2022年双曲线部分性质知识点总结 .pdf
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1、一、双曲线的定义1、第一定义:21212FFaPFPF(a0) ) 。注意: (1) 距离之差的绝对值。 (2)2a|F1F2|当|MF1|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点 F2所对应的一支;当|MF1|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点 F1所对应的一支;当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2为端点向外的两条射线;当 2a|F1F2|时,动点轨迹不存在。当 a=0时,轨迹为两定点连线中垂线。2、第二定义: 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e(e1) 二、双曲线的标准方程(222abc,其中 |1F2F|=2c,焦点位置看谁的系数为正数)焦点在 x 轴上
2、:12222byax(a0,b0) ;焦点在y 轴上:12222bxay(a0,b0)焦点不确定时:)0( , 122mnnymx;与椭圆共焦点的双曲线系方程为:与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax()22bka)与双曲线12222byax共渐进线(xaby)的双曲线系方程是)( ,2222obyax三、特殊双曲线:等轴双曲线: (实虚轴相等,即a=b)1、形式:22yx(0) ;2、离心率2e; 3、 两渐近线互相垂直,为 y=x; ;4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。共轭双曲线: (以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双
3、曲线)1、有共同的渐近线;2、共轭双曲线的四个焦点共圆; 3、离心率倒数的平方和等于 1。四、几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线五、相关性质:1、点与双曲线的位置关系:2、中点弦的存在性3、以 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .(内切: P 在右支;外切:P在左支)若000(,)P xy在双曲线22221xyab(a0,b0)上,则过0P的切线方程是00221x xy yab. 若000(,)P x y在双曲线22221xyab(a0,b0)外,则过Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 5、双曲线22221xy
4、ab(a0,bo)的焦点角形的面积为2tan212PFFbS6、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .7、点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 . 8、设双曲线22221xyab(a0,b0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点, 在PF1F2中,记12F PF, 12PF F,12F F P, 则有sin(sinsin)cea9、已知双曲线22221xyab(ba 0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且OPOQ.(1)22221111|OPOQab; (2) |OP|2+|OQ|2的最小值为2 2224abba; (3)OPQ
5、S的最小值是2222a bba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - - 1,F1、F2是162x202y=1的焦点,其上一点P到F1的距离等于 9则P到焦点F2的距离. 17 2双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦 PQ 在左支上,若| PQ |=7 ,F2是双曲线的右焦点,则PF2Q 的周长是. 3过点(2,2)且与双曲线22xy2=1有公共渐近线的双曲线方程是22y42x=1 4 已知21,FF是双曲线的左、右焦点, 过1F且垂直于
6、x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若2ABF是正三角形,那么双曲线的离心率为35过点A(0,2)可以作_4_ 条直线与双曲线 x242y1有且只有一个公共点6过点P(4,4) 且与双曲线x216y291只有一个交点的直线有 3条7若116922yx上点P满足64|21PFPF(321PFF或) ,求31621PFFS8动点与两定点连线斜率之积为正常数时,动点的轨迹为?9若)0, 5(),0 ,5(CB是三角形ABC 的顶点,且ACBsin53sinsin,求顶点A 的轨迹10 圆M 与圆2)4(:221yxC外切,与圆2)4( :222yxC内切,求 M 轨迹11已知双曲线的渐近线方程是
7、2xy,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程为12 求与8222yx有公共焦点的双曲线,使它们交点为顶点的四边形面积最大为2813求与64422yx有公共焦点,且渐近线为03yx的双曲线为1123622yx1412222byax左支一点 P到左准线l 距离为d,若d, |,|21PFPF成等比,求e范围15 C:12222byax右顶点为 A ,x 轴上一点 Q (2a,0) ,若C上一点P使0PQAP,求 e范围16. 渐近线方程为43yx,则该双曲线的离心率e为53或5416.已知双曲线的右顶点为 E , 双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、 B两点, 若AEB=
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