1983年全国高中数学联赛试题及解答(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一试1选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分) 设p、q是自然数，条件甲：p3q3是偶数；条件乙：p+q是偶数那么 A甲是乙的充分而非必要条件 B甲是乙的必要而非充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 设a，b，c，d，m，n都是正实数， P=+，Q=，那么 APQ BPQ CPR+r BlR+r CR+r6l DA、B、C三种关系都不对2填充题(本题满分18分，每小题6分) 在ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于 三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个 一个六面体的各个面和一

2、个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积mn是 第二试1(本题满分8分)求证：arc sinx+arc cosx= ，其中x1，12(本题满分16分)函数f(x)在0，1上有定义，f(0)=f(1)如果对于任意不同的x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|求证：|f(x1)f(x2)| 来源:21世纪教育网5(本题满分18分) 函数F(x)=|cos2x+2sinxcosxsin2x+Ax+B|在 0x上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论1983年全国高中数学联赛解答21世纪教育网第一试1

3、选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分) 设p、q是自然数，条件甲：p3q3是偶数；条件乙：p+q是偶数那么 A甲是乙的充分而非必要条件 B甲是乙的必要而非充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 x=+的值是属于区间 A(2，1) B(1，2) C(3，2) D(2，3)【答案】D【解析】x=log32+log35=log310(2，3)，选D21世纪教育网 已知M=(x，y)|yx2，N=(x，y)|x2+ (ya)21那么，使MN=N成立的充要条件是 Aa1 Ba=1 Ca1 D0a1【答案】A【解析】MN=N的充要条件是圆x2

4、+(ya)21在抛物线y=x2内部(上方)即a1，且方程 y2(2a1)y+a21=0的=(2a1)24(a21)0，a1，选A 已知函数f(x)=ax2c，满足 4f(1)1，1f(2)5那么，f(3)应满足 A7f(3)26 B4f(3)15 C1f(3)20 Df(3) 设a，b，c，d，m，n都是正实数， P=+，Q=，那么 APQ BPQ CP135，cosB=60，矛盾故cosA= cosC=cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB=+= 三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个【答案】36【解析】设另两边为x，y，且xy则得xy11，x+y11，在直角坐标系内作

5、直线y=x，y=11，x=11，x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数(含y=11，y=x上的整点，不含x+y=11上的整点)共有1224=36个即填36 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积mn是 第二试1(本题满分8分)求证：arc sinx+arc cosx=，其中x1，1【解析】证明：由于x1，1，故arcsinx与arccosx有意义，sin(arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx0， arccosx，故根据反正弦定义，有arcsinx=arccosx

6、故证2(本题满分16分)函数f(x)在0，1上有定义，f(0)=f(1)如果对于任意不同的x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|求证：|f(x1)f(x2)|【解析】证明：不妨取0x1x21,若|x1-x2|，则必有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，则x2x1,于是1(x2x1),即1x2+x10 而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0)-(f(x2)f(1)|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)| x10|+|1x2|=1x2+x10故证.3(本题满分16分) 在四边形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面积比是341，点M、N分别在AC、CD上满足AMAC=CNCD，并且B、M、N三点共线求证：M与N分别是AC与CD的中点4. (本题满分16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论5(本题满分18分) 函数F(x)=|cos2x+2sinxcosxsin2x+Ax+B|在 0x上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论 21世纪教育网专心-专注-专业