2022年东城区高三毕业班一模理数试题及答案 .pdf

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1、北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题共 40 分）一、本大题共8 小题，每小题5分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若a，bR，i是虚数单位，且(2)i1iab，则ab的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（2）若集合,02mA，2,1B，则“1m”是“2,1,0BA”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C

2、）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（3）若实数x，y满足不等式组1,2,0,yxyxy则yxz2的最小值为（A）27（B）2（C）1（D）25（4）右图给出的是计算1001.81614121的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）50i（B）50i（C）25i（ D）25i（5）某小区有排成一排的7个车位， 现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（A）16 （B）18 （C） 24 （D）32 （6）已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比数列，则xyz的值为（A）3（B）3（C）3 3（D）3 3（7）在直角梯形ABCD中，

3、已知BCAD，ABAD，4AB，2BC，4AD，若P为CD的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 84 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲BCDAOEDC1Q0N1CB1ABMQ中点，则PA PBuu u r uuu r的值为（A）5（B）4（C）4（D）5（8）已知函数21,0,( )(1),0.xxf xf xx若方程( )fxxa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（A）,1（B）,1（C）0,

4、1（D）0,第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。（9）命题“000(0,), tansin2xxx”的否定是 . （10）在极坐标系中，圆2的圆心到直线cossin2的距离为（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是组（12）如图，AB是O的直径，直线DE切O于点D，且与AB延长线交于点C，若CD3，1CB，则ADE= （13）抛物线2yx的准线方程为；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M，且与准线相切的圆共有个（14）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M

5、在AD上，正方形ABCD以AD为轴逆时针旋转角)3(0 到11ABC D的位置，同时点M沿着AD从点A运动到点D，11MNDCuuuu ru uu u r，点Q在1MN上，在运动过程中点Q始终满足QMuuuu r1cos，记点Q在面ABCD上的射影为0Q，则在运动过程中向量0BQu uuu r与BMu uu u r夹角的正切的最大值为. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明

6、，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共13 分）已知函数22( )(sin2cos2 )2sin 2f xxxx.（）求( )f x的最小正周期；（）若函数( )yg x的图象是由( )yf x的图象向右平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x0,4时，求( )yg x的最大值和最小值.（16） （本小题共13 分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%. 生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元 . 两种产品生

7、产的质量相互独立. （）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元） ，求X的分布列；（）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 . （17） （本小题共13 分）如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足1AEFCCP. 将AEF沿EF折起到1A EF的位置，使二面角1AEFB成直二面角，连结1A B，1A P. （如图 2）（）求证：EA1平面BEP；（）求直线EA1与平面BPA1所成角的大小 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

8、- -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - PFEABCFA1CPBE图 1 图 2 (18) （本小题共14 分）已知函数221( )2e3e ln2f xxxxb在0(,0)x处的切线斜率为零（）求0 x和b的值；（）求证：在定义域内( )0fx 恒成立；( ) 若函数( )( )aF xfxx有最小值m，且2em，求实数a的取值范围 . （19） （本小题共 13分）已知椭圆C：222210 xyabab的离心率是12，其左、右顶点分别为1A，2A，B为短轴的端点，12A BA的面积为2 3（）求椭圆C的方程；（）2F为椭圆C的右焦点， 若点P是椭圆C上异于1

9、A，2A的任意一点， 直线1A P，2A P与直线4x分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线2PF相切于点2F（20） （本小题共14 分）若对于正整数k,( )g k表示k的最大奇数因数，例如(3)3g，(10)5g.设(1)(2)(3)(4)(2 )nnSgggggL精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （）求(6)g,(20)g的值；（）求1S，2S，3S的值；（）求数列nS的通项公式北京市东城区 2011-2012

10、学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分）（1）D（2）A（3）A （4）B （5）C（6）C（7）D（8）A二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）（9）(0,), tansin2xxx（10）2（11）84 乙（12）60o（13）14x2（14）612注：两个空的填空题第一个空填对得2 分，第二个空填对得3 分三、解答题（本大题共6 小题，共80 分）（15） （共 13 分）解： （）因为22( )(sin 2cos2 )2sin2f xxxxsin4cos4xx2sin(4)4x , 6

11、分所以函数( )f x的最小正周期为2. 8 分（）依题意 ,( )yg x2 sin4()8x41精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - DPFEACB2 sin(4)14x. 10 分因为04x，所以34444x. 11 分当442x，即316x时，( )g x取最大值21；当444x，即0 x时，( )g x取最小值0. 13 分（16） （共 13 分）解： （）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3. 2 分(10)P X0

12、.8 0.90.72，(5)0.20.90.18P X，(2)0.80.10.08P X，(3)0.20.10.02P X. 6 分由此得X的分布列为：X10523P0.720.180.080.02 8 分（）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件. 由题设知4(4)10nn，解得145n，又nN 且4n，得3n，或4n. 10 分所求概率为33440.80.20.80.8192PC. （或写成512625）答 ： 生 产4件 甲 产 品 所 获 得 的 利 润 不 少 于10万 元 的 概 率 为0.8192. 13 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

13、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - xyzA1FCPBE（17） （共 13 分）（）证明：取BE中点D，连结DF.因为1AECF，1DE，所以2AFAD，而60Ao，即ADF是正三角形 .又因为1AEED, 所以EFAD. 2 分所以在图2 中有1A EEF，BEEF. 3 分所以1A EB为二面角1AEFB的平面角. 图 1又二面角1AEFB为直二面角，所以1A EBE. 5 分又因为BEEFEI,所以1A E平面BEF,即1A E平面BEP. 6分（）解：由（）可知1A E平面BEP，

14、BEEF，如图，以E为原点，建立空间直角坐标系Exyz，则(0 , 0 , 0)E，1(0 ,0 ,1)A，(2 , 0 ,0)B，(0,3 ,0)F. 在图中，连结DP.因为12CFCPFAPB，所以PFBE，且12PFBEDE.所以四边形EFPD为平行四边形 . 所以EFDP，且EFDP.故点P的坐标为（ 1，3，0）. 图 2所以1(2, 0,1)A Buuuu r，( 1, 3,0)BPuu u r，1(0, 0 ,1)EAu uuu r. 8 分不妨设平面1A BP的法向量( , )x y zn，则10,0.A BBPuuu u ruuu rnn精品资料 - - - 欢迎下载 - -

15、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 即20,30.xzxy令3y，得(3 ,3 , 6)n. 10 分所以cos1EAuuu rn,11632|14 3EAEAuu uu ruuuu u rnn. 12 分故直线1A E与平面1A BP所成角的大小为3. 13 分（18） （共 14 分）（） 解：23e( )2efxxx. 2 分由 题 意 有0()0fx即2003e2e0 xx， 解 得0ex或03ex（ 舍去） 4 分得(e)0f即2221e2e3e ln e02

16、b，解得21e2b 5 分（）证明：由（）知2221e( )2e3e ln(0)22fxxxxx，( )fx23e(e)(3e)2e(0)xxxxxx在区间(0,e)上，有( )0fx；在区间(e,)上，有( )0fx故( )fx在(0,e)单调递减，在(e,)单调递增，于是函数( )f x在(0,)上的最小值是(e)0f 9 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 故当0 x时，有( )0f x恒成立 10 分( ) 解：23e(

17、)( )2eaaF xfxxxx(0)x当23ea时， 则223e( )2e23e2eaF xxax， 当且仅当23exa时等号成立，故( )F x的最小值223e2ema2e，符合题意； 13 分当23ea时，函数( )2eF xx在区间(0,)上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23ea时，函数23e( )2eaF xxx在区间(0,)上是增函数，不存在最小值，不合题意综上，实数a的取值范围是2(3e ,) 14 分（19） （共 13 分）（）解：由已知2221,22 3,.caababc 2 分解得2a，3b 4 分故所求椭圆方程为22143xy 5 分（）证明：由（）知12,0A，

18、22,0A，21,0F设000,2P xyx，则22003412xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 于是直线1A P方程为0022yyxx，令4x，得0062Myyx；所以(M4,0062yx)，同理(N4,0022yx) 7 分所以2F Muuuu r( 3,0062yx)，2F Nuuuu r( 3,0022yx). 所以22F M F Nu uu ur u uu u r( 3,0062yx)( 3,0022yx)00006

19、2922yyxx220022003 123129944xyxx20209499904xx所以22F MF N，点2F在以MN为直径的圆上 9 分设MN的中点为E，则(4,E00204(1)4yxx) 10 分又2F Eu uu u r(3,00204(1)4yxx)，2001,F Pxyuuu u r所以22F E F Pu uu u r uuu u r(3,00204(1)4yxx)20000020411,314yxxyxx20000020123131313104xxxxxx所以22F EF P 12 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名

20、师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 因为2F E是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，22F EF P，故以MN为直径的圆与直线2PF相切于右焦点 13 分（20） （共 14 分）解：（）(6)3g，(20)5g 2 分（）1(1)(2)112Sgg；2(1)(2)(3)(4)11316Sgggg；3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1 131537122Sgggggggg 6 分( ) 由（）（）不难发现对mN，有(2)()gmg m 8 分所以当2n时，(1)(2)(3)(4)(21)(2 )nnn

21、SggggggL(1)(3)(5)(21)(2)(4)(2 )nngggggggLL1135(21)(21)(22)(22)nngggLL11(121)2 (1)(2)(2)2nnngggL114nnS11 分于是114nnnSS，2 ,nnN所以112211()()()nnnnnSSSSSSSSL12244442nnL精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 14(14)4221433nn，2 ,nnN 13 分又12S，满足上式，所以对nN，1(42)3nnS 14 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -