(+); 24(1)syms x; diff(exp(x+1)(1/3) ans =1/3/(x+1)(2/3)*exp(x+1)(1/3) (2)syms x; 8 diff(log(tan(x/2+pi/4) ans =(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)2)/tan(1/2*x+1/4*pi) 3.9求下列函数的微分: (1) y=2; (2) y=ln(x+x2+a2).(1)syms x; diff(2(-1/cos(x) ans =-2(-1/cos

21、(x)/cos(x)2*sin(x)*log(2) (2)syms x; syms a real; diff(log(x+(x2+a2)0.5) ans =(1+1/(x2+a2)(1/2)*x)/(x+(x2+a2)(1/2) 3.10求下列函数的 一、二阶导数: (1) y=lnf(x); (2) y=f(ex)+ef(x).ans= 1/f(x)*f(x) -1/(f(x)2*f(x) 3.11求下列函数的高阶导数: (1) y=xsinhx,求y(100); (2) y=x2cosx,求y(10); (1) syms x; diff(x*sinh(x),100) ans =100*co

22、sh(x)+x*sinh(x) (2) syms x;diff(x2*cos(x),10) ans =90*cos(x)-20*x*sin(x)-x2*cos(x) 3.18求由下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数: (1) lnx+e-yx-1cosx=e; (2) arctany=lnx2+y2.x(1) syms x y; f=log(x)+exp(-y/x)-exp(1); fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dy_dx=-fx/fy ans =-(-1/x-y/x2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x) (2) syms x y; f=atan(y/x)

23、-log(x2+y2)0.5); fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dy_dx=-fx/fy; simplify(dy_dx) ans =(y+x)/(x-y) 3.19求由下列参数方程确定的函数的导数: 6tx=,31+t3x=cost,(1) (2) 236ty=sint;y=.1+t3 (1) syms t; x=diff(cos(t)3,t); 9 y=diff(sin(t)3,t); dy_dx=y/x ans =-sin(t)/cos(t) (2) syms t; x=diff(6*t/(1+t3),t); y=diff(6*t2/(1+t3),t); dy_

24、dx=y/x; simplify(dy_dx) ans =t*(-2+t3)/(-1+2*t3) 试验4 导数的应用（基础试验） 试验目的 理解并驾驭用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线 的曲率圆和曲率的概念.进一步熟识和驾驭用Matlab作平面图形的方法和技巧.驾驭用 Matlab求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法.求函数的单调区间 4.1求函数y=x3-2x+1的单调区间.syms x; diff(x3-2*x+1) solve(3*x2-2) ans =3*x2-2 ans =1/3*6(1/2) -1/3*6(1/2) 求函数的极

25、值 x4.2求函数y=的极值.1+x2syms x; diff(x/(1+x2) solve(1/(1+x2)-2*x2/(1+x2)2) ans =1/(1+x2)-2*x2/(1+x2)2 ans = 1 -1 求函数的凹凸区间和拐点 14.3 求函数y=的凹凸区间和拐点.1+2x2syms x; diff(1/(1+2*x2),2) solve(32/(1+2*x2)3*x2-4/(1+2*x2)2) x=-1:0.1:1; y1=32./(1+2*x.2).3.*x.2-4./(1+2*x.2).2; y2=0*x; plot(x,y1,x,y2,-) ans = 32/(1+2*x2

26、)3*x2-4/(1+2*x2)2 ans = 1/6*6(1/2) -1/6*6(1/2) 10 4.4 已知函数 16254x-2x5-x+60x3-150x2-180x-25, 22在区间-6,6上画出函数f(x),f(x),f(x)的图形, 并找出全部的驻点和拐点. disp(输入函数（自变量为x）); f(x)=syms x; f=input(函数f(x)=); df=diff(f); cdf=char(df); a=; count=0; clf; if(strfind(cdf,x) sf=solve(df); ezplot(df); gtext(y=,char(df); disp(

27、y=,char(df); count=count+1; legend(一阶导); hold on; for i=1:size(sf); a(i)=sf(i); end a=sort(a); if(numel(a)=0&numel(a)=1&numel(a)=inf) for i=1:numel(sf); strstart=-inf; strend=+inf; if(i=1) x=a(i)-1; x0=Eval(df); strend=num2str(a(i); if(x0 end end if(i=numel(sf) x=a(i)+a(i-1); x0=Eval(df); x=a(i)+1;

28、x1=Eval(df); strstart=num2str(a(i); x=a(i); y=Eval(f); else if(i=1) x=a(i)-1; else x=a(i)-a(i-1); 11 end x0=Eval(df); x=(a(i)+a(i+1)/2; x1=Eval(df); strstart=num2str(a(i); strend=num2str(a(i+1); x=a(i); y=Eval(f); end if(x1 if(x00) disp(驻点：极大值,x=,num2str(a(i),y=,num2str(y); end else disp(单调增区间,strst

29、art,strend,); if(x0 end ddf=diff(df); cddf=char(ddf); if(strfind(cddf,x) f=solve(ddf); ezplot(ddf); gtext(y=,char(ddf); disp(y=,char(ddf); count=count+1; b=; for i=1:size(f); b(i)=f(i); end b=sort(b); if(numel(b)=0&numel(b)=1&numel(b)=inf) for i=1:numel(f); strstart=-inf; strend=+inf; end end end if

30、(i=1) x=b(i)-1; x0=Eval(ddf); strend=num2str(b(i); if(x0 disp(单调凸区间,strstart,strend,); disp(拐点,x=,num2str(b(i); else disp(单调凹区间,strstart,strend,); disp(拐点,x=,num2str(b(i); end end if(i=numel(f) x=b(i)+b(i-1); 12 x0=Eval(ddf); x=b(i)+1; x1=Eval(ddf); strstart=num2str(b(i); else if(i=1) x=b(i)-1; else

31、 x=b(i)-b(i-1); end x0=Eval(ddf); x=(b(i)+b(i+1)/2; x1=Eval(ddf); strstart=num2str(b(i); strend=num2str(b(i+1); end if(x1 disp(单调凸区间,strstart,strend,); disp(拐点,x=,num2str(b(i); else disp(单调凹区间,strstart,strend,); disp(拐点,x=,num2str(b(i); end end end elseif(numel(b)=1) disp(拐点,x=,num2str(b(1); end end

32、 if(min(a)=|max(a)=) ezplot(f,min(a)-1,max(a)+1); else ezplot(f); gtext(y=,char(f); disp(y=,char(f); count=count+1; end switch count case 3 legend(一阶导,二阶导,原函数); case 2 legend(一阶导,原函数); case 1 legend(原函数); end title(连续函数的性质); grid on; hold off; 运行结果：输入函数（自变量为x） 函数f(x)=x6/2-2*x5-25*x4/2+60*x3-150*x2-1

33、80*x-25 y=3*x5-10*x4-50*x3+180*x2-300*x-180 单调增区间-inf,-0.4591 单调减区间-0.4591,1.5529-1.8228i 13 驻点：极大值x=-0.4591,y=19.7063 单调减区间1.5529-1.8228i,1.5529+1.8228i 驻点：极大值x=1.5529-1.8228i,y=-378.8847+558.3244i 单调增区间1.5529+1.8228i,-4.4431 驻点：微小值x=1.5529+1.8228i,y=-378.8847-558.3244i 单调减区间-4.4431,5.1297 驻点：极大值x=

34、-4.4431,y=-5010.7825 单调增区间5.1297,+inf 驻点：微小值x=5.1297,y=-3445.4274 y=15*x4-40*x3-150*x2+360*x-300 单调凸区间-inf,0.96967-0.77693i 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间0.96967-0.77693i,0.96967+0.77693i 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间0.96967+0.77693i,-3.2539 拐点x=0.96967+0.77693i 单调凸区间-3.2539,3.9812 拐点x=-3.2539 单调凹区间3.9812,

35、+inf 拐点x=3.9812 y=1/2*x6-2*x5-25/2*x4+60*x3-150*x2-180*x-25 求极值的近似值 4.5求函数y=2sin2(2x)+5xxcos2的位于区间(0,p)内的极值的近似值.22即得到函数-y的两个微小值和微小值点.再转化成函数y的极大值和极大值点.两种方法的结 果是完全相同的.function y=f(x) y=2*sin(2*x)*sin(2*x)+5/2*x*cos(x/2)*cos(x/2); ezplot(y,0,pi); grid; x=fminbnd(f1(x),0.5,2.5) f1(x) x=fminbnd(-f1(x),0,

36、pi) f1(x) x=fminbnd(-f1(x),1.5,pi) f1(x) 微小值点x = 1.6239 ans = 1.9446 极大值点x = 0.8642 ans = 3.7323 极大值点x = 2.2449 ans = 2.9571 14 项目二 一元函数积分学与空间图形的画法 试验1 一元函数积分学(基础试验) 试验目的 驾驭用Matlab计算不定积分与定积分的方法.通过作图和视察, 深化理解 定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用 定积分解决各种问题的实力. 用定义计算定积分 当f(x)在a,b上连续时, 有 因此可将 bab-

37、af(x)dx=limnnb-ank=0n-1(b-a)b-afa+k=limnnnna+kfk=1n(b-a) nk=0n-1(b-a)b-afa+k 与 nna+kfk=1(b-a) n作为baf(x)dx的近似值. 1.1 计算1sin0xxdx的近似值.fun=inline(sin(x)./x,x);y=quad(fun,0,1) y =0.9461 1.2 用定义求定积分示.bax2dx的动画演m=moviein(10) for a=1:10 for n=20:30 x=linspace(0,4,n+1); y=x.2; for i=1:n fill(x(i),x(i+1),x(i+

38、1),x(i),0,0,y(i),y(i),b) hold on end plot(x,y) m(:,a)=getframe; end movie(m,1,1) end 不定积分计算 1.3求x2(1-x3)5dx.syms x; int(x2*(1-x3)5) 15 ans = -1/18*x18+1/3*x15-5/6*x12+10/9*x9-5/6*x6+1/3*x3 1.4求sinxdx.xsyms x;int(sin(x)*x) ans = sin(x)-x*cos(x) 定积分计算 1.5 求4010(x-x2)dx. syms x;int(x-x2,0,1) ans = 1/6

39、1.6 求|x-2|dx. syms x;int(abs(x-2),0,4) ans = 4 变上限积分 1.7 画出变上限函数形.syms t;int(t*(sin(t)2,0,x) x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=x.*(sin(x).2; y2=-1/2*x.*cos(x).*sin(x)+1/4*x.2+1/4*sin(x).2; plot(x,y1,x,y2) 求平面图形的面积 1.8 设f(x)=e-(x-2)cospx和g(x)=4cos(x-2).计算区间0,4上两曲线所围成的平面的面 积. fun=inline(abs(exp(-(x-2).2).*cos(pi*x)

40、-4*cos(x-2),x);y=quad(fun,0,4) y = 6.4774 求平面曲线的弧长 1.9 f(x)=sin(x+xsinx),计算(0,f(0)与(2p,f(2p)两点间曲线的弧长.fun=inline(1+(cos(x+sin(x).*(1+cos(x).2).0.5,x);y=quad(fun,0,2*pi) y = 7.9062 求旋转体的体积 1.10 求曲线g(x)=xsin2x(0xp)与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋 转体体积. fun=inline(pi*(x.*(sin(x).2).2,x);y=quad(fun,0,pi) fun=inline(2*pi*x.2.*(sin(x).2),x);y=quad(fun,0,pi) y =9.8629 y =27.53