直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真设计说明书.doc

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1、1 / 53直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。近年来，许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。本文研究了直线二级倒立摆的控制问题。首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了二级倒立摆的数学模型。本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器，通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。关键词: 倒立摆； 极点配置； 最优控制； MATLAB； 仿真A ABSTRACTBSTRACTI

2、nverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear,strong coupling and rapid movement of high-end system instability,It is testing various new control theory and methods of theeffectiveness of the typical devices. In recent years, many scholarsof the inverted pendulum extensive study.In this p

3、aper,a straight twoinvertedpendulumcontrolproblem.First on the inverted pendulum control of the developmentprocess and the status quo, then introduced the inverted pendulumsystem and the detailed structure of the two inverted pendulum isderived a mathematical model. In this paper, with pole placemen

4、t,LQR optimal control design a different controller, By comparing andMATLABsimulation,verifiedtheeffectiveness,stabilityandanti-jamming of the controller.KeyKey wordswords：InvertedInverted pendulumpendulum；PolePole AssignmentAssignment； OptimalOptimal ControlControl；MATLABMATLAB； SimulationSimulatio

5、n3 / 53目录摘要1ABSTRACT2第一章绪论51.1 控制理论的发展51.2 倒立摆系统简介与其研究意义61.3 倒立摆研究的发展现状与其主要控制方法71.4 本人所做工作8第二章直线二级倒立摆数学模型的建立102.1 倒立摆系统的物理结构与特性分析102.2 系统的数学建模112.2.1 两种数学建模方法的比较112.2.2 系统数学建模参数的设定122.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模132.2.4 二级倒立摆系统数学模型的线性化172.3 系统参数的设定192.4 倒立摆系统的初步运动分析20第三章 直线二级倒立摆控制方案的设计223.1 极点配置控制方案的设计223.1

6、.1 极点配置理论223.1.2 极点配置算法233.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计243.2.1 线性二次型最优控制原理243.2.2 Q, R 阵的选择26第四章控制系统的 MATLAB 仿真274.1 仿真软件的介绍274.1.1MATLAB 简介274.1.2 MATLAB7.0 简介284.1.3 Simulink 6.0 仿真工具箱简介294.2 无干扰控制系统的仿真304.2.1 极点配置控制方案的仿真324.2.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真364.3 干扰条件下控制系统的仿真404.3.1 极点配置控制方案的仿真424.3.2 线性二次型最优控制(LQ

7、R)方案的仿真45结论50致515 / 53参考文献52第一章绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史，随着现代科学技术的发展，它的应用也越来越广泛。特别是近几十年，航天航空航海和其它工业过程等领域的研究发展，不断地向控制理论提出一系列挑战性问题，对这些问题的研究和探索，有力地推动控制理论和控制方法取得长足发展，其发展通常可以分为三个阶段。第一阶段是经典控制理论阶段，上世纪50年代前后的控制理论主要是研究单输入-单输出线性定常系统的分析和设计问题，其理论基础是描述系统输入-输出关系的传递函数，基本分析和结合的方法是基于频率法、根轨迹法和相平面法等，描述系统的数学模型是微分

8、方程或传递函数。经典控制理论对于非线性时变系统很难奏效。第二阶段是现代控制理论阶段。50年代末以来，应宇航技术发展的需要，现代控制理论应运而生。它以描述系统状态这一部特征向量的状态方程为基础，主要研究有高性能、高精度的多输入-多输出、变参数系统的分析和设计问题，最优控制、最优滤波、系统辨识和自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。它能够解决经典控制理论难以解决的一些问题。第三阶段是大系统理论和智能控制理论阶段。随着被控系统的高度复杂性、高度不确定性以与人们对控制性能要求的提高，经典和现代控制理论面临空前的挑战。70年代末开始的智能控制理论和大系统理论的研究和应用，是现代控制理论在深度上和广

9、度上的开拓。它用来解决多层次分散结构的复杂系统的分析和综合问题，因此受到各国著名学者的极大关注。目前，在专家系统、神经网络、模糊系统、遗传算法等方面己经取得了可喜的进展。1.2 倒立摆系统简介与其研究意义倒立摆控制系统是应用于自动控制理论实验室的经典实验装置。倒立摆，顾名思义，是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。它一般由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成，小车可以在限定的轨道上移动，小车上的倒立摆一端被绞链在小车顶部，另一端可以在小车轨道所在的垂直平面上转动。倒立摆系统大概可以归纳为如下几类：悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆系统； 倒立摆的级数可以是

10、一级、二级、三级乃至多级；其运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的；控制电机可以是单电机，也可以是多级电机控制。倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院设计出一级倒立摆实验设备，而后世界各国都将一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的典型方案。后来人们研究的倒立摆的种类也由简单的单级倒立摆迅速发展为多种形式的倒立摆系统。倒立摆系统是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的绝对不稳定系统， 对于倒立摆系统的稳定控制， 不仅具有重要的理论意义，而且还具有很重要的工程实践意义。一方面，由于倒立摆系统具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，在实验室条件下易于实现；

11、此外对于倒立摆的稳定控制，会涉与到控制中的许多关键问题，比如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题以与鲁棒性问题等，人们试图通过倒立摆这样一个复杂多变的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，充分验证新的控制方法的有效性与可靠性。另一方面，任何重心在上，支点在下的控制问题，都可近似地化为一种倒立摆模型。例如：机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等等，因此倒立摆的稳定控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业工程中有着很广泛的用途，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。正是由于对倒立摆系统稳定控制研究有

12、着重要的理论和实际意义，因而倒立摆的7 / 53稳定控制成为了控制理论中历久不衰的研究课题。1.3 倒立摆研究的发展现状与其主要控制方法鉴于倒立摆的稳定控制研究的重要意义，国外学者对此给予了广泛关注。国外在60年代就开始了对一级倒立摆系统的研究，在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力。1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置；S.Mori等人于1975年采用最优控制和状态重构的方法完成对一级倒立摆的稳定控制。国外对二级以上倒立摆的研究从70年代开始，

13、1972年Sturgen等人采用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制，其线性状态反馈采用极点配置的方法获得， 并采用全维状态观测器来重构了状态； 1978年， K.furuta等人采用微机处理实现了二级倒立摆的控制，1980年他们又完成了二级摆在倾斜轨道上的稳定控制；1983年，K.furuta等人又实现了双电机三级倒立摆的稳定控制。国从80年代开始对倒立摆进行了研究，1982年，交通大学完成了二级倒立摆系统的研制和控制，采用了最优控制和降维观测器，以模拟电路实现； 1983年， 国防科技大学完成了一级倒立摆系统的研制和控制； 1987年，机械学院完成了一、二级倒立摆系统的研制，并且完成了二

14、级倒立摆在倾斜轨道上的控制。近年来，随着智能控制方法的研究逐渐受到人们的重视，模糊控制、神经网络、拟人智能控制、遗传算法和专家系统等越来越多的智能控制算法应用到倒立摆动系统的控制上。ChariesW.Andorson在1988年应用自学习模糊神经网络成功控制一级摆；周建波等用基于BP网络的规则控制也解决了单摆的稳定性控制问题；徐红兵等提出了基于变结构的模糊神经网络控制算法，实现了二级倒立摆系统的稳定性控制；1995年，明廉等人应用拟人智能控制理论成功的解决了三级倒立摆这一控制界的世界性难题；2001年9月19日，师大学洪兴教授领导的复杂系统实时智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了

15、三级倒立摆实物系统控制，又于2002年8月11日在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制系统。倒立摆作为一个典型的被控对象，适合用多种理论和方法进行控制。当前，常见的倒立摆的控制规律有以下几种：(1)PID控制；(2)状态反馈控制；(3)模糊控制；(4)自适应控制；(5)神经网络控制；(6)遗传算法控制；(7)利用云模型实现对倒立摆的控制；(8)拟人智能控制；(9)几种控制算法相结合的控制方式，充分利用各控制算法的优越性，来实现一种组合式的控制方法，如遗传算法与神经网络结合的方法，神经网络与模糊理论结合的方法，模糊控制与PID结合的方法等等。1.4 本人所做工作本文主要是以倒立摆的仿真控制装置

16、为平台，分析研究了极点配置、最优控制方案，用MATLAB和SIMULINK对控制方案进行了仿真，并实现了直线二级倒立摆仿真系统的控制。本文总共分四个部分，下面介绍一下本文各部分的主要容。第一章绪论。 简要回顾控制理论的发展， 对倒立摆系统做了简要介绍，并详细分析了倒立摆控制的研究发展状况和主要控制方法。第二章直线二级倒立摆系统模型的建立和初步分析。介绍了直线二级倒立摆的物理结构，在一定假设条件下，用拉格朗日方程，建立起二级倒立摆系统的标称数学模型， 并对其进行了线性化， 初步分析了其运动特性。第三章 直线二级倒立摆控制方案的设计。根据第二章模型的建立与初步分析考虑控制器的设计。本章介绍了极点配

17、置控制方案和线性二次型最优控制（LQR）方案，并介绍了极点配置理论、极点配置算法、线性二次型最优控制原理和Q,R阵的选择。第四章 控制系统的MATLAB仿真。本章为控制系统的仿真章节，在本章首先介绍了仿真软件MATLAB，然后介绍了本次设计所用的仿真软件MATLAB版本： MATLAB7.0， 其次介绍了仿真软件MATLAB7.0中的Simulink 6.0仿真工具箱，最后根据已经建立的系统数学模型和控制器，设定选取了一些参数，求得K值，然后用仿真软件对极点配置控制方案和线性二次型最9 / 53优控制（LQR）方案，一一进行了控制系统的仿真，得出了仿真结果即各个输出量的波形。最后是结论。对全文

18、进行的一次总结，指出了此次设计的总体理论概述。第二章直线二级倒立摆数学模型的建立现代控制理论是基于状态空间法进行分析的，因此首先要建立系统的状态空间方程。本章从二级倒立摆的物理结构出发，通过对其进行受力分析和运动描述，对比两种建立数学模型的方法：牛顿力学分析方法、欧拉-拉格朗日原理(拉格朗日方程)的优缺点，并选定欧拉-拉格朗日原理(拉格朗日方程)对系统进行详细的数学建模，并进行必要的线性化处理和初步的系统原理分析。2.1 倒立摆系统的物理结构与特性分析本次仿真设计的二级倒立摆模型系统由机械部分和电路部分组成。机械部分包括底座，框架，滑轨，直流永磁式力矩电机，测速电机，电位器，齿型传动皮带，小车

19、，摆杆，触发开关以与一些连接轴等。主要机械结构部分如图2-1所示。2-1 直线二级倒立摆的物理结构图对直线二级倒立摆控制系统而言，将功率放大器、力矩电机、小车、摆、皮带与皮带轮等的组合体视为控制对象，其输入是功率放大器的输入信号，输出是小车的位移和摆杆的角度。对直线二级倒立摆这个典型的机上摆杆下摆杆测角电位器测角电位器小 车滑 轨框 架电 机水平调节栓伪形传送带底 座测位电位器11 / 53电控制系统来说，它具有以下特性：(1) 仿射非线性系统：倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。(2) 不确定性：主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以与机械传动过

20、程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。(3) 耦合特性：倒立摆的摆杆和小车之间，以与多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。(4) 开环不稳定系统： 倒立摆系统有两个平衡状态： 竖直向下和竖直向上。竖直向下的状态是系统稳定的平衡点(考虑摩擦力的影响)，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。针对以上倒立摆系统的特性，在数学上完全准确地描述它几乎是不可能，为了解决实际系统中的控制问题，在实际设计控制系统建模时，通常忽略掉系统中一

21、些次要的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等等，并将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，从而建立一个比较精确的倒立摆系统的线性模型。2.2 系统的数学建模2.2.1 两种数学建模方法的比较倒立摆系统适合用数学工具进行理论推导，目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法、欧拉-拉格朗日原理(拉格朗日方程)。牛顿力学分析方法的注意力集中在与系统的各部分相联系的力和运动以与各部分之间的相互作用。欧拉-拉格朗日原理(拉格朗日方程)则更多的把系统看作一个整体并利用如动能、势能之类的纯量来描

22、述函数，它具有以下特点:1拉格朗日方程是广义坐标表达的任意完整系统的运动方程，方程的数目等于系统的自由度数，因而可以获得数目更少的运动方程。2建立运动方程时只需分析已知的主动力而不必分析未知的约束力，因而，对于倒立摆这样的复杂系统更能体现其优越性。3拉格朗日方程具有很好的对称性，即对于同一位形空间中的每个坐标而言各方程都具有一样的形式。4拉格朗日方程是以能量观点建立起来的运动方程，在建立系统的运动方程时，只需分析系统的动能和广义力。用拉格朗日方程可大大简化建模过程。直线二级倒立摆系统的数学模型采用经典力学进行建模分析，需要考虑各部分受力情况，虽然简单易懂，但需要罗列和解算大量微分方程，同时还需

23、考虑质点组受到的约束条件，计算量大且复杂，对于此次设计，所涉与到的是基于直线二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真，如果用牛顿经典力学建立数学模型必须考虑系统各部分干扰因素，对整个设计与其仿真过程影响工作较大；而采用分析力学中的拉格朗日方程建模只需考虑系统的动能和广义力两个方面，计算简单、工作量小，大大简化建模过程，因此此次设计建立数学模型选择拉格朗日方程建模。2.2.2 系统数学建模参数的设定在推导直线二级摆系统的数学模型前，为了明确物理意义和推导的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假设:1.除皮带外整个对象系统看作刚体。2.齿型带轮和齿型带之间无相对滑动，齿型带无拉长现象，且传递作用的延迟

24、忽略不计。3.整个电路系统的传递延迟忽略不计，放大器和电位器是线性的。4.小车在运动过程中所受的摩擦阻力正比于小车速度，上下摆杆转动时作用于摆杆的阻力矩正比于摆杆的角速度。5.在控制过程中，摆杆没有在与滑轨成垂直方向上的运动。另外，为了推导方程时的方便，定义一些常用的符号如下:x:小车的位移，单位米，当小车在滑轨中心时为零，向右为正；13 / 531:下摆的角位移，单位弧度，当摆杆竖直向上时为零，顺时针偏转为正；2:上摆的角位移，单位弧度，当摆杆竖直向上时为零，顺时针偏转为正；0M:小车等效系统的等效质量，单位千克；1M:下摆的质量，单位千克；2M:上摆的质量，单位千克；L:下摆转动轴心到上摆

25、转动轴心的距离，单位米；1l:下摆转动轴心到其重心的距离，单位米；2l:上摆转动轴心到其重心的距离，单位米；0F:小车系统的等效摩擦阻力系数，这时把小车与导轨间的摩擦力、电机机械摩擦转矩以与皮带轮摩擦转矩都归算到小车运动上的等效摩擦系数，由下式定义:0fF x，单位牛秒/米；1F:下摆杆与小车之间的的等效转动摩擦阻力系数，其定义如下:等效摩擦力矩111TF，单位牛秒/弧度；2F:上摆杆与下摆杆之间的的等效转动摩擦阻力系数， 其定义如下:等效磨擦力矩222TF，单位牛秒/弧度；1J:下摆对其重心的转动惯量，单位千克米；2J:上摆对其重心的转动惯量，单位千克米；u:控制器向功放电路的输出的控制电压

26、，单位伏；0G:功放电路和电机的等效放大系数， 即转动力矩折合到小车上的控制力U与功放输入电压u之比，单位牛/伏；U:电机所提供的作用于小车的控制力，其定义如下0UG u，单位牛，其方向向右为正；1k:摆杆转角测量电位器的放大倍数，单位伏/弧度；2k:小车位移测量电位器的放大倍数，单位伏/米；2.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模通过上述设定与分析用拉格朗日方程建立直线二级倒立摆的数学模型。拉格朗日方程为：1111tqqdLLDQdq，q,LqT q qV q q（2-1）对于直线二级倒立摆系统， 广义坐标为位移x和摆杆角度1,2；1Q为作用在系统上的广义力，当1qx，10QG u,当1

27、1q,2时，10Q 。T为小车和各级倒立摆的总动能，V为小车和各级倒立摆的总势能，D为小车和各级倒立摆的总耗散能。 规定下摆杆重心坐标为11,ggxy,上摆杆重心坐标为22,ggxy， 则有：111111sin,cosggxxlyl21222122sinsin,coscosggxxLlyLl(1)系统总动能012TTTT，其中：小车动能：2002M xT 下摆杆动能：22211 11111122ggTJMxy2221111111111cossin22JMxll 上摆杆动能：222222222222111222ggTJMxyJ22211222112221coscossinsin2MxLlLl 则

28、：222201201 11111111111cossin222TTTTM xJMxll 222222112221122211coscossinsin22JMxLlLl 22222201211 12122 22111222MMMxJM lM LJM l15 / 532221121 12112 222coscoscosM LlM lM LxM lx （2-2）(2)系统总势能012VVVV，其中:小车的势能00V 下摆杆的势能1111cosVM gl上摆杆的势能22122coscosVM g Ll则:0121112122coscoscosVVVVM glM g Ll（2-3）(3)系统总耗散能01

29、2DDDD，其中:小车的耗散能20012DF x下摆杆的耗散能21112DF上摆杆的耗散能2222112DF则：22201201221111222DDDDF xFF（2-4）(4)当1qx时，10QG u，由式(2-1)可得：0dTTVDG udtxxxx（2-5）当11q时，10Q ，由式(2-1)可得：11110dTTVDdt（2-6）当12q时，10Q ，由式(2-1)可得：22220dTTVDdt（2-7）其中：0121 12112 222coscosTMMMxM lM LM lx 0121 12112 212coscosdTMMMxM lM LM ldtx 221 12112 222

30、sinsinM lM LM l 0Tx；0Vx；0DF xx221 12111 1212221212211 1211 121222121coscoscoscosTM lM LxJM lM LM LldTJM lM LM lM LxM Lldt1 12112221221sinsinM lM LxM Ll 2221121 121111112111 12211222 22222112 222222 2222212 222sinsinsinsincoscoscoscosTM LlM lM LxVM glM gLDFFTJM lM LlM lxdTJM lM LlM ldt x 2 2222221121

31、sinsinM lxM Ll 2221122sinTM Llx 2222sinVM gl 2212DF17 / 53将上述各式代入(2-5), (2-6), (2-7)中整理化简得：0121 12112 22201 12112 2220coscossinsinMMMxM lM LM lF xM lM LM lG u （2-8）221 12111 1212221212122212221 121coscossinsinM lM LxJM lM LM LlFFM LlFM lM L g （2-9）22 222221122 22222112122222coscossinsinM lxM LlJM lM

32、 LlFFM gl（2-10）2.2.4 二级倒立摆系统数学模型的线性化将式 ( 2-8),( 2-9),(2-10)写成矩阵形式：121121211222,xxMNG u （2-11）其中：0121 1212 2222121 12111 12222122 22222122 2coscos,coscoscoscosMMMM lM LM lMM lM LJM lM LM LlM lM LlJM l 01 12112 212121212222112222112sinsin,0sin0sinFM lM LM lNFFM LlFM LlFF 0121 121222,sinsinG uG uM lM L

33、 gM gl 对于直线二级倒立摆系统，选取平衡点位置为：120 x，120 x，对系统在平衡点附近线性化并忽略高次项后，式(2-11)可改写为：1112220,00,0,0,00,00,0 xxxMNFGu （2-12）其中：00121 122 2221 1211 122222 22222 20,0,0,000GMMMM lM LM lMM lM LJM lM LM LlGM lM LlJM l01221 122222000000,0,0,00,0,000000FNFFFFM lM L gFFM gl式(2-12)两端同乘以10,0M，可得:01111112220,00,0,0,00,00,0

34、0,000 xxGxMNMFMu （2-13）令12TZx；则式(2-13)为：ZMZNZGu ，其中：01110,00,0,0,0 ,0,00,0 ,0,000GMMNNMFGM在实际系统中,测量上摆角度信号的电位器是装在下摆顶端的轴承上，所以实际上摆电位器测得的上摆角的信号是21。此次设计作为仿真，为了与实际采集系统相符合，也为了使计算方便，做如下变换:ZTZ121,Zx 100010011T于是有：11ZTMT ZTNT ZTGu 取状态变量：1121121, ,TXxx 121,TYx 于是线性化后的六阶状态方程如下：19 / 53XAXBuYCXDu（2-14）其中：3 33 321

35、226 60IAAA3 326 60BB211000000000000000KCKK0D 11121111220120,00,00,00,0,0,00,000ATNTTMFTATMTTMNTGBTGTM 即XAXBu,YCXDu是对二级倒立摆系统进行状态空间分析的数学模型基础。2.3 系统参数的设定倒立摆系统实际上是一个定常系统，其系统参数是可以得到的。有些参数可以直接测得，如上下摆的质量、长度、摆杆的重心到转轴的距离、小车的质量等。 而有些参数需要采用间接的方法得到， 如摆杆的转动惯量、小车的等效摩擦系数、转轴的等效摩擦系数等。本次设计由于是对直线二级倒立摆的控制系统的系统仿真，因此对其设计

36、模型的参数的测定不做具体累述，通过直接或间接的方法设定系统的具体参数为：0M:0.5951M:0.1612M:0.142L:0.1511l:0.1242l:0.2270F:111F:0.003242F:0.0007741J:0.002842J:0.0024330G:2.5821K:9.342K:24.17g:9.806将上述设定的具体系统参数带入式（2-14）可得系统状态方程中的各矩阵：00010000001000000103.01580.571716.01670.01950.0033053.005523.404966.21340.60970.2030037.077369.397846.316

37、20.84960.3729A0003.759615.542110.8717B24.170000009.340000009.34000C2.4 倒立摆系统的初步运动分析在研究控制方案之前，首先应该对被控对象的特性与本质有充分的了解。因此，在建立了系统的数学模型之后，利用一些仿真手段对被控对象的特性加以分析，是很有必要的。一般摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么首先就要考虑系统是否能控。由于我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以根据前面得到的系统线性模型分析。在进行倒立摆的定性分析之前，先介绍线性控制理论中关于能控性、能观性的判定定理

38、。定理1(能控性判据)n阶线性定常连续系统XAXBu状态完全能控，当且仅当系统的能控性矩阵：21nCSBABA BAB满秩，即Crank Sn。特别的，当输入控制量 u t为标量时，能控性矩阵CS为方阵，即Crank Sn等价于行列式值det0CS。21 / 53定理2(能观性判据)n阶线性定常连续系统XAXBuYCXDu完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵：210TnSCCACACA满秩，即00rank Sn特别的当输入量 y t为标量时，能观性矩阵0S为方阵，即0rank Sn等价于0S的行列式值0det0S。对于由式(2-14)所确定的二级倒立摆系统，其特征方程为：det0IA，经计算的系

39、统的开环特征根为：08.99265.087216.96874.72639.3841，系统有两个极点在复平面右半平面，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。还可以计算得出6Crank S，06rank S， 根据定理1和定理2可知：系统是完全可控和完全可观的。对于倒立摆这一自然不稳定系统，在研究使其能够稳定的控制方案之前，首先要搞清楚倒立摆系统在自然条件下的运动特性是怎样的？对于这个问题的解有助于我们更加深入了解倒立摆系统的本质，进而设计出比较适合的控制方案。第三章 直线二级倒立摆控制方案的设计前一章己经对二级倒立摆模型做了详尽的分析和推导，获得了它的状态方程形式的线性数学模型，从分析中可以看出

40、，二级倒立摆系统是完全可控、完全可观测的。对二级倒立摆进行控制的主要目的是：二级倒立摆系统在控制作用下能够稳定；系统的瞬态与稳态特性和动态特性良好；控制系统具有很强的鲁棒性；较容易完成稳定控制的任务。所设计的控制系统应该尽可能简单，容易实现，并有一定的抗干扰能力。随着控制理论的不断发展，在倒立摆这一经典实验装置上，已经有多种控制方法得到了应用。基于现代控制理论的极点配置控制方案、最优控制方案等。3.1 极点配置控制方案的设计3.1.1 极点配置理论闭环系统的稳定性和响应品质同闭环极点密切相关，控制系统的各种特性与其各种品质指标很大程度上由其闭环系统的零点和极点的位置决定。经典控制理论常用调整开

41、环增益与引入串、并联校正装置来配置闭环极点。在现代控制理论中，广泛采用状态变量反馈来配置极点。就是通过对状态反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标要求。对于完全能控和完全能观的系统，设其状态方程为:XAXBUYCX(3-1)其中，nXR，mUR。控制规律选择为线性状态反馈，即:UuKX(3-2)式中，123nKkkkk。将式(3-2)代入式(3-1)，可得闭环系统的状态方程为：XABK XBuYCX(3-3)显然，闭环系统的特征多项式应为:det0SIABK(3-4)23 / 53因此通过改变K阵使闭环系统有所需要的极点配置，达到期望的性能指标要求。图3-

42、1 加入状态反馈后系统结构图3.1.2 极点配置算法所给定的期望闭环极点可以是实数，也可以是按共扼对出现的复数，它的选择是一个工程实践与理论相结合的问题，要从实际出发来确定极点和零点在复数平面上的分布。单输入单输出系统确定满足极点配置要求的状态反馈矩阵K的算法主要有系统匹配法、Ackermann配置法、Gura-Bass算法等几种方法，假定期望的闭环极点为：i，1in ，则原系统(3-1)的开环特征方程为： 110detnnna ssIAsasasa(3-5)闭环系统的特征方程为: 1101nnnintsssss(3-6)(1)系统匹配法是计算反馈阵的一个最直接的方法，它主要通过比较系统特征方

43、程的系数来求解，即:(3-4)式与(3-6)式的对应系数相等。此方法较为简单，但只适合于低阶系统。(2)Ackennann配置算法是先把系统的描述转化为某种可控规型，然后利用规型的性质求解。这里只给出具体结果，所求反馈增益矩阵：1sCKAB TKe P A其中：11001TneBABAB, 12nP,A、B阵就是系统状态方程描述的参数矩阵，是期望的极点向量。(3)较为常用的方法是Gura-Bass算法，其具体步骤为:1)判断系统的可控性。确定能否完成预定的闭环极点配置综合目标；2)计算A的特征多项式，即开环系统的特征多项式(3-5)的n个系数1a；3)由给定的动态指标或闭环极点要求确定闭环特征

44、多项式(3-6)的n个系数1；4)计算矩阵001111nnKaaa；5)计算变换阵T:121231111101001000nnnaaaaaTBABABa 6、计算所求的增益阵KKTGura-Bass算法不仅适用于单输入-单输出系统，也同样适用于单输入-多输出系统。多输入-多输出系统可以化为等价的单输入系统，进而采用单输入系统的极点配置算法。3.23.2 线性二次型最优控制线性二次型最优控制(LQR)(LQR)方案的设计方案的设计最优控制就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统规定的性能指标具有最优值的一种控制。对于线性系统，若取状态变量的二次型函数的积分做为系统的性能指标，这种系统最

45、优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型(LQR)问题。线性二次型控制理论已成为反馈系统设计的一种重要工具。3.2.1 线性二次型最优控制原理线性二次型问题就是：对于线性系统(3-1)，确定一个最优反馈控制25 / 53律 UtKX t ,使得如下性能指标最小化： 01122fTTTffttJX tFX tXt Q t X tUt R t U td（3-7）其中 Q t和F为半正定阵， R t是正定矩阵。 Q t和 R t分别是对状态变量和控制量的加权阵， 12TffX tFX t表示的是最终误差， 从理论上讲积分项中的第一项已经包含了终端误差的成分，但是如果要特别强调

46、终值误差，则可以加上这一项，反之就可以不用加了。由此可知二次型性能指标的最优控制问题实质上就是：要求用较小的控制能量来获得较小的误差的最优控制。一般情况下加权阵取为定常矩阵即Q和R，首先构造一个哈密尔顿函数： 12TTTHXt QX tUt RU tAX tBU t （3-8）当输入信号不受约束时，则可对哈密尔顿函数求导并令其值为0，求出最小值 0THRU tBtU ,从而得到最优控制信号为: 1UTtR Bt(3-9)其中 t可由下式求出: tP t X t , P t即为黎卡提微分方程的解: 1TTP tP t AA P tP t BR BPtQ (3-10)当ft ， P t趋近于一个常

47、值矩阵，且 0P t ，故：10TTPAA PPBR BPQ(3-11)此式称为黎卡提矩阵代数方程。因此可得状态反馈量:1TKR B P。由此可见最优控制器的设计的关键是选择合适的加权阵Q和R，并据此计算出黎卡提矩阵代数方程中的P，就可以求出反馈增益K。3.2.2 Q, R阵的选择在利用LQR方法设计控制器时，一个最关键的问题是二次型性能指标的选取。二次型性能指标与实际工程意义的品质指标间的联系至今未完全建立。因此，确定加权阵Q, R是一项重要且困难的工作。一般来说，加权矩阵Q和R的选取是在立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折中上考虑的。为了使问题简单，且使加权阵Q和R的各元素有明显的物理意

48、义，通常将加权阵Q和R选为对角阵。这样可以看出1q是对状态ix平方的加权，1q相对增大就意味着对ix的要求较严；R是对控制量u平方的加权，当R相对较大，意味着控制费用增高，使得控制能量较小，反馈减弱，当R相对很小时，控制费用较低，反馈增强，系统动态响应迅速。对于二级倒立摆系统，二次型性能指标应能使其在调节过程中不偏离倒立摆的控制区域且尽可能在系统的线性围，根据前面对二级倒立摆运动分析，在考虑倒立摆系统的各个状态时，上摆偏角2应比下摆的偏角1重要，下摆的偏角1应比小车的位移x重要，因此要在选择加权矩阵Q和R时反映这些要求。27 / 53第四章 控制系统的MATLAB仿真4.1 仿真软件的介绍4.

49、1.1 MATLAB 简介MATLAB 是在 20 世纪 80 年代初期， 由美国的 MathWorks 软件开发公司正式推出的一种数学工具软件，它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计有机地融合到一个简单易学的交互式工作环境中。MATLAB 拥有功能强大、丰富的函数工具箱，可以实现科学计算、符号运算、算法研究、数学建模和仿真、数据分析和可视化、科学工程绘图以与图形用户界面设计等强大功能。经过这些年的不断更新，它的交互性越来越好，功能也越来越强大，目前，MATLAB 软件已成为了国际上公认的、应用最广泛的优秀数学应用软件之一，MATLAB 为用户提供了丰富而实用的资源，它涵盖了许多门类的科

50、学研究，如数学、控制、通信、数字信号处理、数字图像处理和经济等。MATLAB 语言具有如下特点：（1）编程效率高它是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许用数学形式的语言编写程序，且比 Basic、Fortean 和 C 等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用 MATLAB 编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。因此，MATLAB 语言也可以通俗地称为演算纸式科学算法语言。由于它编写简单，所以编程效率高，易学易懂。（2）语句简单，用户使用方便MATLAB 语言是一种解释执行的语言（在没被专门的工具编译之前） ，它灵活、方便，其调试程序手段丰富，调试速度快，需要学习时间少。人们用任何