导数与函数零点问题解题方法归纳.doc

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1、 导数与函数零点问题解题方法归纳一方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究的单调性，往往需要解方程.若该方程不易求解时，如何继续解题呢在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.二解题策略类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点【例1】【2020福建南平期末】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在有两个零点，求m的取值范围.【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为，再对参数分类讨论可得；（2）依题意可得，当函数在定义域上单调递增，

2、不满足条件；当时，由（1）得在为增函数，因为，.再对，三种情况讨论可得.【解析】（1）因为，所以，即.由，得，.当时，当且仅当时，等号成立.故在为增函数.高中数学资料共享群734924357当时，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.当时，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.综上，当时，在为增函数；当时，在，为增函数，在为减函数；当时，在，为增函数，在为减函数.（2）因为，所以，当时，在为增函数，所以在至多一个零点.当时，由（1）得在为增函数.因为，.（）当时，时，时，；所以在为减函数，在为增函数，.故在有且只有一个零点.（）当时，使得，且在为减函数，在为增函数.所以，又，根据零

3、点存在性定理，在有且只有一个零点.又在上有且只有一个零点0.故当时，在有两个零点.高中数学资料共享群734924357（）当时，使得，且在为减函数，在为增函数.因为在有且只有一个零点0，若在有两个零点，则在有且只有一个零点.又，所以即，所以，即当时在有两个零点.综上，m的取值范围为【指点迷津】1.由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现时，常猜x1；当函数解析式中出现ex时，常猜x0或x.2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法【举一反三】【2020山西吕梁期末】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，若且有两个零

4、点，求的取值范围.【解析】（1）的定义域为，对于，当时，则在上是增函数.当时，对于，有，则在上是增函数.当时，令，得或，令，得，所以在，上是增函数，在上是减函数.综上，当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.（2）由已知可得，因为，所以，而，所以，所以，所以在上单调递增.所以.故有两个零点，等价于=在内有两个零点.等价于有两根，高中数学资料共享群734924357显然不是方程的根，因此原方程可化为，设，由解得，或由解得，故在上单调递减，在上单调递增.其图像如下所示：所以，所以，所以.类型二 设而不求，巧“借”零点【例2】【2015高考新课标1，文21】设函数.（I）讨论的导函数

5、的零点的个数；（II）证明：当时.【解析】（I）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.【指点迷津】本例第(2)问的解题思路是求函数的最值因此需要求的根但是的根无法求解故设出的根为，通过证明f(x)在(0，)和(，)上的单调性知，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的“设而不求”【举一反三】【2020江西赣州期末】已知函数（为自然对数的底数）在点的切线方程为.（1）求实数

6、的值；（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值.【解析】（1）令，则，得：，由题得：（2）根据题意，要证不等式对于任意恒成立，即证时，的最小值大于，高中数学资料共享群734924357令，记，当时，；当时，故即在上单调递减，在上单调递增，又，且，故存在唯一，使，故当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增，所以一方面：另一方面：由，即，得由得：，进而，所以 ，又因为是整数，所以，即.类型三 二次构造（求导），避免求根【例3】【2020重庆巴蜀中学月考】已知函数.（1）当时，求的单调增区间；高中数学资料共享群734924357（2）若，且在上有唯一的零点，求证：.【分析】（1）求出，

7、令，解不等式可得单调递增区间；（2）通过求的导函数，可得在上有两个极值点，设为，又由在上有唯一的零点可得，所以有，消去，可得，记，研究其单调性，利用零点存在性定理可得结果.【解析】（1）由已知的定义域为，当时，则，令且，则，故在上单调递增；（2）由，有，记，由，有，即在上有两个极值点，设为，不妨设，且，是的两个根，则，又在上有唯一的零点，且当时，当时，所以得，所以，两式结合消去，得，即，记，有，其在上单调递增，所以则在上恒成立，即在上单调递减，又，由零点存在定理，.【指点迷津】当导函数的零点不易求时，可以通过进一步构造函数，求其导数，即通过“二次求导”，避免解方程而使问题得解.如上面例题，从题

8、目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是求g(x)x(xx2)极值问题，问题是g(x)12x3x20这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h(x)g(x)再一次求导并解决问题所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法这种方法适用于研究函数的单调性、确定极（最）值及其相关参数范围、证明不等式等.【举一反三】【2020云南昆明一中期末】已知函数，且.（1）求；（2）证明：存在唯一极大值点，且.【解析】（1）因为,且,所以,构造函数,则,又,若,则,则在上单调递增,则当时,矛盾,舍去；若,则,则当时,则在上单调递增,则矛盾,舍去；若,则

9、,则当时,则在上单调递减,则矛盾,舍去；若,则当时,当时,则在上单调递减,在上单调递增,故,则,满足题意；综上所述,.（2）证明:由（1）可知,则,构造函数,则,又在上单调递增,且,故当时,当时,则在上单调递减,在上单调递增,又,又,结合零点存在性定理知,在区间存在唯一实数,使得,当时,当时,当时,故在单调递增,在单调递减,在单调递增,故存在唯一极大值点,因为,所以,故,因为,所以.三强化训练1.【2020安徽合肥二中月考】已知函数，则函数的零点个数为（ ）（是自然对数的底数）A6B5C4D3【答案】B【解析】时，是增函数，时，显然，由，高中数学资料共享群734924357作出和的图象，如图，

10、是增函数，在是减函数它们有一个交点，设交点横坐标为，易得，在时，时，所以在上递减，在上递增，是的极小值，也是在时的最小值，即，时，时，作出的大致图象，作直线，如图，时与的图象有两个交点，即有两个解，时，由得，而时，所以直线与在处相切即时方程有一个解，令，则，由上讨论知方程有三个解：()而有一个解，和都有两个解，所以有5个解，即函数有5个零点故选B2【2020江苏盐城期中】已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是_.【答案】高中数学资料共享群734924357【解析】 函数，若函数存在三个单调区间即0有两个不等实根，即有两个不等实根，转化为y=a与y=的图像有两个不同的交点令，即x=

11、，即y=在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增。ymin=-，当x（0，）时，y0，所以a的范围为3.【2020重庆八中月考】己知函数.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）讨论的零点的个数.【解析】（1）的定义域为，则在上单调递增又，所以当时，当时，即的单调递减区间为，单调递增区间为故的极小值为，无极大值（2）当时，由（1）知故仅有一个零点；高中数学资料共享群734924357当时，令；令，所以在上单调递增；令，所以在上单调递减，且，所以，最小值与0的比较等价于与0的大小比较，所以分三类进行讨论：当时，即时，由在上单调递减及在上单调递增，且，由零点存在定理，得在上存在唯一零点，设为所以0

12、00递增极大值递减极小值递增又及由零点存在定理，得在上存在唯一零点，设为，综上，当时，在上存在2个零点（一个为，一个为）；当时，即时，由在上单调递减及在上单调递增，且，得在上单调递增，故在上只有一个零点；当时，同理可得在上存在2个零点：一个为，一个为综上可得，当或时，有1个零点；当且时，有2个零点.4.【2020河南南阳期末】已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若的图象与直线交于，两点，且，求实数m的取值范围.【解析】(1)依题意，.若，则，故在上单调递减若，令，解得或.（i）若，则，则当时，单调递减，当时，单调递增；（ii）若，则，则当时，单调递减，当时，单调递增.综上所述，当时，在上单

13、调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)令，则由题意可知有两个大于1的实数根，显然.令，则.若，则当时，当时，要满足已知条件，必有此时无解；若，则当时，当时，要满足已知条件，必有解得.当时，在上单调递减，故函数在上有一个零点.易知，且，下证：.令，则，当时，当时，故，即，故，故，又在上单调递增，故在上有一个零点.综上所述，实数m的取值范围为.5.【2020辽宁实验中学高三期中】已知函数(1)求的单调区间；(2)若（i）证明恰有两个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且证明：.【解析】(1),因此,在和上单调递增;(2)(i),对求导得,当时,则;当时

14、,令则在上单调递增,而,故存在,使,即,且在上,在上,因此,在上单调递减,在上单调递增,所以,又,则,而,(注:取值不唯一)恰有两个零点;(ii)为的极值点,为的零点,且,故由(i)可知,并且有,则,因此,即,而当时,下面证明此结论:令,求导得,则在上时,;在上时,所以在上单调递减,在上单调递增,因此,所以,当时,那么对于有,可得,而,高中数学资料共享群734924357即.6.【2020哈尔滨呼兰一中期末】已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数没有零点，求实数的取值范围【解析】（1），. 当时，,的情况如下表：20极小值所以，当时，函数的极小值为. （2）. 当时，的情况如下表：2

15、0极小值因为F(1)=10, 若使函数F(x)没有零点，需且仅需，解得, 所以此时；10分当时，的情况如下表：20极大值因为,且，所以此时函数总存在零点. （或：当时，当时，令即由于令得，即时，即时存在零点.）综上所述，所求实数a的取值范围是.7.【2020广东深圳高三入学摸底】已知函数.（1）求函数的极小值；（2）若函数有两个零点，求证：.【解析】（1）.当时，在上为增函数，函数无极小值；当时，令，解得.若，则单调递减；若，则单调递增.故函数的极小值为.（2）证明：由题可知.要证，即证，不妨设，只需证，令，即证，要证，只需证，令，只需证，在内为增函数，故，成立.所以原命题成立.8.【2020

16、江苏南通一中月考】已知函数，.(1)求的极值；(2)若对任意的，当时，恒成立，求实数的最大值；(3)若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值范围.【解析】(1)，令，得.列表如下：10极小值，的极小值为，无极大值.(2)，由(1)可知等价于，即.设，则在为增函数.在恒成立.恒成立.设，在上恒成立为增函数.在上的最小值为.，的最大值为.(3)当时，当和时，单调递增当时，单调递减所以的极大值为所以函数至多一个零点当时，在上单调递增.当时，当和时，单调递增当时，单调递减所以的极大值为的极小值为所以函数至多有一个零点.当时，当，单调递增当时，单调递减所以：当时，即时，函数至多一个零点.：当时，所以存在

17、，所以函数在上有唯一的零点.又所以函数在上有唯一的零点.综上所述：实数的取值范围为.9.【2020山东泰安一中期末】设函数， (1)当时，求函数的单调区间；(2)当， 时，求证： . 【解析】(1)函数的定义域为，当时， ，令： ，得： 或，所以函数单调增区间为： ， .，得： ，所以函数单调减区间为， .(2)若证， 成立，只需证： ，即： 当时成立.设.，显然在内是增函数，且， ，在内有唯一零点，使得： ，且当， ；当， .在递减，在递增.，.，成立.10【2020广东汕尾期末】已知函数，是函数的导函数.（1）当时，证明：函数在区间没有零点；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）证明：若,则,又,故,所以,又,当时,所以恒成立,所以当时,函数在区间没有零点.（2）解:,故在上恒成立,设,所以,即,因为,由,得,所以在区间上单调递减,所以；在区间上单调递增,又,所以,故在区间上存在唯一零点区间,由的单调性可知,在区间上,单调递减；在区间上,单调递增,故