2022年上海高考数学专项复习：数列与数学归纳法 .pdf

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1、数列与数学归纳法专题经典例题【例 1】已知数列na的前n项和为nS，且*,855NnanSnn. （1）证明：1na是等比数列；（2）求数列nS的通项公式，并求出使得nnSS1成立的最小正整数n. 解： (1) 当1n时，141a；当2n时，15511nnnnnaaSSa，所以16511nnaa. 又01511a，所以数列1na是以 15 为首项，65为公比的等比数列. (2) 由(1) 知：165151nna，得1651nna从而*1,906575NnnSnn；由nnSS1得252651n，9 .141252log65n，最小正整数15n. 【例 2】 等差数列na的前n项和为239,21,

2、31SaSn（1）求数列na的通项na与前n项和nS；（2）设()nnSbnnN，求证：数列nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列解： （1）由已知得11213393 2aad，2d，故212(2)nnanSn n，（2）由（）得2nnSbnn假设数列nb中存在三项pqrbbb，（pqr， ，互不相等）成等比数列，则2qprbb b即2(2)(2)(2)qpr2()( 2)20qp rqprpqrN， ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - -

3、 - - 2020qprqpr，22()02prprprpr，与pr矛盾所以数列nb中任意不同的三项都不可能成等比数列【 例3】 已 知 公 差 不 为0 的 等 差 数 列na的 首 项1a为aRa, 设 数 列 的 前n 项 和 为4211,1,1,aaaSn且成等比数列 . （1）求数列na的通项公式及nS；（2）记naaaaBSSSAnnn2221211111,1112，当2n时，试比较nA与nB的大小解： （1）设等差数列na的公差为d，由4122111aaa，得)3(1121daada. 因为0d，所以ad所以21,1nanSnaann. （2）因为11121nnaSn，所以)11

4、1 (211121naSSSAnn. 因为aann1221，所以nnnaaaaaaBn211221121111111122221. 当12,210nCCCnnnnnn时，即nn211111. 所以，当nnnnBAaBAa时当时0;0. 【例 4】 已知21a，点1,nnaa在函数xxxf22的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列na1lg是等比数列；（2）设nnaaaT11121，求nT及数列na的通项；（3）记211nnnaab，求数列nb的前项和 Sn，并证明132nnTS=1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

5、 - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解： （1）由已知212nnnaaa，211(1)nnaa12a11na，两边取对数得1lg(1)2lg(1)nnaa，即1lg(1)2lg(1)nnaalg(1)na是公比为 2 的等比数列 . （2）由（）知11lg(1)2lg(1)nnaa1122lg3lg3nn1213nna（* ）12(1)(1)nTaan(1+a )012222333n-12 321223n-1 +2=n2 -13由（ *）式得1231nna（3）nnnaaa2211(2)nnnaaa11111()22nnnaaa1112

6、2nnnaaa.又112nnnbaa1112()nnnbaa12nSbbn+b122311111112()nnaaaaaa+11112()naa.1221131,2,31nnnnaaa22131nnS.又213nnT2131nnST. 【例 5】 已知数列na满足2,021aa，且对任意*,Nnm都有211212)(22nmaaanmnm.（1）求53,aa；（2）设)(*1212Nnaabnnn，证明：nb是等差数列；（3）设*11,0,Nnqqaacnnnn，求数列nc的前n项和nS. 解： (1) 由题意，6221,2123aaanm可得令，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

7、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 再令20821,3135aaanm可得. (2)当*Nn时，由已知 (以mn代替2) 可得82121232nnnaaa.于是8)(1212112112nnnnaaaa，即6,81211aabbbnn. 所以nb是以 6 为首项， 8 为公差的等差数列. (3) 由(1)(2)解答可知28, 281212naanbnnn即. 另由已知 ( 令1m) 可得211212naaann. 那么nnnnaaaannnn21222812212121，于是1

