求三角函数值域及最值的常用方法+练习题(共12页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上求三角函数值域及最值的常用方法(一) 一次函数型或利用:化为一个角的同名三角函数形式,利用三角函数的有界性或单调性求解; (2), (3)函数在区间上的最小值为 1 (4)函数且的值域是 (二) 二次函数型利用二倍角公式,化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法、 换元及图像法求解。 (2)函数的最大值等于 (3).当时,函数的最小值为 4 (4).已知k4,则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是 1 (5).若,则的最大值与最小值之和为_2_(三) 借助直线的斜率的关系,用数形结合求解型如型。此类型最值问题可考虑如下几种解法:转化为再利用辅助角公式
2、求其最值;利用万能公式求解;采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。例1:求函数的值域。解法1:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象,当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值,由几何知识,易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知,此函数的值域是。解法2:将函数变形为,由,解得:,故值域是解法3:利用万能公式求解:由万能公式,代入得到则有知:当,则,满足条件;当,由,故所求函数的值域是。解法4:利用重要不等式求解:由万能公式,代入得到当时,则,满足条件;当时,如果t 0,则,此时即有;如
3、果t 0,则,此时有。综上:此函数的值域是。例2.求函数的最小值解法1:(利用三角函数的有界性求解)原式可化为,得,即,故,解得或(舍),所以的最小值为解法2:(从结构出发利用斜率公式,结合图像求解)表示的是点与连线的斜率,其中点B在左半圆上,由图像知,当AB与半圆相切时,最小,此时,所以的最小值为(四) 换元法代数换元法代换:令:再用配方. 例题:求函数的最大值 解:设,则,则,当时,有最大值为(五) 降幂法型如型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为再利用辅助角公式求出最值。例1:求函数的最值,并求取得最值时x的值。分析:先化简函数,化成一个角的一种函数再由正弦,余弦函数的有界性
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- 三角函数 值域 常用 方法 练习题 12
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