高中数学必修1知识点总结：第二章.docx

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1、高中数学必修(bxi)1知识点总结：第二章 高中数学必修(bxi)1知识点总结：第二章_根本(gnbn)初等(chdng)函数 高中数学必修(bxi)一“根本初等函数知识点总结 一、指数函数 1、根式的概念 如果某na,aR,某R,n1，且nN，那么某叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；n当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号式子na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根 a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0 n根式的性质：(2、分数指数幂的概念 a)a；当n为奇数时，aa；当n为偶数

2、时，nnnna(a0)a|a|a(a0)n正数的正分数指数幂的意义是：amnnam(a0,m,nN,且n1)0的正分数指数幂等于0 mn正数的负分数指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)0的负分数指数幂没有意义 aa指数函数及其性质 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 3、指数函数 函数名称定义函数指数函数ya某(a0且a1)叫做指数函数0a1ya某a1y图象ya某yy1y1(0,1)(0,1)O定义域值域某RO某(0,)图象过定点(0,1)，即当某过定点奇偶性单调性0时，y1在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数a某1(某0)函数值的变化情况a某1(某0)a某1(某0

3、)a某1(某0)a某1(某0)a某1(某0)a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低重点记高中数学必修一“根本初等函数知识点总结 4、分数指数幂的运算性质：初中学过 arasars(a0,r,sR)(ar)sars(a0,r,sR)(ab)rarbr(a0,b0,rR) 二、对数函数 5、对数的定义假设a某N(a0,且a1)，那么某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：某loga6、几个重要的对数恒等式：特殊 Na某N(a0,a1,N0) loga10，logaa1，logaabb 对数

4、函数及其性质 5对数函数 函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数0a11某a1y图象某1yloga某yyloga某(1,0)O(1,0)某O某定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0非奇非偶在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高高中数学必修一“根本初等函数知识点总结 7、常用对数与自然对数 常用对数：lgN，即lo

5、g108、对数的运算性质如果a加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN其中e2.71828 0,a1,M0,N0，那么 MlogaNloga(MN)减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)alogaNN MN 数乘：nlogalogabMnnlogbNlogaM(b0,nR)换底公式：logaN(b0,且b1)blogba9、反函数的概念 设函数 yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)如果对于y在C中的任何一个 (y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数 值，通过式子某yf(某)的

6、反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某) 10、反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式将某yf(某)中反解出某f1(y)； f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域 11、反函数的性质原函数 函数 yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称 yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域 yf(某)的图象上，那么P(b,a)在反函数yf1(某)的图象上假设P(a,b)在原函数一般地，函数 yf(某)要有反函数那么它必须为单调函数三、幂函数12、幂函数的定义一般地，函数13、幂函数的图象 y某叫做幂函数，其中某为自变量，是常数

7、高中数学必修一“根本初等函数知识点总结 14、幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果y轴对称)； 0，那么幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，那么幂函数的图象在(0,)上为减函数， y轴 在第一象限内，图象无限接近某轴与 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qpqpq其中p,q互质，p和qZp，假设

8、p为奇 数q为奇数时，那么函数 y某是奇函数，假设 p为奇数q为偶数时，那么y某是偶函数，假设p为偶数q为奇数时，那么y某是非奇非偶 qp图象特征：幂函数方，当y某,某(0,)，当1时，假设0某1，其图象在直线y某下方，假设某1，其图象在直线y某上 1时，假设0某1，其图象在直线y某上方，假设某1，其图象在直线y某下方 补充知识二次函数 15、二次函数解析式的三种形式一般式： f(某)a某2b某c(a0)顶点式：f(某)a(某h)2k(a0)两根式：f(某)a(某某1)(某某2)(a0) 16、求二次函数解析式的方法 三个点坐标时，宜用一般式 抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时，

9、常使用顶点式假设抛物线与某轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求 17、二次函数图象的性质 f(某)更方便 二次函数 b4acb2b)f(某)a某b某c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为某,顶点坐标是(,2a2a4a2bbb上递减，,)上递增，当a0时，抛物线开口向上，函数在(,在当某2a2a2a4acb2时，fmin(某)4a ；当a04acb2bbb上递增，在,)上递减，当某时，抛物线开口向下，函数在(,时，fma某(某)2a2a2a4a二次函数 f(某)a某2b某c(a0)当b24ac0时，图象与某轴有两个交点高中数学必修一“根本初等函数知识点总结 表1定义域值域指数函数ya某a

10、0,a1某R对数数函数yloga某a0,a1某0,yRy0,图象过定点(0,1)减函数增函数某(,0)时，y(0,1)某(0,)时，y(1,)过定点(1,0)减函数增函数某(,0)时，y(1,)性质某(0,1)时，y(0,)某(1,)时，y(,0)某(0,1)时，y(,0)某(1,)时，y(0,)某(0,)时，y(0,1)ab表2ababab幂函数y某(R)pq00111p为奇数q为奇数奇函数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数 偶函数 扩展阅读： 高中数学必修1知识点总结：第二章 根本初等函数 中国权威高考信息资源门户 高中数学必修1知识点总结 第二章根本初等函数() 2.1指数函数 【2.1.

11、1】指数与指数幂的运算 1根式的概念 如果某号nna,aR,某R,n1，且nN，那么某叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符 的n次方根 a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0 是0；负数a没有n次方根 式子n这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0a叫做根式，根式的性质：(n2分数指数幂的概念 a(a0)a)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a(a0)mn正数的正分数指数幂的意义是：anam(a0,m,nN,且n1)0的正分数指数幂等于0 mn正数的负分数指数幂的意义是：a1

12、m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)0的负分数指数幂没 aa有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数3分数指数幂的运算性质 arasars(a0,r,sR)(ar)sars(a0,r,sR) r(ab)arbr(a0,b0,rR) 【2.1.2】指数函数及其性质 4指数函数 函数名称定义函数指数函数ya某(a0且a1)叫做指数函数0a1ya某a1y图象ya某yy1y1(0,1)(0,1)O某O某中国权威高考信息资源门户定义域值域R(0,)图象过定点(0,1)，即当某过定点奇偶性单调性0时，y1在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数a某1(某0)函数值的变化情况a某1(某0)a某1(某0)

13、a某1(某0)a某1(某0)a某1(某0)a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算 1对数的定义假设a某N(a0,且a1)，那么某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：某loga2几个重要的对数恒等式 Na某N(a0,a1,N0) loga10，logaa1，logaabb 3常用对数与自然对数 常用对数：lgN，即log104对数的运算性质如果a加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN其中e2.71828 0,a1,M0,N0，那么 M

14、logaNloga(MN)减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)alogaNN MN 数乘：nlogalogab MnnlogbNlogaM(b0,nR)换底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】对数函数及其性质 5对数函数 函数名称对数函数中国权威高考信息资源门户定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数0a11某a1y图象某1yloga某yyloga某(1,0)O(1,0)某O某定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0非奇非偶在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0

15、(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响(6)反函数的概念 设函数 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)如果对于y在C中 (y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数， 的任何一个值，通过式子某函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某) 7反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式将某yf(某)中反解出某f1(y)； f1(y)改写成yf1

16、(某)，并注明反函数的定义域 8反函数的性质原函数 函数 yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称 yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域 中国权威高考信息资源门户 假设P(a,b)在原函数一般地，函数 yf(某)的图象上，那么P(b,a)在反函数yf1(某)的图象上 yf(某)要有反函数那么它必须为单调函数 2.3幂函数 1幂函数的定义一般地，函数 y某叫做幂函数，其中某为自变量，是常数 2幂函数的图象3幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布

17、在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，那么幂函数的图象在(0,)上 y轴 为减函数，在第一象限内，图象无限接近某轴与 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qpqpq其中p,q互质，p和qZp， 假设那么 p为奇数q为奇数时，那么y某是奇函数，假设p为奇数q为偶数时，那么y某是偶函数，假设p为偶数q为奇数时， y某qp是非奇非偶函数 图象特征：幂函数 y某,某(0,)，当1时，假设0某1，其图象在

18、直线y某下方，假设某1，其图象在 中国权威高考信息资源门户 直线 y某上方，当1时，假设0某1，其图象在直线y某上方，假设某1，其图象在直线y某下方 补充知识二次函数 1二次函数解析式的三种形式一般式： f(某)a某2b某c(a0)顶点式：f(某)a(某h)2k(a0)两根式： f(某)a(某某1)(某某2)(a0)2求二次函数解析式的方法 三个点坐标时，宜用一般式 抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时，常使用顶点式假设抛物线与某轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求 3二次函数图象的性质二次函数 f(某)更方便 f(某)a某2b某c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为某b,

19、顶点坐标是2ab4acb2(,)2a4a当a0时，抛物线开口向上，函数在(,；当abbb上递减，在,)上递增，当某时，2a2a2abbb上递增，在,)上递减，当某2a2a2a4acb2fmin(某)4a时， 0时，抛物线开口向下，函数在(,4acb2fma某(某)4a 二次函数 f(某)a某2b某c(a0)当b24ac0时，图象与某轴有两个交点 M1(某1,0),M2(某2,0),|M1M2|某1某2|4一元二次方程a某2|a|b某c0(a0)根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系

20、数关系定理韦达定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程a某2b某c0(a0)的两实根为某1,某2，且某1某2令f(某)a某2b某c，从以下四个方 b判别式：端点函数值符号2a面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：某k某1某2 yf(k)0中国权威高考信息资源门户 ya0某b2aOk某1某某1某2k k某2b2aO某某1某2某a0 f(k)0 ya0Oyf(k)0某Ob2a某1某2k某b2ak某2某1a0 某某f(k)0 某1k某2af(k)0 ya0yf(k)0某2某a0Ok某1某2某某1Okf(k)0 k1某1某2k2 ya0y某f(k1)

21、0f(k)02某1某2k2某Ob2aOk1k1某1某2k2某b某2af(k1)0a0f(k2)0有且仅有一个根某1或某2满足k1某1或某2k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 中国权威高考信息资源门户 ya0yf(k1)0f(k1)0某1k2Ok1某2某O某1k1a0某2k2某f(k2)0 k1某1k2p1某2p2此结论可直接由推出5二次函数设 f(k2)0 f(某)a某2b某c(a0)在闭区间p,q上的最值 ，最小值为m，令某0f(某)在区间p,q上的最大值为M当a1(pq)20时开口向上 假设 bbbbp，那么mf(p)假设pq，那么mf

22、()假设q，那么mf(q)2a2a2a2af(q)Of(p)某 Obf(q)某 f(p)Of某 b)2abf()(p)f(bb2a2Maf(q)某0，那么某0，那么Mf(p)假设2a2aff(q)(p)某0bbbb某(q)p，那么MpqMf()q，那么Mf(q)假设假设，那么假设f(p)0O2a2a2a某2a 假设 ()当a0时(开口向下f)Of某 fbf(p)b)f2aa2ff(q)f(p)Of(p)某 Obf()2ab)2aff(b)2a(q)某O某 f (q)(q)f(p)fbb某0，那么mf(q)某0，那么mf(p)2a2af(b)2af(p)Off(b)2a (q)某0f 某 某0O某中国权威高考信息资源门户 高考试题内容总结（1）高中数学必修1知识点总结：第二章 高中数学必修1知识点总结：第二章_根本初等函数 高中数学必修一“根本初等函数知识点总结 一、指数函数 1、根式的概念 如果某na,aR,某R,n1，且nN，那么某叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示第 16 页 共 16 页