二次根式提高培优(共30页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上知识点一：二次根式的概念【知识要点】 1.二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义 2. 3. 公式与的区别与联系.（1） 表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的精典考题类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A B C D2、二次根式有意义时的的取值范围是 。3、已知： ，则= 。类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）4、代数式的最大值是 。 （图1）5、实数在数轴上的位置如图1所示，化

2、简。6、把的根号外的因式移到根号内得 ；的平方根是 。7、化简： ； 。8、若y=+2009，则x+y= 9、若x、y都是实数，且y=，求xy的值。10、 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。11、若，求的值。12、若1995-a+=a，求a-19952的值13、 若-3x2时，试化简x-2+。已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。若的整数部分是a，小数部分是b，则 。若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，

3、可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3）和的运算结果都是非负的【典型例题】 【例4】若则 举一反三：1、若，则的值为 。2、已知为实数，且，则的值为（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为.4、若与互为相反数，则。 （公式的

4、运用）【例5】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式: = ；= 2、 化简：3、 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】 【例16】化简(1) (2)

5、(3) (4)() (5) 【例17】计算（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【例18】化简： (1) (2) (3) (4) 【例19】计算：(1) (2) (3) （4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】 【例2

6、0】计算（1）； （2）；（3）； （4）【例21】 （1） （2）（3） （4）（5） （6）知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】 1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】 1、 2、 (2+43)3、 （-4） 4、5、） 6、 7、 8、【例21】 1已知：，求的值2已知，求的值。3已知：，求的值4求的值5已知、是实数，且，求的值知识点八：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有

7、理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 【典型例题】 【例22】 比较与的大小。（用两种方法解答）【例23】比较与的大小。【例24】比较与的大小。【例25】比较与的大小。【例26】比较与的大小 二次根式典型习题集 一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）（二）最简二次根式1把二次根式（y0）化为

8、最简二次根式结果是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对2化简=_（x0） 3a化简二次根式号后的结果是_4. 已知0，化简二次根式的正确结果为_（三）同类二次根式1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和2在、3、-2中，与是同类二次根式的有_3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值4.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值（四） “分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_2.把下列各式的分母有理化 （1）； （2）； （3）； （4）二、二次根式有意义的条件： 1（1）当x是多

9、少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数3已知y=+5，求的值4若+有意义，则=_5. 若有意义，则的取值范围是 。6要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2)(3)(4)(5) (6)三、二次根式的非负数性1若+=0，求a2004+b2004的值2已知+=0，求xy的3.若，求的值。a0a0四、 的应用1 a0时，、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A=- B- C=2先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人

10、的解答如下： 甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_3若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）4. 若-3x2时，试化简x-2+。5化简a的结果是（ ） A B C- D-6把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D-五、求值问题:1.当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值2已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值4已知4x2+y2-4x-

11、6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值5已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01）6先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=277当x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示）8. 已知，求的值。六、其他1等式成立的条件是（ ） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1或x-12.已知，且x为偶数，求（1+x）的值3计算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D14.如果, 则x的取值范围是 。5.如果 , 则x的取值范围是 。6.若 ,则a的取值范围是 。7.设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是 。8.若是一个整数，则整数n的最小值是 。9.已知

12、的整数部分为a，小数部分为b，试求的值七、计算1.（-）（m0，n0） 2.-3（） （a0）3. 4. 5. 6. 八、 应用1铁路基的横截面是梯形ABCD，如图，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比为1：，求路基下底宽AB的长度2如图，扶梯AB的坡比为4；3，滑梯CD坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下到D，共经过多少路程？3如图，方格纸中小正方形的边长为1，是格点三角形，求：（1）的面积（2）的周长；（3）点C到AB的距离。二次根式新题型近几年的中考数学试题围绕二次根式出现了许多重素质、考能力的新颖题型，归

13、纳起来，主要有以下几种。一. 开放求值题例1. 请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值。解：原式当时，原式；当时，原式。评注：将一道常规的条件求值题，稍加改编，成为开放求值题，其意境截然不同，可贵之处不但在于从更高层次上考查了学生缜密思考（改编的同时，暗设陷阱）、灵活运用知识的能力，而且体现了人文关爱，利于激发兴趣，缓解考试压力。二. 计算器操作探索题例2. 用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：，。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选_个数。解析：由于各数据的分母依次增大，故这组数据依次减小，根据题意可选前面数值较大的数据求和。由

14、计算器可求得：。至少要选5个数，故填5。例3. 借助于计算器可以求得，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想_。解析：，观察以上各式，易发现等式左端被开方数各加数的幂底数位数与等式右端的数的位数相同，于是可猜想：评注：养成正确使用计算器的习惯，能熟练地运用计算器去完成复杂的运算或探究性问题，是国家数学课程标准和数学大纲的要求。从上述两例中可看到，由于使用了计算器，避免了繁冗、重复的运算过程，大大提高了解题效率，计算器进课堂、进考场是时代的要求，学习的需要，应引起高度重视。三. 读图计算题例4. 在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽，它的主体图案是由一连串如图所示的直角

15、三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形是等腰直角三角形，且，请你先把图中其他8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。解析：观察图形可知，待求线段既是前一个直角三角形的斜边，又是后一个直角三角形的直角边，因而利用勾股定理可求出各线段的长依次为、，它们的积为。评注：解这类题的关键是结合题设读懂图，从图中获取信息，借助数形结合，就能迅速、正确地找到解题途径。四. 阅读判断题例5. 化简时，甲的解法是：；乙的解法是：以下判断正确的是（ ）A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确解析：正确答

16、案应为C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解约分法，虽然两人的思路不同，解法各异，但最后殊途同归。例6. 对于题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：乙的解答是：谁的解答是错误的？为什么？解析：解答此题的关键是对于式子脱去根号后，得到，还是。这就必须要明确是正还是负。故乙的解答是错误的。评注：这两道题格调清新，考查面宽广，从分母有理化、二次根式的性质、二次根式的化简等基础知识、基本技能到思维的灵活性、深刻性、批判性等方面都进行了考查。解答时要慎重思考，仔细甄别。这类题有利于学生养成对待问题认真负责、一丝不苟的态度。六. 归纳、猜想题例7. 观察下列各式：你能得出怎样的结

17、论？并给出证明。解析：仔细观察，不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的整数、根号内的分数的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得结论为（ ）证明：评注：归纳、猜想题，常常是从简单情形入手，通过对若干特例的观察、分析，从中类比、归纳，发现其中的规律，进而猜想出具有一般规律的结论，并对结论的正确性给予验证或证明。七. 阅读理解题例8. 观察下列分母有理化的运算：利用上面的规律计算：_。解析：要计算的式子有两个因式，第一个因式可根据题中给出的规律求得例9. 阅读下面的问题及解答：问题：化简解：设则原式从上面的解答可以看出，一个很复杂的根式，化简的结果却是个简单的有理数，做完这道

18、习题后，现在请你当一回老师，编四个类似的二次根式的化简题，要求满足以下两个条件：（1）题目是由这三个无理数（或是其中两个）经过各种运算组成的（每题要包含加、减、乘、除、乘方几种运算中的一种或几种运算，如等，在你编出的四道题中，不能漏掉了五种运算中的某一种运算）。（2）化简的结果是一个有理数。解析：阅读材料介绍了解决本题的一个方法构造共轭因式。因此，利用共轭因式的积、商、平方或结合其他手段来尝试编拟符合条件的二次根式化简题，如：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）评注：阅读理解题取材广泛，是考查学生基础知识及其综合素质的热门题型。它一般由两部分组成：一是阅读材料，二是考查内容。

19、根据阅读内容、考查目标的不同，又可分为许多题型。例8、例9都属于知识性阅读题，即通过阅读给出的材料，理解并掌握方法，进而应用方法解答题中设置的问题。这类题对学生的阅读理解能力、自学能力、创新应用能力等都有较高的要求。过关测试一、选择题： 1. 若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）。A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 2. 若=3，则x的取值范围是（ ）。A. x=0 B. 1x2 C. x2 D. x1 3. 二次根式、的大小关系是（ ）。A. B. C. D. 3 D. a 6. 下列各组二次根式（a0）中，属于同类二次根式的是（ ）。A. C. 7. 当0x2时，化简2

20、的结果是（ ）。A. 8. 甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：=； 乙：=。 其中，（ ）。A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确9下列运算正确的是（）ABCD10 化简的结果是() 2 C D11估计的运算结果应在A1到2之间B2到3之间C3到4之间D4到5之间12.若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是A B C D二、填空题：1. 已知a、b在数轴上的位置如图所示，ba的化简结果是_。2 若x0，y0，则成立的条件是_。来源:学科网ZXXK3. 已知m是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m可取的值有_。4. 如果xy=，xy=5

21、1，那么（x+1）（x1）的值为_。5. 已知x=12，x=_。6. 若a2，的化简结果是_。三、解答题1.计算：+（）+2.计算：（3+。来源:学科网3.如图所示，实数a，b在数轴上的位置，化简4.已知x=+1，求（）的值5对于题目“化简求值：+，其中a=”，甲、乙两个学生的解答不同 甲的解答是：+=+=+a= 乙的解答是：+=+=+a=a= 谁的解答是错误的？为什么？6. 已知a、b、c均为实数，且=c化简二次根式提高测试题一、选择题1使有意义的的取值范围是（ ）2一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A）（B）（C）（D）3若，则等于（ ）（A）0

22、 （B） （C） （D）0或4若，则化简得（ ）（A） （B） （C） （D）5若，则的结果为（ ）（A） （B） （C） （D）6已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）7已知下列命题：； ； 其中正确的有（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个8若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）9当时，化简等于（ ）（A）2 （B） （C） （D）010化简得（ ）（A）2 （B） （C） （D）二、填空题11若的平方根是，则12当时，式子有意义13已知：最简二次根式与的被开方数相同，则14若是的整数部分，是的小数部分，则，15已知，且，则满足上式的整数对有_16若，则17若，且成立的条件是_ 18若，则等于_ 三、解答题1 9计算下列各题：（1）； （2）20已知，求的值 21已知是实数，且，求的值.22若与互为相反数，求代数式的值.23若满足，求的最大值和最小值.专心-专注-专业