8、2nnnqc. 当1q时，12642nnnSn；当1q时，12102642nnnqqqqS. 两边同乘以q，可得nnnqqqqqS2642321. 上述两式相减得qnqqnnqqqnqqqqSqnnnnnnn111221122121112.所以21)1(112qnqqnSnnn. 综上所述，1,11,111221qnnqqnqqnSnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 数列与数学归纳法专题检测题一、填空题（每小题4 分，满分 4

9、0 分）1. 列na是首项为 1，公比为23a的无穷等比数列，且na各项的和为a，则a的值是 . 2. 等比数列na的前 n 项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则na的公比为 _ .3.函 数()2xf x,等 差 数 列xa的 公 差 为2.若246810()4f aaaaa,则212310log ()()()()f af af af a . 4. 知数列na、nb都是公差为1 的等差数列， 其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba设nbnac（*Nn） ，则数列nc的前 10 项和等于.5. 知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则lim

10、nnnaS .6. 知 等 比 数 列满 足， 且， 则 当时 ，.7. 差数列的前 n 项和为，已知，,则.8. 全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（ n 3）从左向右的第3 个数为 . 9.是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 10. 知数列满足：ma1（m为正整数），若，则m所有可能的取值为 _.二、解答题（本大题共有5 题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）11. 设数列na满足11111011nnaaa且.na0,1,2,nan25252(3)nnaan1n2123221logloglo

11、gnaaananS2110mmmaaa2138mSmnaq| 1q1(1,2,)nnbannb53, 23,19,37,826qna1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。6a 1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （1）求na的通项公式；（2）设nabnn11，记nkknbS1,证明1nS.12. 等比数列na中，321,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,aaa中的任何两个数不在下表的同一列第一

12、列第二列第三列第一行3 2 10 第二行6 4 14 第三行9 8 18 （1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足：nnnnaabln1，求数列nb的前 n 项和nS.13. 设为非零实数，*11221,121NndnCdCndCdCnannnnnnnnn.（1）写出321,aaa并判断na是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设)( ,*Nnndabnn，求数列nb的前 n 项和nS.14. 设数列na的前 n 项和为nS，且方程02nnaxax有一根为,3,2, 1, 1 nSn（1）求21,aa； （2）na的通项公式15. 已知有穷数列A：12,na aa，(

13、2n).若数列A中各项都是集合| 11xx的元素，则称该数列为数列 .对于数列A， 定义如下操作过程T： 从A中任取两项,ija a， 将1ijijaaa a的值添在A的最后，然后删除,ija a,这样得到一个1n项的新数列1A(约定 :一个数也视作数列). 若1A还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作2A，,如此经过k次操作后得到的新数列记作kA. （1）设1 1: 0,.2 3A请写出1A的所有可能的结果；（2）求证：对于一个n项的数列A操作 T 总可以进行1n次；（3）设5111 5 1 1 1 1 1:,.7654 6 2 3 4 5 6A，求9A的可能结果，并说明理由.d精

14、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 数列与数学归纳法专题检测题答案一、填空题1. 2 ； 2.13q； 3. 6； 4. 85； 5.12；6.；7. 10 ；8.262nn；9. 9 （提示81， 54，36，24） ；10.4 5 32；二、解答题11. 设数列na满足11111011nnaaa且（1）求na的通项公式；（2）设nabnn11，记nkknbS1,证明1nS解： （1）由题设111111nnaa即na11是公差为 1

15、 的等差数列。又1111a，故nan11所以nan11（2）由（ I）得1111111nnnnnnnabnn，11111nbSnkkn12. 等比数列na中，321,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,aaa中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3 2 10 第二行6 4 14 第三行9 8 18 （1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足：nnnnaabln1，求数列nb的前 n 项和nS解： （1）当31a时，不合题意；当21a时，当且仅当18, 632aa时，符合题意；当101a时，不合题意 .因此18,6,2321aaa所以公式3q， 故132n

