2022年【强烈推荐】高中数学知识点总结-选修2-3 .pdf

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1、_ 精品资料第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有 m种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。 分类要做到“不重不漏” 。分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤。 做第 1 步有 m种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m n 种不同的方法。 分步要做到“步骤完整”。n 元集合 A=a1，a2? ，an 的不同子集有 2n个。1.2 排列与组合1.2.1排列一般地，从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一

2、列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个 排列(arrangement) 。从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的 排列数 ，用符号Anm表示。排列数公式：n 个元素的全排列数规定： 0!=1 1.2.2组合一般地，从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个 组合(combination)。从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的 组合数 ，用符号Cnm或(nm)表示。组合数公式： Anm= Cnm?Amm

3、Anm=n!(n - m)!= n(n - 1)( n - 2) ? (n - m + 1)Ann= n!Cnm=AnmAmm=n!m! (n - m)!=n(n - 1)( n - 2) ? (n - m + 1)m!精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料规定：?= ?组合数的性质：1.3 二项式定理1.3.1二项式定理 (binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概

4、念。1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1) 对称性(2) 当 n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项Cnn2+1取得最大值；当 n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cnn- 12，Cnn+ 12同时取得最大值。(3) 各二项式系数的和为2n= Cn0+ Cn1+ Cn2+ ? + Cnk+ ? + Cnn(4) 二项式展开式中， 奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：Cnm= Cnn-m(“构建组合意义”“殊途同归”)Cn+1m= Cnm+ Cnm-1（杨辉三角）kCnk= nCn-1k-1*CnkCn-km-k= CnmCmk(a +

5、 b)n= Cn0an+ Cn1an-1b + ? + Cnkan-kbk+ ? + Cnnbn(n N*) 其中各项的系数 Cnk(k 0，1，2，? ，n)叫做二项式系数 (binomial coefficient) ；式中的 Cnkan-kbk叫做二项展开式的通项 ，用 Tk+1表示通项展开式的第k+1项：Tk+1= Cnkan-kbk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料Cn0+ Cn2+ Cn4+ ? = Cn1

6、+ Cn3+ Cn5+ ?(5) 一般地，Crr+ Cr + 1r+ Cr + 2r+ ? + Cn- 1r= Cnr + 1 (n ?)第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 (random variable)。随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。 试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 (discrete random variable)。概 率 分 布 列 (probability

7、distribution series)， 简 称 为 分 布 列(distribution series)。X x1x2?xi?xnP p1p2?pi?pn也可用等式表示：P(X= xi) = pi，i= 1， 2，? ，n根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1)pi 0，i=1，2，? ，n；(2) pini =1= 1随机变量 X的均值(mean)或数学期望 (mathematical expectation)：E(X) = x1p1+ x2p2+ ? + xipi+ ? xnpn它反映了离散型随机变量取值的平均水平。随机变量 X的方差(variance)刻画了随机变量

8、X与其均值 E(X)的平均偏离程度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料D(X) = (xi- E(X)2pini = 1其算术平方根 D(X)为随机变量 X的标准差 (standard deviation)。E(aX+ b) = aE(X) + bD(aX+ b) = a2D(X)若随机变量X 的分布具有下表的形式，则称X 服从 两点分布 (two-point distribution)，并称 p=P(X=1)为成功概率

9、。 ( 两点分布又称 0-1 分布。由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验 ，所以两点分布又叫 伯努利分布 ) X 0 1 P 1-p p 若 X服从两点分布，则E (X) = p ，D(X) = p(1 - p)一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n 件，其中恰有 X件次品，则?(? = k) =CMkCN- Mn- kCNn，k=0，1，2，? ，m X 0 1 ?m P CM0CN - Mn- 0CNnCM1CN- Mn- 1CNn?CMmCN- Mn- mCNn其中 m=minM ，n，且 n N，M N ，n，M ，N N* 如果随机变量 X的分布列具有上表的形式， 则

10、称随机变量 X服从超几何分布(hypergeometric distribution)。2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率一般地，设 A，B为两个事件，且 P(A)0，称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料P(B|A) =P(AB )P(A)为在事件 A发生的条件下，事件 B发生的 条件概率 (conditional probability)。如果 B和 C是两个 互斥事件 ，则P(BC |A) = P(B|A

11、) + P(C |A)2.2.2 事件的相互独立性设 A，B为两个事件，若P(AB ) = P(A)P(B)则称事件 A与事件 B相互独立 (mutually independent)。可以证明， 如果事件 A与 B相互独立，那么 A与? ? ?，? ?与 B，? ? ?与? ? ?也都相互独立。2.2.3 独立重复试验与二项分布一 般 地 ， 在 相 同 条 件 下 重 复做 的 n 次 试 验 称 为 n 次 独 立 重 复 试验(independent and repeated trials)。P(A1A2? An) = P(A1)P(A2) ? P(An)其中 Ai (i=1 ，2，?

12、 ，n) 是第 i 次试验的结果。一般地，在 n 次独立重复试验中，用X表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为 p，则P(X= k) = Cnkpk(1 - p)n- k， k = 0，1，2，? ，n此时称随机变量X 服从二项分布 (binomial distribution)，记作XB(n，p )，并称 p 为成功概率。若XB(n，p ) ，则E(X)= kCnkpkqn- knk= 0= npCn- 1k- 1pk- 1qn- 1-( k- 1)nk= 1= np Cn- 1kpkqn- 1- kn- 1k= 0= np(p + q)n- 1= npD(X) = np(

13、1 - p)*随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料本的平均值是随机变量。随机变量的方差是常数， 而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量。2.4 正态分布一般地，如果对于任何实数a，b (ab) ，随机变量 X满足 ，(x) =1 2e-(x- )222，x（ - ， + ）P(a 0，P(- a ?+?) = ，(x) dx+a-

14、a该面积随着的减少而变大。这说明越小， X落在区间 (- a，+ a 的概率越大，即 X集中在周围概率越大。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料特别有在 实际 应用 中 ， 通 常 认为 服从 于正 态 分 布 N( ，2) 的 随机 变量 X 只取(- 3 ? ? + 3 )之间的值，并简称之为 ? 原则。第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想回归分析 (regression analysis)是对具有相关关系的两个

15、变量进行统计分析的一种常用方法。对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)， ? ，(xn，yn)b?=(xi- x ?)( yini = 1- y ?)(xi- x ?)2ni = 1=xiyini = 1- nx ?y ?xi2ni = 1- nx ?2a ? = y ?- b?x ?其中x ? =1nxini = 1，y ? =1nyini = 1，(x ?，y?)称为样本点的中心 ，回归直线过样本点的中心。回归方程：y ? = b?x + a ?线性回归模型：P(- ? + ) = 0.6826P(- 2 ? + 2 ) = 0.9544P(- 3 R22，则模型 1

16、 比模型 2 拟合效果更好；若R12 w0时，就判断“ X和 Y有关系”；否则，判断“ X和 Y没有关系” 。这里w0为正实数，且满足在“ X和 Y没有关系”的前提下P(W2w0) = 0.01精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -