必修五基本不等式讲义(共8页).doc

《必修五基本不等式讲义(共8页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修五基本不等式讲义(共8页).doc（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上3.4 基本不等式 一、基本不等式： 1、重要不等式：2b22ab(a、bR) 当且仅当“b”时“”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“b”，如果、b不相等，则“”不成立；（2）不等式的变形 ：b b 2(2b2)(b)22、基本不等式： (、bR) 当且仅当“b”时“”成立。注意：（1）内容：0， b0，当且仅当“ab”时“”成立；（2）其中叫做正数、b的算术平均数，叫做正数、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例1：求证对于任意实数，b，c，有2b2c2bbcc，当且仅当bc时等号成立。【证明】： a2b22ab c2b22bc a2c

2、22ac 2(a2b2c2) 2ab2bc2ac ， a2b2c2abbcca当且仅当abc时等号成立。变式练习1：若01，0b1，且b，则b，2，2b，2b2中最大的一个是（ ）A：2b2 B：2 C：2b D：b变式练习2：下列不等式：（1）x2；（2）x2；（3）若01b，则logablogba2；（4）若0a1b，logablogba2。其中正确的是_。均值不等式推广： 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数当仅且当“ab”时“”成立。二、最值定理已知x、y都是正数。（1）如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2，即xy2；（2）如果和xy就定值S，那么xy时，积xy

3、有最大值，即xy。利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。应用一：求最值例2：已知函数f(x)3x(x0) （1）当x0时，求函数的最值；（2）当x0时，求函数的最值；【解析】：（1）当x0时，f(x)3x212当且仅当3x，即x2时，“”成立。（2）当x0时，x0，f(x)3x(3x)212，当且仅当3x时，即x2时，“”成立。变式练习：求下列函数的最值（1）y3x2 （2）yx应用二：凑项例3：已知x，求函数f(x)4x2的最大值。【解析】：解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。变式练习1： f(x

4、)x (x3)的最小值为_。例4：当0x4时，求f(x)x(82x)的最大值。【解析】：当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。变式练习1：设，求函数的最大值。【解析】：当且仅当即时等号成立。变式练习2： ，求函数f(x)的最大值。应用三： 分离例5：若x0，求函数f(x) 的最值。变式练习1：当x0时，则f(x)的最大值为_。变式练习2：已知x1，求函数f(x)的最小值。【解析】：当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。变式练习3：若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围为_。应用四：整体代换例6：已知，且，则的最小值是_。变式练习1：已知x0，y0，且2xy1，则的最小值为_。变式练习2：

5、已知，且，则的最小值是_。变式练习3：若函数f(x)2 (a0，a1)的图象恒过点A，若点A在直线mxny10，其中m、n均大于0，则的最小值为_。变式练习4：设x0，y0且x2y2xy0，若x2ym0恒成立，则实数m的取值范围是_。【解析】：x2y2xy0，1， 则(x2y)( )4，故m4变式练习5：已知正项等比数列满足23，若存在不同的两项、使得3，则的最小值是_。【解析】：应用四：条件最值例7：若实数满足，则的最小值是_。【解析】： 都是正数，当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6。变式练习1：若，求的最小值，并求x，y的值。【解析】：log4xlog4ylog4(xy)2，xy16

6、，当且仅当xy4时“”成立。变式练习2：已知函数f(x)4x (x0，0)在x3时取得最小值，则_。【解析】：6变式练习3：设x0，y0，z0，且xyz1，若m0恒成立，则实数m的取值范围是_。【解析】：m0恒成立，则m恒成立，则令f(x)13，故m3。应用五：换元例8：求函数f(x)的最值。【解析】：f (x) 不能用均值不等式： 2， 当且仅当，即：x241，x21，此时x没有实数解。 f (x) 令t ( t2) f (t ) t ( t2 ) 函数f(t )在上单调递增。 当t2时，f(t)有最小值 即2，x0，f(x)min变式练习1：求函数f(x)的值域。变式练习2：求函数f(x)

7、的最小值。课 后 综 合 练 习1、设、b是正实数，以下不等式：（1）；（2）bb；（3）2b24b3b2；（4）b2。恒成立的序号为（ ）A：（1）（3）； B：（1）（4）； C：（2）（3）； D：（2）（4）【解析】：D （1） （2）bb（3）23b2b24b24b24b4b4b0；2、若、b均大于1的正整数，且b100，则lglgb的最大值是（ ）A：0 B：1 C：2 D：【解析】：B3、若x0，则x的最小值是（ ）A：2 B：3 C：2 D：4【解析】：D4、已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为（ ）A： B： C： D：【解析】：C5、设0，b0若是与的等比中项，则

8、的最小值（ ）A：8 B：4 C：1 D：【解析】：B6、函数f(x)(x1)图象的最低点坐标是_。【解析】：(0，2)7、若0，b0，且x1是函数f(x)12x22x2b的零点，则b的最大值为_。【解析】：98、若正数、b满足bb3，求b的取值范围。【解析】：b99、已知x0，y0，且x21，求x的最大值。【解析】： 10、已知不等式x2x20的解集为(，x1)(x2，)，其中x10x2，则x1x2的最大值为（ ）A： B：0 C：2 D：【解析】： x10x2， x1x220 x1x2x1x224011、如图，在ABC中，D为BC的中点，E为AD上任一点，且，则的最小值为_。【解析】：12

9、、若两个正实数x，y满足1，且不等式xm23m有解，则实数m的取值范围是()A：(1，4) B：(，1)(4，) C：(4，1) D：(，0)(3，)【解析】：选B不等式xm23m有解，xminm23m，x0，y0，且1，x2224，当且仅当，即x2，y8时取等号，min4，m23m4，即(m1)(m4)0，解得m1或m4，故实数m的取值范围是(，1)(4，)13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()A：40米，10米B：20米，20米 C：30米，米D：50米，8米【解析】选C.设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y=(2x+2)200+2250+80400=400(x+)+320004002+32000=56000(元)，当且仅当x=，即x=30时等号成立，此时污水池的宽为米.专心-专注-专业