16、na2n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （2）因为3ln12ln13232ln132ln1111naabnnnnnnnnn=3ln13ln2ln1321nnnn所以3ln1321) 3ln2(ln1111331212nSnnnn当 n 为偶数时，13ln233ln231312nnSnnn当 n 为奇数时，12ln3ln2133ln21)3ln2(ln31312nnnSnnn综上所述，为奇数为偶数nnnnSnnn, 12ln3ln

17、213,13ln2313. 设为非零实数，*11221,121NndnCdCndCdCnannnnnnnnn（1）写出321,aaa并判断na是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设)( ,*Nnndabnn，求数列nb的前 n 项和nS解： （1）da1，)1(2dda，23)1(dda*11221,121NndnCdCndCdCnannnnnnnnn1)1(nndda11daann因为d为常数，所以na是以d为首项，1d为公比的等比数列。（2）12)1(nndndb12221202)1 ()1(3)1(2)1 (nndndddddddS)1 ()1(3)1(2)1(121

18、02ndndddd(1) 错位相减法得nnddnS)1)(1(1.14. 设数列na的前 n 项和为nS，且方程02nnaxax有一根为,3,2, 1, 1 nSnd精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （1）求21,aa； （2）na的通项公式解：(1)当1n时，0112axax有一根为1111aS，于是0)1()1(11121aaaa，解得211a.当2n时，0222axax有一根为21122aS于是0)21()21(22222a

19、aaa，解得612a(2)由题设0) 1()1(2nnnnaSaS，0122nnnnSaSS.当2n时，1nnnSSa，代入上式得0121nnnSSS由(1)知32,2121211aaSaS由可得433S由此猜想, 3 ,2, 1,1nnnSn下面用数学归纳法证明这个结论(i)1n时已知结论成立(ii)假设kn时结论成立，即1kkSk.当1kn时，由得21,2111kkSSSkkk即故1kn时结论也成立综上，由 (i)、(ii)可知1nnSn对所有正整数n都成立于是当2n时，)1(1111nnnnnnSSannn.又 n1 时，211211a，所以na的通项公式,3,2,1,)1(1nnnan

20、15. 已知有穷数列A：12,na aa，(2n).若数列A中各项都是集合| 11xx的元素，则称该数列为数列 .对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项,ija a，将1ijijaaa a的值添在A的最后， 然后删除,ija a,这样得到一个1n项的新数列1A(约定 :一个数也视作数列). 若1A还是数列， 可继续实施操作过程T，得到的新数列记作2A，,如此经过k次操作后得到的新数列记作kA. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -

21、 - （1）设1 1: 0, .2 3A请写出1A的所有可能的结果；（2）求证：对于一个n项的数列A操作 T 总可以进行1n次；（3）设5111 5 1 1 1 1 1:,.7654 6 2 3 4 5 6A，求9A的可能结果，并说明理由. 解： （1）1A有如下的三种可能结果：1111 11 15:,;:,;: 0,3 22 37AAA（2）,| 11a bxx，有(1)(1)1011abababab且(1)(1)( 1)0.11abababab所以1abab| 11xx，即每次操作后新数列仍是数列 . 又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列A每操作一次，项数就减少一项，所以对n

22、项的数列A可进行1n次操作（最后只剩下一项）（3）由（ 2）可知9A中仅有一项 . 对于满足,|11)a bxx的实数,a b定义运算：1ababab，下面证明这种运算满足交换律和结合律 .因为1ababab，且1bababa，所以abab，即该运算满足交换律；因为1()1111bcabcabcabcbcabcabcbcabbccaabc.且1()1111abcababcabcababccabababbccacab.所以()()abcabc，即该运算满足结合律. 所以9A中的项与实施的具体操作过程无关.选择如下操作过程求9A：由（1）可知115237；易知55077；11044；11055；1

23、1066；所以5:A5,0,0,0,06；易知5A经过 4 次操作后剩下一项为56. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 综上可知：95:6A. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -