2022年三角形三边关系归纳 .pdf

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1、_ 精品资料三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边. 利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目. 现举例说明 . 一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足 |ab| cab. 例 1 用三条绳子打结成三角形( 不考虑结头长 ) ，已知其中两条长分别是3m和 7m ，问第三条绳子的长有什么限制. 简析设第三条绳子的长为xm ，则 73x73，即 4x10. 故第三条绳子的长应大于 4m且小于 10m 。二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形

2、的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可. 例 2 （1）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A，5cm 、7cm、10cm B，7cm 、10cm、13cm C，5cm 、7cm、13cm D，5cm 、10cm、13cm （2） （2004 年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C，12cm,5cm,6cm D，2cm,3cm,6cm简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7 13，故应选C；(2)6+4 8，故应选B. 例 3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a3，a，3(

3、 其中a3) ；（2）a，a4，a6( 其中a0) ；（3）a1，a1，2a( 其中a0). 简析（1）因为 (a3)3=a，所以以线段a3，a，3 为边的三条线段不能组成三角形. （2）因为 (a6) a =6，而 6 与a4 的大小关系不能确定，所以以线段a，a4，a6 为边的三条线段不一定能组成三角形. （3）因为 (a1) (a1)=2a22，(a1) 2a=3a1(a1)，所以以线段a1，a1，2a为边的三条线段一定能组成三角形. 三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.

4、 例 4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和 21cm两部分， 求这个三角形的腰长. 简析如图 1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点 . 根据题意，得x+12x12，且y+12x21；或x+12x21，且y+12x 12. 解得x8，y17；或x 14，y 5.显然当x=8，y=17 时，8 817 不符合定理，应舍去. 故此三角形的腰长是14cm. 例 5 一个三角形的两边分别是2 厘米和 9 厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为_. 简析设第三边长为x厘米，因为9-2x9+2，即 7x11，而x是奇数，所以x=9.故应填上 9 厘米. 精品资料

5、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料四、求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误. 例 6 已知等腰三角形的一边等于5, 另一边等于6, 则它的周长等于_. 简析已知等腰三角形的一边等于5, 另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5 是腰时，则底是6，即周长等于16；当 6是腰时，则底是5，即周长等于17. 故这个等腰三角形的周长

6、是16 或 17. 五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系. 例 7 已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2abbcca=0. 试判断三角形的形状 . 简析因为a2+b2+c2abbcca=0，则有2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0. 于是有（ab）2+（）2+（a）20. 此时有非负数的性质知（ab）2=0； （）2=0； （a）20，即ab=0；=0；a=0. 故a=b=c. 所以此三角形是等边三角形 . 六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例 8 已知三角形三边长为a、b、

7、c，且 |abc| |abc|=10，求b的值 . 简析因abc，故abc0 因abc， 故abc0. 所以 |abc|abc|= abc(abc)=2b=10. 故b=5. 七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例 9 现有长度分别为2cm 、3cm、4cm 、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 简析由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm 、3cm、4cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm、5cm，

8、则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm 、5cm，则也可以组成三角形 . 即分别为 2cm、3cm 、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 3，故应选C. 例 10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24 的三角形共有多少个？简析设较大边长为a，另两边长为b、c. 因为abc，故 2aabc，a21(abc). 又aabc，即 2abc. 所以 3aabc，a31(abc). 所A D P B C 图 2 图 1 D C B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

9、 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料以，31(abc) a 21(abc).3124a2124. 所以 8a12. 即a应为 9，10，11. 由三角形三边 关 系 定 理 和 推 论 讨 论 知 ：,7,8,9cba,6, 8,10cba,5,9,10cba,6,7,11cba,5,8,11cba,4,9,11cba.3,10,11cba由此知符合条件的三角形一共有7 个. 八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论. 有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用 .

10、例 11 已知P是ABC内任意一点，试说明ABBCCAPAPBPC21(ABBCCA)的理由 . 简析如图 2，延长BP交AC于D点. 在ABD中，可证明ABADBPPD. 在PDC中，可证明PDDCPC. 两式相加，可得ABACBPPC，同理可得ABBCPAPC，BCCAPAPB. 把三式相加后除以2，得ABBCCAPAPBPC.在PAB中，PAPBAB；在PBC中，PBPCBC；在PAC中，PAPCCA.上面三式相加后除以2，得PAPBPC21(ABBCCA) ，综上所述：ABBCCAPAPBPC21(ABBCCA). 课堂练习 1. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a 的取值范围

11、是_。2. 设三角形三边之长分别为3，8，12a，则 a的取值范围为（）A. 6a3 B. 5a2 C.2a5 D.a2 3. ABC的一边为 5，另外两边长恰是方程2x212x+m=0的两根，那么m的取值范围是_。 4. 已知五条线段长分别为3，5，7，9，11，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形（）A. 10 个 B. 7个C. 3 个D. 2 个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料 5.

12、 以 7 和 3为两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个6. 已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_。7. 已知等腰三角形的两边长分别为6cm和 3cm ，则该等腰三角形的周长是（）A. 9cm B. 12cm C. 12cm 或 15cm D. 15cm 8. 在 ABC中，AB AC ，AC上的中线 BD把三角形的周长分为21cm和 12cm两部分， 求三角形各边长。 9. 若 a，b，c 为 ABC的三边长，试证abca ba cb c444222222222。 10. 已知：如图2，在 ABC中， B2C，求证： AC

13、 2AB 。 11. 已知：如图3， M、N 是四边形ABCD 的一组对边AD、 BC 的中点，求证：MNABCD12，并试问，当四边形ABCD满足什么条件时取等号。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料三角形中的有关角的考点归纳三角形中关于角的考点，主要在于三角形三内角和为180求角的度数，三角形类型的判断，内角和外角关系以及关于角度大小的证明。一根据三角形三内角和180解题1. ABC中， A=55 ， B=25 ，则

14、C= . 解析 ：此题考查三角形内角和定理. 由三角形三个角的和为180 ，易得 C=180 - A -B =180 -55 -25 =100 . 2. 在ABC中，:2:1AB，60Co，则A_解 析 ： 设 B=x , :2:1AB, A= 2x , 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 得x+2x+60=180, 解得 x=60, A= 2x =80. 3. 若等腰三角形的一个外角为70o，则它的底角为度解析 : 等腰三角形的一个外角为70o， 则和这个角相邻的内角为110 度， 它必为为顶角；所以底角 =0003511018021. 4. 图 1，AB CD ， ACBC ， BAC

15、 =65，则 BCD= 度. 解析 : 本题考查了平行线性质和三角形内角和性质的掌握. 由三角形内角 和 可 以 知 道 ABC=25 ， 再 根 据 平 行 线 性 质 ， 我 们 可 以 知 道BCD= ABC=25 . 二利用三角形三内角比判断三角形类型 5. 一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是（）A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形解析：此题根据三角形内角性质，可以看着把180分成 12 分，其中有一个占去7 分，则可知次为钝角三角形，是否等腰只看2:3 就可知不等要。 6. 已知 ABC中， AB C=135，这个三角形是三角型， A= B= ，

16、C= 。解析： 同上题可把180分成 9 分，有角占5 分则可知为钝角三角形，计算角度时可先算出每份为20，则 A=20， B=60， C=100. 三. 内角和外角的运用 7. ABC中，若C-B=A，则 ABC的外角中最小的角是_ （填“锐角”、 “直角”或“钝角”）解析： 由 C-B=A可以得到 C=B+A，可知此为直角三角形，则其他2 内角都为锐角，其外角则最小为直角。 8.如图， ABC中，点 D在 BC的延长线上， 点 F 是 AB边上一点， 延长 CA到 E，连 EF，图 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

17、- - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料则 1， 2，3 的大小关系是 _解析： 2=3+E， 1=2+B，则可知 1 2 3 四. 利用三角形内角和外角进行证明 9.一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定 A应等于 90，B、 D应分别是30和 20，李叔叔量得BCD=142 ，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？解析： 解法 1：如答图 1，延长 BC交 AD于点 E，则 DEB= A+B=90+30=?120，从而 DCB= DEB+ D=120+20=140若零件合格，DCB应等于 140李叔叔量得 BCD=14

18、2 ，因此可以断定该零件不合格 (1) (2) (3) 点拨：也可以延长DC与 AB交于一点，方法与此相同解法 2：如答图 2，连接 AC并延长至 E，则 3= 1+D， 4=2+B，因此 DCB= 1+D+2+ B=140以下同方法1解法 3：如答图 3，过点 C作 EFAB，交 AD于 E，则 DEC=90 ， FCB= B=?30，所以 DCF= D+DEC=110 ，从而 DCB= DCF+ FCB=140 以下同方法1说明：也可以过点C作 AD的平行线点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 10. 如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是

19、向球门AB冲近，说明这是为什么？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料解析： 如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中理由说明如下：延长 CD到 E，则 ADE ACE ，BDE BCE ， ADE+ BDE ACE+ BCE ，即 ADB ACB 点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题课堂练习1. 如图，在 ABC中， D，E分别是

20、边 AB ，AC的中点，已知 BC=10 ，则 DE的长为（）A.3 B.4 C.5 D.6 2. 如图，11002145oo，那么3（）A55B 65C75D85 3.如图， 将ABC沿DE折叠 ，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：EFAB且12EFAB；BAFCAF；12ADFESAF DEg四边形2BDFFECBAC，正确的个数是（）A1 B 2 C3 D4 1 2 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料4.

21、已知等腰三角形的一个内角为50o，则这个等腰三角形的顶角为（）A50oB 80oC50o或80oD40o或65o 5.如图，已知ABC为直角三角形，C =90 ，若沿图中虚线剪去C，则 1 2 等于A315B270C180D135 6.如图，在 ABC中，AC =DC =DB ，ACD =100，则 B 等于( ) 。A50 B40 C25 D20 7.某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得23Ao，31Do，143AEDo， 请你帮他判断该零件是否合格（填“合格”或“不合格” ）A D B F C E 第 1 题图第 3CB第4题图DAA B C D E （12 题图）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -