2022年北师大版必修5高中数学第二章《三角形中的有关问题》word典例例题素材 .pdf

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1、名师精编优秀教案解三角形三角形中的有关问题1正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 已知两角和一边，求其他两边和一角； 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角2余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 已知三边，求三角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角3三角形的面积公式：典型例题例 1. 在ABC中，已知 a3，b2，B45，求角A、C及边 c解 A160 C175 c1226A2120 C215 c2226变式训练 1：(1)ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且2ca，则c

2、osB（）A14 B34 C24 D23解： B 提示：利用余弦定理（2）在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.0020,45 ,80bACB.030,28,60acB C.014,16,45abAD. 012,15,120acA解： C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在 ABC中，已知5cos13A，3sin5B，则cosC的值为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - -

3、 - - - - - 名师精编优秀教案A 1665 B 5665 C 1665或5665 D 1665解： A 提示 : 在 ABC中，由sinsinABAB知角 B为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是解：02a提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)aaaaaa可得（5）在 ABC中，060 ,1,3,sinsinsinABCabcAbSABC则= 解：2 393提示：由面积公式可求得4c，由余弦定理可求得13a例 2. 在ABC中，若 sinA 2sinB cos C ， sin2Asin2B sin2C，试判断 ABC 的形状解： sinA 2sinB

4、cosCsin(B C)2sinBcosCsin(B C)0BCsin2Asin2Bsin2Ca2b2c2 A90 ABC是等腰直角三角形。变式训练 2：在 ABC中， sinA=CBCBcoscossinsin，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=abcbacabaccb22222222，所以 b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c）. 所以（ b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）. 所以 a2=b2bc+c2+bc. 所以 a2=b2+c2. 所以 ABC是直角三角形 .例 3. 已知在 ABC中， sinA(sinBcosB) sinC0，sinB c

5、os2C0，求角 A、B、C解：由 sinA(sinBcosB) sinC 0，得 sinAsinB sinAcosB sin(A B)0，所以 sinB(sinAcosA) 0B(0, ), sinB0, cosA sinA ，由 A(0, ) ，知 A4从而 BC43，由sinB cos2C0 得 sinB cos2(43B)0cos(232B)cos2 (22B) cos(22B) sin2B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -

6、名师精编优秀教案得 sinB sin2B 0，亦即 sinB 2sinBcosB 0，由此各cosB21，B3， C125A4 B 3 C 125变式训练 3：已知 ABC中，22（ sin2Asin2C）= （ab）sinB ，ABC外接圆半径为2 .（1）求 C；（2）求 ABC面积的最大值 .解： （1）由 22 （sin2Asin2C）=（ab）sin B得22 （224Ra224Rc）=（ab）Rb2.又 R=2 ，a2c2=abb2. a2+b2c2=ab. cos C=abcba2222=21.又0 C180， C=60.（2）S=21absinC=2123ab=23sinAsi

7、nB=23sinAsin （120 A ）=23sinA （sin120 cos Acos120sin A）=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A 23cos2A+23=3sin （2A30） +23.当 2A=120，即 A=60时， Smax=233.例 4. 如图，已知 ABC 是边长为1 的正三角形， M 、N分别是边AB 、 AC上的点，线段MN经过ABC的中心 G设MGA (323) (1) 试将AGM 、AGN的面积（分别记为S1与 S2）表示为的函数；(2) 求 y222111SS的最大值与最小值解 (1) AG 33，6MAG由正弦定理得)6sin(63GM，)6

8、sin(63GN)6sin(12sin1S，)6sin(12sin2S(2)cot3(721122221SSy323当240323maxy时或A N C B D M G （精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案当2162miny时变式训练 4：在在 ABC中，,ABC所对的边分别为, ,a b c， ，且1cos3A（1）求2sincos22BCA的值；（2）若3a，求bc的最大值；解： （1）因为1cos3A，故2si

9、ncos22BCA211cos()(2cos1)2BCA21(1cos )(2cos1)2AA1121(1)(1)2399（2）2221cos23bcaAbc2222223bcbcabca又93,4abc，当且仅当32bc时，94bc，故bc的最大值是94精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -