2022年《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续 .pdf

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1、第十六章多元函数的极限与连续( 1 0 时 )1 平面点集与多元函数( 3 时 )一.平面点集 : 平面点集的表示: ),(|),(yxyxE满足的条件 . 1.常见平面点集: 全平面和半平面:0|),(xyx, 0|),(xyx, |),(axyx, |),(baxyyx等. 矩形域 :,dcba, 1|),(yxyx. 圆域 : 开圆 , 闭圆 , 圆环. 圆的个部分 . 极坐标表示 , 特别是cos2|),(arr和sin2|),(arr.角域 :| ),( r.简单域 :X型域和Y型域 .2.邻域 : 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域, 空心方邻

2、域与集|0,|0|),(00yyxxyx的区别 . 二.点集的基本概念 :1. 内点、外点和界点： 集合E的全体内点集表示为Eint, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定 . 2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点. 例 1 确定集4)2() 1(1|),(22yxyxE的内点、外点集、边界和聚点. 3. 开集和闭集 :EintE时称E为开集 ,E的聚点集E时称E为闭集 .存在非开非闭集.2R和空集为既开又闭集. 4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域. 5.有界集与无界集: 6. 点集的直径)(Ed：两点的距离),(21PP. 7. 三角不等式：精品资料 - - -

3、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - |21xx（或|21yy）|)()(2121221221yyxxyyxx. 三. 点列的极限 : 设),(nnnyxP, ),(000yxP. 定义0limPPnn的定义( 用邻域语言) . 例 2),(nnyx),(00yx0 xxn, 0yyn, )( n. 例 3 设0P为点集E的一个聚点 . 则存在E中的点列nP, 使0limPPnn.四. 2R中的完备性定理 : 1.Cauchy 收敛准则 : 先证 ),(nn

4、yx为 Cauchy 列nx和ny均为 Cauchy 列. 2. 闭集套定理 : 1P89. 3. 聚点原理 :Weierstrass聚点原理，列紧性. 4. 有限复盖定理: 五.二元函数 : 1. 二元函数的定义、记法、图象：2.定义域：例 4 求定义域：),(yxf192222yxyx; ),(yxf) 1ln(ln2xyy. 3. 有界函数 : 4.n元函数 : Ex 1P9293 18 . 2 二元函数的极限( 3 时 )一. 二元函数的极限 :1.二 重 极 限APfDPPP)(lim0的 定 义 : 也 可 记 为),(lim),(),(00yxfyxyxA或Ayxfyyxx),(

5、lim00精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 例 1 用“”定义验证极限7)(lim22)1 ,2(),(yxyxyx. 1P94 E1. 例 2 用“”定义验证极限0lim22200yxxyyx. 例 3 设).0,0(),(,0),0 ,0(),(,),(2222yxyxyxyxxyyxf证明0),(lim)0,0(),(yxfyx.(用极坐标变换) 1P94 E2.Th 1 APfDPPP)(lim0对 D 的每一个子集E ,只

6、要点0P是 E 的聚点 ,就有APfEPPP)(lim0. 推论 1 设DE1,0P是1E的聚点 .若极限)(lim10PfEPPP不存在 , 则极限)(lim0PfDPPP也不存在 . 推论 2 设DEE21,0P是1E和2E的聚点 .若存在极限1)(lim10APfEPPP,2)(lim20APfEPPP, 但21AA,则极限)(lim0PfDPPP不存在 . 推论 3 极限)(lim0PfDPPP存在对 D 内任一点列nP,0PPn但0PPn,数列)(nPf收敛. 2 方向极限 :方向极限Ayxf)sin,cos(lim000的定义 . 通常为证明极限)(lim0PfPP不存在 ,可证明

7、沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等 .但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等二重极限存在( 以下例 5 ). 例 4 设. )0, 0(),(,0),0 ,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf证明极限),(lim)0,0(),(yxfyx不存在 . (考虑沿直线kxy的方向极限 ). 1P95 E3. 例 5 设.,0,0, 1),(2其余部分时，当xxyyxf证明极限),(lim)0,0(),(yxfyx不存在. 1P95 E4. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

8、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质. 例 6 求下列极限 : )0,0(),(limyx222yxyx; )0, 3(),(limyxyxysin; )0,0(),(limyxxyxy11; )0,0(),(limyx2222)1ln(yxyx. 3 极限),(lim),(),(00yxfyxyx的定义 : 其他类型的非正常极限，),(yx无穷远点的情况. 例 7 验证)0, 0(),(limyx22321yx. Ex1P99100 1， 4，5. 二.累

9、次极限 :1. 累次极限的定义: 定义 . 例8 设22),(yxxyyxf, 求在点)0,0(的两个累次极限. 1P97 E6.例9 设2222),(yxyxyxf, 求在点)0,0(的两个累次极限.例10 设xyyxyxf1sin1sin),(, 求在点)0,0(的两个累次极限与二重极限.2.二重极限与累次极限的关系:两个累次极限存在时, 可以不相等 . ( 例 9 ) 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yxyxf1sin),(在点)0,0(的情况. 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例 10) 两个累次极限存在(甚至相等 ) 二重极限存在 . ( 参阅例

10、 4 和例 8 ). 综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - Th 2 若全面极限),(lim),(),(00yxfyxyx和累次极限),(limlim00yxfyyxx(或另一次序)都存在 ,则必相等 . ( 证 ) 1P98. 推论 1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等 . 注: 推论 1给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 推论 2 两个累次

11、极限存在但不相等时, 全面极限不存在. 注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在. 参阅 的例 . Ex 1P99 2 3 二元函数的连续性(2 时 )一 二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入. 1. 连续的定义 :定义 用邻域语言定义连续. 注: 函数),(yxf有定义的孤立点必为连续点. 例 1 设.0,1,0,),(2222222yxmmyxyxxyyxf证明函数),(yxf在点)0,0(沿方向mxy连续 . 例 1 设.,0,0,1),(2其他xxyyxf( 1P101) 证明函数),(yxf在点)0,0(不全面连续但在点)0,0(f对x和y分别连续 . 2. 函

12、数的增量 : 全增量、偏增量.用增量定义连续性. 3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性1P102). 二.一致连续性 : 定义 . 三. 有界闭区域上连续函数的性质: 1.有界性与最值性. ( 证 ) 2. 一致连续性 . ( 证 ) 3. 介值性与零点定理. ( 证 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - Ex 1P104105 1 ， 2，4，5. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -